3750
.pdff (z) |
|
z0 |
z0 |
, |
|
f (z ) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
(z z0 )2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
z0 |
z0 |
|
2i Im z0 |
|
2 y0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arg f |
(z0 ) |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
z |
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
б) Пусть f (z) |
|
|
|
, где |
|
z0 |
|
|
1 . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
zz0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f (z) |
|
1 |
z0 z0 |
, |
|
|
f (z |
|
) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 , |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
(1 zz0 )2 |
|
|
0 |
|
1 z0 z0 |
|
|
1 |
|
z0 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arg f (z0 ) |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2. |
Постоянство растяжений. |
|
Пусть функция w |
f (z) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференцируема |
в |
|
некоторой |
|
|
окрестности точки |
z0 и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (z0 ) |
0 . Рассмотрим произвольную точку z |
|
|
кривой |
, рас- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
положенную достаточно близко к точке z0 |
(рис. П.2.3). |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
z0 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w=f(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. П.2.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Обозначим |
|
z |
z |
z0 , |
|
w |
f (z) |
f (z0 ) |
w |
|
|
w0 . Из опреде- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ления производной |
f |
(z0 ) |
следует, что |
|
|
w |
|
|
f |
|
|
(z0 ) |
( |
|
z) , где |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( z) |
0 |
при |
z |
|
|
0 , откуда получаем |
|
lim |
|
|
|
w |
|
|
f (z0 ) |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
f (z0 ) |
|
|
|
z |
|
|
o |
|
|
z |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(П.2.3) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
191
Пусть |
z |
|
z0 |
|
|
z |
|
|
|
, где |
достаточно мало, тогда из фор- |
|||||||||||||||
мулы (П.2.3) находим, что окружность |
|
z z0 |
|
переходит |
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
при отображении w |
f (z) в кривую, которая мало отличается |
|||||||||||||||||||||||||
от окружности |
|
w w0 |
|
|
|
f (z0 ) |
|
. Иначе говоря, отображение |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
w f (z) с точность до малых более высокого порядка, чем |
z |
|||||||||||||||||||||||||
, |
растягивает |
|
круг |
|
|
z |
|
|
|
в |
|
f |
(z0 ) |
|
раз. Величина |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
lim |
|
w |
|
k называется линейным растяжением кривой |
в |
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
z |
|||||||||||||||||||||||||
z |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точке z0 |
|
при отображении w |
f (z) . Следовательно, линейное |
|||||||||||||||||||||||
растяжение в точке z0 |
|
не зависит от вида и направления кри- |
||||||||||||||||||||||||
вой и равно k |
|
f (z0 ) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3. Определение конформного отображения. Пусть |
||||||||||||||||||||||||
функция |
|
f (z) определена в некоторой окрестности точки z0 . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Определение 1. |
Отображение |
w |
f (z) называется кон- |
формным в точке z0 , если оно сохраняет углы между кривыми и обладает свойством постоянства растяжений в точке z0 .
Из полученных результатов вытекает, что если функция
f (z) дифференцируема в некоторой окрестности точки z0 |
(ре- |
|||||
гулярна в точке z0 ) и |
f (z0 ) |
0 , то отображение w |
f (z) |
яв- |
||
ляется конформным в точке z0 . |
|
|
|
|
||
Замечание 1. Условие |
f (z0 ) |
0 означает, что якобиан |
||||
отображения w f (z) |
в точке z0 |
отличен от нуля. |
|
|
||
В самом деле, отображение w |
f (z) u iv эквивалентно |
|||||
отображению |
|
|
|
|
|
|
u |
u(x, y) , |
v |
v(x, y) . |
(П.2.4) |
Якобиан отображения (П.2.4) равен
192
|
|
|
|
|
|
u |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
v |
|
v |
|
u |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
v |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
x |
|
y |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Используя условия Коши-Римана, получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
2 |
|
|
|
|
|
v |
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Так как f (z) |
u |
i |
|
|
v |
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
f |
(z) |
|
2 . |
|
|
|
|
(П.2.5) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Таким образом, если |
|
f (z0 ) |
|
|
|
0 , то якобиан J (z0 ) 0 . |
|||||||||||||||||||||||||
Определение 2. Пусть функция |
f (z) однолистна в облас- |
||||||||||||||||||||||||||||||
ти D и пусть отображение w |
f (z) |
является конформным в |
каждой точке области D . Тогда это отображение называется
конформным.
Из определений и свойств производной вытекает. Что если функция f (z)
1)дифференцируема в области D ,
2)однолистна в области D ,
3)ее производная отлична от нуля в этой области, то отображение w f (z) является конформным.
Примеры конформных отображений приведены в Приложении 1. Линейное отображение w az b ( a 0 ) является
конформным во всей комплексной плоскости. Функция w |
z2 |
||||||
осуществляет конформное отображение |
верхней полуплоско- |
||||||
сти |
Im z |
0 на плоскость с разрезом |
[0, |
) . Отображение |
|||
w |
ez |
является конформным в полосе 0 |
Im z |
2 . |
|
||
|
Замечание 2. Если функция |
регулярна в точке z0 |
и |
||||
f (z0 ) |
0 , |
то отображение w f (z) |
не является конформным |
||||
в точке z0 . |
|
|
|
|
|
193
|
Поясним это утверждение на примере функции |
|
f (z) |
z2 |
||||||||||||||||||||||||
. В точке |
z0 |
0 |
производная функции |
z2 обращается в нуль. |
||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим два луча |
arg z |
и arg z |
|
|
, выходящие из точ- |
|||||||||||||||||||||||
ки z |
0 . Их образами при отображении |
|
|
w |
z2 являются лучи |
|||||||||||||||||||||||
arg w |
2 |
и |
arg w |
2 . Исходные лучи образуют между со- |
||||||||||||||||||||||||
бой угол |
|
, |
а их образы – |
угол 2( |
|
|
|
|
|
) . Следовательно, |
||||||||||||||||||
углы в точке |
z |
0 удваиваются, т.е. отображение |
w |
z2 |
не |
|||||||||||||||||||||||
является конформным в точке z |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4. Площадь образа области и длина образа кривой. |
|||||||||||||||||||||||||||
Пусть функция w f (z) |
конформно отображает область D на |
|||||||||||||||||||||||||||
область |
D . Тогда якобиан отображения равен J |
|
f |
(z) |
|
2 |
и |
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
площадь области D равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
S(D ) |
dudv |
|
|
J |
|
dxdy |
|
|
f (z) |
|
2 dxdy . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
D |
|
D |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пусть |
– кривая, лежащая в области D , а |
|
|
– ее образ при |
||||||||||||||||||||||||
отображении w |
f (z) . Тогда длина кривой |
|
|
равна |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
l( |
) |
|
dw |
|
|
f (z) |
|
dz |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 3. Приведем геометрическую интерпретацию формулы (П.2.5). Как известно из курса математического анализа, величина J , где J – якобиан отображения (П.2.4), рав-
няется коэффициенту растяжения площадей при отображении w f (z) u iv . Выше было показано, что линейное растяже-
ние при отображении w f (z) не зависит от направления и равно f (z0 ) . Следовательно, коэффициент растяжения пло-
щадей равен f (z0 ) 2 .
5. Конформное отображение на расширенной ком-
плексной плоскости. В пункте 3 дано определение конформного отображения областей, не содержащих бесконечно уда-
194
ленную точку. Было отмечено, что такие отображения осуществляются однолистными регулярными функциями. Для областей расширенной комплексной плоскости введем следующее
Определение 3. Отображение w f (z) области D рас-
ширенной комплексной плоскости z на область G расширенной комплексной плоскости w называется конформным, если
1) это отображение взаимно однозначно, т.е. функция f (z) однолистна в области D ;
2) функция f (z) регулярна в области D , за исключени-
ем, быть может, одной точки, в которой эта функция имеет полюс первого порядка.
Так как критерием однолистности функции f (z) в точке z0 является условие f (z0 ) 0 , то из геометрического смысла
производной вытекают следующие два свойства конформного отображения:
1. Постоянство растяжений. Линейное растяжение в точке z0 одинаково для всех кривых, проходящих через эту
точку, и равно f (z0 ) .
2. Сохранение углов. Все кривые в точке z0 поворачиваются на одинаковый угол, равный arg f (z0 ) .
Из определения 3 и свойств однолистных и обратных функций вытекают еще два свойства:
3.Отображение, обратное к конформному отображению, также является конформным.
4.Суперпозиция двух конформных отображений также является конформным отображением.
Введем понятие угла между кривыми в бесконечно удаленной точке.
Определение 4. Углом между кривыми 1 и 2 , прохо-
дящими через точку z |
, называется угол между образами |
||
этих кривых при отображении |
1 z в точке |
0 . |
195
Из этого определения и свойства 2 вытекает следующее свойство конформного отображения:
5. При конформном отображении области D расширенной комплексной плоскости сохраняются углы между кривыми в каждой точке этой области.
Фундаментальной теоремой теории конформных отображений является
Теорема Римана. Пусть D – односвязная область расширенной комплексной плоскости, граница которой состоит более чем из одной точки. Тогда
1) |
существует функция |
|
w |
f (z) , |
которая |
конформно |
||||
отображает область D на круг |
|
w |
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) эта функция единственна, если выполняются условия |
||||||||||
|
f (z0 ) w0 , |
arg f (z0 ) |
. |
|
|
|
||||
Здесь z0 |
и w0 – заданные точки ( z0 D , |
|
w0 |
|
1), |
– задан- |
||||
|
|
ное действительное число.
Исключительными являются следующие области: а) вся расширенная комплексная плоскость,
б) вся расширенная комплексная плоскость с одной выколотой точкой.
В случае неодносвязных областей вопрос и существовании конформного отображения является гораздо более сложным. Даже для простейших двусвязных областей D : r z R
и G : r1 w R1 не всегда существует конформное отображение D на G .
196
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Наука, 1985. Т. 2.
2.Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М.:
Наука, 1980.
3.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1989.
4.Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1981.
5.Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. М.: Просвещение, 1977.
6.Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М.: Наука, 1978.
7.Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1984.
8.Пчелин Б.К. Специальные разделы высшей математики. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. М.: Высш. шк., 1973.
9.Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1979.
10.Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука,
1989.
11.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1981.
12.Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1988.
13.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1980. Ч.
2.
197
14.Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 2 курс. М.: Айриспресс, 2004.
15.Дежин В.В. Методические указания для организации самостоятельной работы по разделу «Функции комплексного переменного» курса «Математика» для студентов специальности 230201 «Информационные системы и технологии» очной формы обучения / В.В. Дежин, М.Л. Лапшина. ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2009.
16.Батаронов И.Л., Дежин В.В., Рощупкин А.М. Влияние центров пиннинга и рельефа Пайерлса на обобщенную восприимчивость дислокаций в реальных кристаллах // Изв РАН. Сер. Физическая. 1993. Т. 57. № 11. С. 97-105.
17.Ninomiya T. Dislocation vibration and phonon scattering
//J. Phys. Soc. Japan. 1968. V. 25, № 3. P. 830-840.
18. Батаронов И.Л., Дежин В.В. Обобщенная восприимчивость дислокационных осцилляторов // Физико-математиче- ское моделирование систем: Материалы II Международного семинара. Ч. 1. Воронеж: ВГТУ. 2005. С. 105-114.
19.Батаронов И.Л., Дежин В.В. Анализ выражения для обратной обобщенной восприимчивости дислокационных осцилляторов // Действие электромагнитных полей на пластичность и прочность материалов: Материалы VII Международной конф. Ч. 2. Воронеж: ВГТУ. 2007. С. 143-150.
20.Батаронов И.Л., Дежин В.В. Матричные элементы обобщенной восприимчивости дислокационных осцилляторов
впайерлсовской модели // Физико-матема-тическое моделирование систем: Материалы V Международного семинара. Ч. 1. Воронеж: ВГТУ. 2008. С. 94-98.
21.Батаронов И.Л., Дежин В.В. Численный расчет матричных элементов обобщенной восприимчивости дислокационных осцилляторов // Физико-математическое моделирование систем: Материалы V Международного семинара. Ч. 1. Воронеж: ВГТУ. 2008. С. 99-106.
198
22.Батаронов И.Л., Дежин В.В. К расчету матрицы обобщенной восприимчивости дислокационного сегмента // Физико-математическое моделирование систем: Материалы V Международного семинара. Ч. 1. Воронеж: ВГТУ. 2008. С. 107116.
23.Батаронов И.Л., Дежин В.В. Полюсное представление матричных элементов обобщѐнной восприимчивости дислокационных осцилляторов // Материалы VI Международного семинара «Физико-математическое моделирование систем». Часть 1. Воронеж. 2009. С. 167-171.
24.Батаронов И.Л., Дежин В.В. О колебаниях дислокационного сегмента // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2013. Т. 18, вып. 4, ч. 2. С.
1566-1567.
25.Батаронов И.Л., Дежин В.В. Ориентационная зависимость колебательного спектра дислокационного сегмента // Материалы VI Международного семинара «Физикоматематическое моделирование систем». Часть 1. Воронеж. 2009. С. 146-154.
26Батаронов И.Л., Дежин В.В. Масштабная зависимость колебательного спектра дислокационного сегмента для различных типов дислокаций // Материалы VI Международного семинара «Физико-математическое моделирование систем». Часть 1. Воронеж. 2009. С. 155-160.
27.Батаронов И.Л., Дежин В.В. Зависимость колебательного спектра дислокационного сегмента от коэффициента Пуассона // Материалы VI Международного семинара «Физикоматематическое моделирование систем». Часть 1. Воронеж. 2009. С. 161-166.
28.Рощупкин А.М., Батаронов И.Л., Дежин В.В. Обобщенная восприимчивость дислокации в диссипативном кристалле // Изв. РАН. Сер. Физическая. 1995. Т. 59. № 10. С. 1216.
199
29.Батаронов И.Л., Дежин В.В., Рощупкин А.М. Функция отклика дислокации, взаимодействующей с точечными дефектами // Изв. РАН. Сер. Физическая. 1995. Т. 59. № 10. С. 60-64.
30.Батаронов И.Л., Дежин В.В. Динамические характеристики дислокации и дислокационное амплитуднонезависимое внутреннее трение // Вестник ВГТУ. 2006. Т. 2. №
8.С. 15-18.
31.Батаронов И.Л., Дежин В.В. Расчет динамических характеристик дислокаций с использованием выражения для обобщенной восприимчивости // Физико-математическое моделирование систем: Материалы III Международного семинара. Ч. 2. Воронеж: ВГТУ. 2006. С. 139-141.
32.Батаронов И.Л., Дежин В.В. Расчет дислокационного АНВТ с использованием выражения для обобщенной восприимчивости // Физико-математическое моделирование систем: Материалы III Международного семинара. Ч. 2. Воронеж: ВГТУ. 2006. С. 142-146.
33.Батаронов И.Л., Дежин В.В. Анализ влияния упругого взаимодействия дислокации с точечными дефектами на дислокационное АНВТ // Действие электромагнитных полей на пластичность и прочность материалов: Материалы VII Международной конф. Ч. 2. Воронеж: ВГТУ. 2007. С. 25-28.
200