3750
.pdf
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
1/a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
1 |
|
x |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Рис. 5.10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.11 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||
|
Пример 24. Вычислить интеграл |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
21 sin x |
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Решение. |
Делаем замену z |
|
|
|
eix , |
|
sin x |
|
|
|
z2 |
1 |
|
|
, dx |
|
dz |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2iz |
|
|
iz |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
z |
|
1 |
|
21 |
|
|
z2 |
|
1 5iz |
|
|
|
21 |
|
|
z |
|
|
1 z2 |
|
|
|
z 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Уравнение z2 |
|
10i |
z |
1 0 |
имеет корни z |
|
|
|
|
|
|
3i |
0, 65i |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
21 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
z2 |
|
7i |
|
|
|
|
1, 53i . |
Подынтегральная функция представима в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
10i |
1 |
|
|
|
z |
|
|
|
3i |
|
|
|
z |
|
|
|
|
7i |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
поэтому |
z1 |
|
3i |
и |
z2 |
|
7i |
|
|
– полюсы первого порядка |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
|
|
21 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подынтегральной функции |
f z |
|
.В круге |
z |
1 |
лежит лишь |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
131
точка |
z1 |
|
3i |
|
|
(рис. |
|
5.11). |
По |
|
формуле |
(5.14) |
|
имеем |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
I |
2 |
|
2 |
i res f |
|
|
|
3i |
. Находим вычет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
21 |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
||||||||||
|
Res |
f |
z , |
|
|
|
lim3i |
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3i |
|
|
|
|
7i |
4i |
||||||||||||||||||||||
|
21 |
|
|
|
|
z |
z |
|
|
z |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Следовательно, I |
2 |
|
|
|
21 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
132
ГЛАВА 6 ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО ПРИ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ СИСТЕМ
6.1. Обобщенная восприимчивость прямолинейной бесконечной дислокации
В работе [16] для обобщенной восприимчивости получено следующее выражение
|
kz , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(6.1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
G kz , |
|
|
|
|
|
|
G 0, 0 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G kz , |
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
b2 |
|
|
kD2 |
|
|
kz2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
kD2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
b |
|
|
|
|
3b |
|
|
kz |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
c2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
kD2 |
|
|
|||||||
|
2kz |
2b |
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
k 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kz2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4b2 |
b2 |
|
k 4c2 |
|
|
|
|
c2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
z t |
ln |
|
|
|
|
|
l |
|
. |
(6.2) |
||||||||||||||
|
|
|
2 |
kz2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
||||
Здесь kz |
– компонента волнового вектора вдоль линии дисло- |
||||||||||||||||||||||||||
кации, |
– частота, |
|
|
– модуль сдвига, |
|
b |
|
– вектор Бюргерса, |
|||||||||||||||||||
b – краевая компонента вектора Бюргерса, b |
– винтовая ком- |
||||||||||||||||||||||||||
понента вектора Бюргерса, |
|
|
|
|
c2 |
|
c2 |
, c |
|
и |
c |
– скорости попе- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
l |
|
t |
|
|
|
|
l |
|
|
133
речных и продольных звуковых волн, kD – волновое число Де-
бая, под ln z понимается функция, аналитическая в верхней комплексной полуплоскости: она означает ветвь, определяе-
мую неравенствами |
0 arg z |
. В соответствии с этим обход |
точки разветвления |
функции |
ln z предполагается осуществ- |
ляющимся по бесконечно малой полуокружности сверху, так что ln x ln x i . При учете этого обстоятельства в фор-
муле (6.2) видим, что при |
kz |
cl,t у функции G kz , |
по- |
является мнимая часть, соответствующая радиационным потерям на излучение. Из формулы (6.2) находим, что
|
|
k 2 |
b2 |
b2 |
c2 |
|
|
G 0, 0 |
|
t |
. |
(6.3) |
|||
|
|
||||||
8 |
D |
|
|
cl2 |
|
||
|
|
|
|
Подставляя (6.2) и (6.3) в (6.1), получаем явное выражение для обобщенной восприимчивости дислокации. При этом
слагаемое с kD2 в (6.2) сокращается с G 0, 0 . Если в получившемся выражении знаменателя kz , сделать перегруппи-
ровку, разбивая его на действительную и мнимую части и в каждой части разделить слагаемые, соответствующие краевой и винтовой компонентам дислокации, то можно увидеть, что обратная величина нашего выражения для kz , совпадает
с выражением k 2T k F 2 i , полученным Ниномией [17] с
точностью до знака мнимой части. Различие в последнем объясняется тем, что в работе [17] устранение расходимости интегралов осуществлялось добавлением к частоте бесконечно малой величины i0 в отличие от используемого здесь добавления i0 .
134
6.2.Обобщенная восприимчивость дислокационного сегмента
Данный вопрос исследовался в работах [18-24]. Для матрицы обобщенных восприимчивостей дислокационных осцил-
ляторов ˆ получено ˆ |
ˆ |
1 |
, где матричные элементы |
B |
|
определяются формулой
m n
2 2
Bmn |
4 1 |
2mn
L3
|
dq |
G q, |
|
1 |
|
1 m 1 cos qL |
|
. |
(6.4) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
0 |
|
|
m |
2 |
|
n |
2 |
|
|
||
|
q2 |
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
q |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
L |
|
|
L |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь L – длина дислокационного сегмента, q |
– ком- |
понента волнового вектора вдоль линии дислокации, G0 q, не содержит слагаемого с kD в отличие от G q, . Для вычисления интеграла в (6.4) добавим к m L и n L бесконечно
малые мнимые добавки i0 . Тогда выражение в знаменателе подынтегральной функции не будет иметь особенностей на действительной оси и в числитель можно добавить член
1 m 1 i sin qL , интеграл с которым равен нулю в силу нечет-
ности подынтегральной функции. В результате получим следующее выражение
|
|
|
m |
|
n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
mn |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Bmn 4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
L3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dq |
G0 q, |
1 |
|
|
|
|
1 m |
1 eiqL |
|
|
. |
(6.5) |
||||
2 |
|
|
|
|
|
m |
2 |
|
|
n |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
q2 |
|
|
|
q2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
L |
|
|
L |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
135 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этот интеграл может быть вычислен по теореме о вычетах, если замкнуть путь интегрирования дугой бесконечного радиуса в верхней комплексной полуплоскости. Интегралы от логарифмических особенностей функции G0 q, , вычисляемые
обходом по бесконечно малой окружности сверху от точки разветвления, дают нуль [12]. Вычисление же интеграла по
теореме о вычетах в особых точках q |
n |
i0 |
и q |
m |
i0 |
|
|
|
|||||
L |
L |
|||||
|
|
|
|
дает нуль при m n и m n (устранимые особенности). Изобразим систему разрезов на комплексной плоскости и проведем контур интегрирования C (рис. 6.1).
x
-qt -ql
Рис. 6.1
C’
ql |
q |
qt |
Очевидно, что вычисление интеграла в (6.5) ввиду отсутствия полюсов внутри области сводится к интегрированию по разрезам и по дуге C :
136
|
|
|
|
|
|
|
dq |
G |
|
q, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 m eiqL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q2 |
|
|
|
q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
dq |
G |
|
q, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 m eiqL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
C 2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
q2 |
|
qm2 / L2 |
q2 |
|
|
|
|
qn2 / L2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
d |
|
|
ql |
|
|
ix |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
m |
e |
i ql |
ix |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G0 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ql |
|
|
ix |
2 |
|
2 |
|
|
|
ql |
ix |
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qm |
|
|
|
|
|
|
|
qn |
|
|||||||||||||
3 |
|
|
d |
|
|
qt |
|
|
ix |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
m |
e |
i qt |
ix |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G0 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qt |
|
|
ix |
2 |
|
2 |
|
|
|
qt |
ix |
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qm |
|
|
|
|
|
|
|
qn |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dq |
G |
|
q, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 m eiqL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
C 2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
q2 |
|
qm2 / L2 q2 |
|
|
|
|
qn2 / L2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
d |
|
ql |
ix |
|
2 |
|
i |
|
1 |
|
1 |
|
m |
e |
i ql |
|
ix |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
ix 4 |
|
|||||
2 q ix |
|
|
|
2b2 |
b2 |
|
b2 q |
|
4b2 |
|
|
|
b2 |
|
l |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
ix |
2 |
|
|
|
q |
2 |
|
|
q |
|
ix 2 |
|
|
|
q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
d |
|
qt |
ix |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
i qt |
ix |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
i |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
8 |
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
b2q2 |
|
|
|
3b2 |
q ix 2 |
|
|
4b2 |
b2 |
|
|
|
qt |
ix 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
ix |
2 |
|
|
|
|
q2 |
|
|
q |
|
ix 2 |
|
|
q |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
137
|
|
|
L qt |
i |
|
4b2 |
b2 |
1 |
|
q2 |
q2 |
|
dx |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
l |
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
8 |
|
|
|
|
1 |
|
|
qt2 |
|
q2 |
qt2 2 |
|
|
|||
|
|
ql |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Здесь ql |
L cl , qt |
|
|
L ct , qm |
|
|
m , qn |
|
n , G0 l |
– скачок |
|||||||
функции |
G0 q, |
|
на |
разрезе |
ql , |
G0 t |
– |
|
скачок |
функции |
|||||||
G0 q, |
на разрезе qt |
, |
на дуге C выделено слагаемое, не об- |
||||||||||||||
ращающееся в нуль при |
R |
|
( R – радиус полуокружности |
||||||||||||||
на рис. 6.1). Таким образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m n
2 2
Bmn 1
где
mn |
Il |
It I4 IC , |
(6.6) |
|
|
||||
2L2 |
||||
|
|
|
|
|
|
I |
l |
2 2b2 |
b2 Ll1 |
|
|
b2 q2 Ll0 |
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
mn |
|
|
|
|
l mn |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
2 t0 |
|
|
|
2 t1 |
|
|
|
|
|
|
4b2 |
b2 |
t 2 |
|
|
l 2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
It b |
|
qt Lmn |
3b1 Lmn , |
I4 |
|
|
|
|
|
|
|
Lmn |
|
|
Lmn |
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
q2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qt |
i |
4b2 |
|
b2 |
1 |
|
|
|
|
|
q2 |
|
q2 |
dx |
|
|
|
|||||||||
|
|
I |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
. |
|
(6.7) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
qt2 |
|
|
q2 |
|
qt2 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ql |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Здесь обозначены интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
q |
|
ix 2k 1 |
|
1 m eiq |
|
x |
|
|
|
|||||||||||||
L |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(6.8) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
mn |
|
|
|
|
q |
ix 2 |
|
q2 |
|
|
q |
|
|
ix |
2 |
|
|
q2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||
Для интеграла по дуге C |
заметим, что в выражении |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
q2 |
|
q2 |
|
q2 |
q2 |
|
|
|
|
|
q2 |
q2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
ln |
|
|
|
l |
|
ln |
|
|
|
l |
|
|
|
i arg |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
q2 |
|
q2 |
q2 |
q2 |
|
|
q2 |
q2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
||||
первое слагаемое справа при |
R |
|
|
|
|
|
|
|
обращается в нуль, а вто- |
||||||||||||||||||||||
рое для системы введенных разрезов имеет пределом |
2 i , так |
||||||||||||||||||||||||||||||
что в итоге имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
138
|
|
|
|
|
|
|
|
4b2 |
|
|
|
b2 qt |
|
|
|
dx |
|
|
|
4b2 |
b2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Ic |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
i |
|
|
i |
1 |
|
|
|
|
qt |
ql |
, |
(6.9) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qt |
|
|
ql |
|
|
|
|
|
|
qt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
L k |
1 |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
q2k 1 |
Ein |
|
i |
q |
|
|
q |
|
Ein |
i q |
q |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
mn |
2 q2 |
q2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
q2k 1 |
|
Ein |
|
|
i |
|
|
q |
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
Ein |
i |
|
|
q |
q |
|
|
|
|
1 m eiq |
k ,2 |
, |
|||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.10) |
|
где Ein |
|
|
|
|
z 1 |
|
|
|
e |
|
t |
|
|
– целая часть интегральной показатель- |
||||||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной функции. Окончательно запишем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
mn |
|
|
|
3b12Ltmn1 |
2 b2 |
2b12 Llmn1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Bmn |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2L2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
t0 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
l0 |
|
|
4b2 |
b2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
(6.11) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
q |
|
|
L |
|
|
b |
|
q |
L |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
mn |
|
|
|
|
l |
mn |
|
|
q2 |
|
|
|
mn |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь L |
2 |
|
|
Lt 2 |
|
|
|
|
|
|
Ll 2 |
|
|
i q |
|
|
q . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
mn |
|
mn |
|
|
|
|
|
|
mn |
|
|
t |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
В |
низкочастотном |
|
пределе |
|
|
|
0 |
|
|
|
с |
использованием |
||||||||||||||||||||||||||
формулы |
Ein ix |
|
|
|
|
|
Cin |
x |
|
iSi |
x |
|
|
оказалось возможным раз- |
делить действительную и мнимую части и получить явные выражения для матричных элементов. Для недиагональных элементов
|
|
|
|
m |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
q2 |
|
q3 |
, |
||
B |
mn |
1 |
|
|
|
|
|
C |
M |
i |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
mn |
|
|
|
|
|
|
4 L |
mn |
|
mn t |
|
mn t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где введены матрицы взаимных жесткостей Cmn , масс M mn и
коэффициентов затухания |
mn |
дислокационных осцилляторов: |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
3 4 b2 |
2 b2 |
qmSi qm |
qnSi qn |
q q |
|
, |
|
|
|
n |
||||||
mn |
1 |
|
|
q2 |
q2 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
n |
m |
|
|
|
139
|
|
|
|
|
M |
mn |
|
b2 |
|
|
|
2b2 |
qmqn |
|
|
|
|
Si qm |
|
|
|
Si qn |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q2 |
|
|
|
q2 |
|
|
|
|
qm |
|
|
|
|
qn |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 n 4 |
b |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
5 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mn |
|
|
|
|
|
|
|
qmqn |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Для диагональных элементов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
B |
( 1) |
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
nn |
|
|
|
M |
|
|
|
q2 |
|
|
i |
|
q3 |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
nn |
|
|
|
4 |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nn t |
|
|
|
|
nn t |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где теперь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
C |
|
|
1 |
2 b2 |
3 |
4 |
|
|
|
b2 |
ln |
k |
|
|
|
LeC |
|
|
|
Cin |
q |
Si qn |
|
q2 , |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
nn |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
qn |
|
n |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
M |
|
|
1 |
|
b2 |
2b2 ln k |
|
|
LeC |
|
|
Cin |
|
q |
|
Si |
|
qn |
, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
nn |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
qn |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 |
|
|
1 n |
|
b |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
5 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nn |
|
|
|
5 |
|
|
|
qn2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Здесь |
|
Cin |
x |
x 1 |
cos t |
dt |
и Si x |
|
|
|
x |
sin t |
dt |
– интегральный |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
косинус и интегральный синус. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Диагональные матричные элементы обобщенной воспри- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имчивости |
|
ii ( |
) можно представить в виде разложения в ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
по полюсам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A i |
|
|
|
|
|
|
|
A i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ii ( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
k |
|
– полюса функции |
ii |
( |
|
|
) , |
|
A i |
|
|
– числовые коэффици- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
енты, которые можно приближенно рассчитать следующим
образом: |
A i |
ii |
( |
0 |
) |
0 |
k |
, где |
0 |
– значение частоты |
|
k |
|
|
|
|
|||||
достаточно близкое к |
|
k . |
|
|
|
|
140