3750
.pdfв) функции sin z и cos z – периодические с действительным
периодом |
2 и имеют только действительные нули z k и |
|||
z |
|
k |
соответственно, где |
k Z ; |
|
||||
2 |
|
|
|
|
г) |
sin z – нечетная функция, |
cos z – четная функция; |
д) для тригонометрических функций остаются в силе все формулы тригонометрии:
sin2 z cos2 z 1 , |
cos2 z |
|
sin2 z |
cos 2z |
sin 2z |
2sin z cos z , |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin |
z1 |
z2 |
|
|
|
sin z1 cos z2 |
cos z1 sin z2 , |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
cos |
z1 |
z2 |
|
|
|
cos z1 cos z2 |
|
sin z1 sin z2 ; |
|
(2.2) |
||||||||||
е) имеют место формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
sin(x |
iy) |
sin x ch y |
i cos x sh y , |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
cos(x iy) |
|
cos x ch y |
i sin x sh y . |
|
(2.3) |
|||||||||||||||
|
Функции |
tg z |
и |
ctg z |
|
определяются |
равенствами: |
||||||||||||||||||
tg z |
|
sin z |
|
и ctg z |
cos z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
cos z |
|
|
sin z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4. Гиперболические функции определяются равенствами: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ez |
e z |
|
|
|
|
ez |
e |
z |
|
|
|
sh z |
|
|
|
|
ch z |
|
||||
sh z |
|
|
|
, ch z |
|
|
|
|
|
|
, |
th z |
|
|
|
, |
cth z |
|
|
. |
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
ch z |
|
sh z |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Тригонометрические и гиперболические функции связа- |
||||||||||||||||||||||||
ны между собой следующими соотношениями: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin z |
i sh iz , |
|
sh z |
|
i sin iz , |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
cos z ch iz , |
|
ch z |
cos iz , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
tg z |
i th iz , |
|
th z |
|
i tg iz , |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
ctg z |
i cth iz , |
cth z |
i ctg iz . |
|
|
|
(2.4) |
||||||||||||
Таким образом, |
свойства функций sh z |
и |
ch z |
непосредствен- |
|||||||||||||||||||||
но вытекают из свойств функций |
sin z |
и cos z . Отметим, в ча- |
|||||||||||||||||||||||
стности, что функции |
sh z |
и |
ch z непрерывны на всей ком- |
||||||||||||||||||||||
плексной плоскости. Имеют место формулы |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
ch2 z |
|
|
sh2 z |
1 , |
ch2 z |
|
sh2 z |
ch 2z , |
2sh z ch z |
|
sh 2z , |
|
31
sh z1 |
z2 |
sh z1 ch z2 |
ch z1 sh z2 , |
|
||||||
ch |
z1 |
z2 |
ch z1 ch z2 |
sh z1 sh z2 . |
(2.5) |
|||||
5. Логарифмическая функция |
Ln z |
( z |
0 ) |
определяется |
||||||
как функция, обратная показательной ez , причем |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
k Z . |
|||
Ln z ln |
z |
i Arg z |
ln |
z |
i arg z |
2k |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта функция является многозначной. Главным значением на-
зывается |
то, которое получается при |
k |
0 ; |
оно равно |
|
|
i arg z . Очевидно, что Ln z |
|
|
i . Для лога- |
|
ln z ln |
z |
ln z |
2k |
||
|
|
|
|
|
|
рифмической функции справедливы следующие соотношения:
Ln z z |
2 |
Ln z |
Ln z |
2 |
, |
Ln |
z1 |
|
Ln z Ln z |
2 |
. |
|
|||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
z2 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. Обратные тригонометрические |
функции |
|
Arcsin z , |
Arccos z , Arctg z , Arcctg z определяются как функции, обратные соответственно к функциям sin w , cos w , tg w , ctg w . На-
пример, если |
z |
sin w , то w называется арксинусом числа z и |
обозначается |
w |
Arcsin z . Все эти функции являются много- |
значными и выражаются через логарифмические функции:
Arcsin z |
i Ln iz |
1 |
z2 |
, |
Arccos z |
i Ln z |
|
z2 |
1 , |
|||||||
Arctg z |
i |
Ln |
1 |
iz |
, |
Arcctg z |
i |
Ln |
z |
i |
. |
(2.6) |
||||
|
|
|
|
|
|
z |
i |
|||||||||
2 |
1 |
iz |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Главные значения обратных тригонометрических функ- |
||||||||||||||||
ций arcsin z , |
arccos z , |
arctg z , |
arcctg z получаются, |
если брать |
главные значения соответствующих логарифмических функций.
7. Обратные гиперболические функции Arsh z , Arch z ,
Arth z , Arcth z определяются как функции, обратные соответственно к функциям sh w , ch w , th w , cth w . Например, если z sh w , то w называется ареа-синусом числа z и обозначает-
32
ся w |
Arsh z . Все эти функции являются многозначными и |
||||||||||||||||||||
выражаются через логарифмические функции: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Arsh z |
Ln |
z |
|
z2 |
1 |
|
, Arch z |
Ln |
z |
|
z2 1 , |
|
|||||||||
|
Arth z |
|
1 |
Ln |
1 |
z |
, |
Arcth z |
1 |
Ln |
z |
1 |
. |
|
(2.7) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
1 |
z |
|
2 |
|
|
z |
1 |
|
|
|||||||
Главные значения обратных гиперболических функций |
|||||||||||||||||||||
arsh z , |
arch z , |
arth z , |
arcth z |
получаются, если брать главные |
|||||||||||||||||
значения соответствующих логарифмических функций. |
|
||||||||||||||||||||
8. |
Общая степенная функция w |
za , где a |
i – |
||||||||||||||||||
любое комплексное число, определяется равенством za |
ea Ln z |
. Эта функция многозначная, ее главное значение равно |
ea ln z . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если a |
1 |
( n N ), то получаем многозначную функцию – ко- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рень n -й степени из комплексного числа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
arg z 2k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
z |
i arg z 2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
z1 n n z en |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
z |
e |
n . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
9. Общая показательная функция w |
|
az |
( a |
|
0 – любое |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
комплексное число) определяется равенством |
az |
ez Ln a . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Главное значение этой многозначной функции равно ez ln a . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пример 7. Вычислить w |
|
sin z при z0 |
|
i ln(2 |
|
5) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Согласно формулам (2.3) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
w0 |
sin z0 sin |
|
|
|
ch ln(2 |
5) |
|
i cos |
|
sh ln(2 |
5) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
i sh ln(2 |
|
|
|
|
|
|
i |
(eln(2 |
5) |
|
e |
|
ln(2 |
5) ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
i 8 4 5 |
|
i |
4 2 |
5 |
|
|
|
2i . |
|||||||||||||||||||||||
|
2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 8. Вычислить ii .
33
Решение: Согласно определению общей показательной
функции |
ii |
ei Ln i |
|
ei ln |
|
i |
|
|
i arg i |
|
2k |
|
|
|
e |
2 |
2k |
|
|
|
|
e |
1 2 |
2k . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Пример 9. Записать в алгебраической форме |
Arctg(1 |
i) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. Согласно формуле |
Arctg z |
|
|
i |
Ln |
1 |
|
iz |
|
полу- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
iz |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
чаем |
Arctg 1 |
i |
|
|
|
|
i |
Ln |
1 |
i |
1 |
|
i |
|
|
|
i |
|
Ln |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
Ln |
|
1 |
|
2i |
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
i |
1 |
|
i |
2 |
|
|
2 |
|
i |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
По |
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
z |
|
i arg z |
2k |
i |
|
|
( k |
|
Z ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Ln z |
|
|
ln |
z |
|
iArg z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеем |
Ln |
1 |
|
|
2 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ln 5 |
|
i |
arctg2 |
|
2k |
|
i . |
|
|
Оконча- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
5 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
тельно получаем |
Arctg 1 |
i |
|
|
|
1 |
arctg2 |
|
|
2k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
ln 5 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Пример 10. Решить уравнение sin z |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. Задача сводится к нахождению величины |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
Arc sin 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
По формуле (2.6) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
Arcsin 3 |
|
|
i Ln(3i |
|
|
8) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i Ln i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i arg 3 |
|
|
|
|
2k |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
3 8 |
|
|
|
ln 3 |
8 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2k |
i ln |
|
|
|
|
, где |
k |
Z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
3 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34
2.2. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции
комплексного переменного
|
Пусть дана последовательность |
zn |
комплексных чисел: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z1, z2 , |
, zn , |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Определение 1. Комплексное число |
a |
называется преде- |
|||||||||||||||
лом последовательности |
zn |
, если для любого положитель- |
||||||||||||||||
ного числа |
можно указать такой номер N |
|
N |
, начиная с |
||||||||||||||
которого все элементы zn |
этой последовательности удовлетво- |
|||||||||||||||||
ряют |
неравенству |
|
zn |
a |
|
|
при n |
N |
|
. |
Последователь- |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
ность zn |
, имеющая предел |
a , называется сходящейся к чис- |
||||||||||||||||
лу a , что записывается в виде |
lim zn |
a . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Каждой последовательности комплексных чисел |
zn |
со- |
|||||||||||||||
ответствуют две |
|
последовательности |
действительных |
чисел |
||||||||||||||
xn |
и yn |
, где zn |
|
|
xn |
iyn , |
n 1, 2, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Теорема 1. Последовательность |
zn |
|
xn |
iyn |
сходится |
||||||||||||
к числу a |
i |
|
тогда и только тогда, когда lim xn |
и |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
lim yn |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 2. Последовательность |
|
zn |
называется ог- |
||||||||||||||
раниченной, если существует положительное число |
M такое, |
|||||||||||||||||
что для всех элементов |
zn |
этой последовательности выполня- |
||||||||||||||||
ется неравенство |
|
zn |
|
|
M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность ог- |
|||||||||||||||||
раничена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
Свойства сходящихся последовательностей комплексных чисел
Если lim zn |
a и |
lim |
n b , то |
n |
|
n |
|
1. lim (zn |
n ) a |
b ; |
|
n |
|
|
|
|
|
|
2. lim (zn |
n ) ab ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
lim |
|
zn |
|
|
a |
|
( |
n |
0 , |
b |
0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Достаточное условие сходимости последовательно- |
|||||||||||||||||||||||||
сти |
|
комплексных |
|
чисел. |
Пусть |
z |
n |
r ei |
n , |
где |
r |
|
z |
n |
|
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
||
|
n |
arg zn . |
|
Тогда, |
|
если |
lim rn |
r0 |
и |
lim |
n |
0 , |
|
|
то |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim z |
n |
r ei |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Если для сколь угодно большого числа |
M |
0 существу- |
|||||||||||||||||||||||
ет натуральное число N |
такое, |
что все члены zn последова- |
||||||||||||||||||||||||||
тельности с |
номерами |
n |
N |
удовлетворяют |
неравенству |
|||||||||||||||||||||||
|
zn |
|
M , то говорят, |
что последовательность |
zn |
сходится к |
||||||||||||||||||||||
|
|
бесконечно удаленной точке или, просто, к бесконечности, и
пишут lim zn |
. |
|
n |
|
|
Дополняя плоскость комплексного переменного так вве- |
||
денной бесконечно удаленной точкой z |
, получаем расши- |
|
ренную плоскость комплексного переменного. |
||
Окрестностью бесконечно удаленной точки называется |
||
совокупность |
всех точек z , удовлетворяющих неравенству |
z R (с присоединением бесконечно удаленной точки), т.е.
совокупность всех точек z , лежащих вне круга с центром в начале координат достаточно большого радиуса R .
Определение 3. Окрестностью точки z0 плоскости ком-
плексного переменного z называется всякая область, содер-
36
жащая эту |
точку; |
|
|
-окрестностью |
точки |
z0 |
называется |
|||||||||||
множество всех точек |
|
z , лежащих внутри круга радиуса |
с |
|||||||||||||||
центром в точке z0 , |
т.е. множество всех точек |
z , удовлетво- |
||||||||||||||||
ряющих неравенству |
|
|
z |
|
z0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Пусть функция |
|
|
f |
|
z определена в некоторой окрестно- |
|||||||||||
сти |
точки z0 , кроме, быть может, самой точки z0 . |
|
||||||||||||||||
|
|
Определение 4. |
Число |
A называется пределом функции |
||||||||||||||
|
f z |
в точке z0 , если для любого числа |
0 можно указать |
|||||||||||||||
такое число |
|
|
|
|
0 , что для всех точек z |
|
, удовлетво- |
|||||||||||
ряющих условию |
0 |
|
|
z z0 |
|
, |
выполняется |
неравенство |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
f z |
A |
|
. В этом случае пишут |
lim f |
z |
A . Здесь пред- |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
z0 |
|
|
|
|
полагается, что z0 и A – конечные точки комплексной плоско-
сти.
Приведем еще одно определение предела функции в точке. Пусть функция f z определена в некоторой окрестности
точки z0 , кроме, быть может, самой точки z0 . Определение 5. Если для любой последовательности zn
, zn z0 , сходящейся к точке z0 , соответствующая ей последо-
вательность значений функции |
f |
zn |
|
сходится к одному и |
|||
тому же комплексному числу A , |
то число A называют преде- |
||||||
лом функции f z |
в точке |
z0 : |
lim |
f |
z |
A . Здесь конеч- |
|
|
|
|
z |
z0 |
|
|
|
ность z0 и A не предполагается. |
|
|
|
|
|
||
Существование предела lim |
f |
z |
, где |
|
|||
|
z |
z0 |
|
|
|
|
|
f z |
u x, y iv x, y , |
|
z0 |
x0 |
iy0 , |
37
равносильно существованию двух пределов |
lim u x, y и |
|
|
x |
x0 |
|
y |
y0 |
lim v x, y , причем |
lim f |
z |
lim u x, y |
i lim v x, y . |
||
x x0 |
z z |
0 |
|
x x0 |
x x0 |
|
y y0 |
|
|
|
y |
y0 |
y y0 |
Пределы функций комплексного переменного обладают |
||||||
следующими свойствами. Пусть существуют пределы |
||||||
lim f |
z |
|
A и |
lim g z |
B . |
|
z z0 |
|
|
|
z |
z0 |
|
Тогда
|
|
|
|
lim |
|
|
f |
z |
|
g z |
A |
B , |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
z |
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f |
z g |
z |
AB , |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
z |
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
lim |
|
f |
z |
|
|
A |
|
, |
B |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
z |
|
|
B |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
z |
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Определение 6. |
Функция f |
z |
, заданная в области |
D , |
||||||||||||||||
называется непрерывной в точке z0 |
D , если |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
f |
|
z |
f |
z0 . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Иными словами: функция f z |
непрерывна в точке |
z0 |
D , |
||||||||||||||||||
если |
для |
любого |
числа |
|
0 |
|
можно |
указать |
такое |
число |
|||||||||||
|
|
|
0 , что для всех точек |
z |
D , удовлетворяющих ус- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ловию |
z |
z0 |
, выполняется неравенство |
f z |
f z0 |
|
. |
||||||||||||||
|
Для непрерывности функции комплексного переменного |
||||||||||||||||||||
f z |
|
u |
x, y |
iv x, y |
|
в точке z0 |
x0 |
iy0 необходимо и дос- |
таточно, чтобы ее действительная и мнимая части, т.е. функции u x, y и v x, y , были непрерывны в точке x0 , y0 по со-
вокупности переменных x и y .
38
|
|
Определение 7. Функция |
f |
z |
комплексного переменно- |
|||||||||||||||||||||||||||
го называется непрерывной в области D , если она непрерывна |
||||||||||||||||||||||||||||||||
в каждой точке этой области. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Определение 8. Сумма, разность и произведение двух |
||||||||||||||||||||||||||||||
функций комплексного переменного |
f |
|
z |
|
|
и g |
z |
, непрерыв- |
||||||||||||||||||||||||
ных в области D , также являются непрерывными функциями в |
||||||||||||||||||||||||||||||||
этой области, а функция |
|
f |
z |
непрерывна в тех точках облас- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
g |
z |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ти D , где g z |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Определение 9. Если функция |
f |
z |
|
|
непрерывна в точке |
|||||||||||||||||||||||||
z0 , а функция F |
|
|
|
непрерывна в точке |
|
0 |
f |
z0 , то слож- |
||||||||||||||||||||||||
ная функция F |
f |
z |
|
непрерывна в точке z0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Определение 10. Функция |
f z |
|
комплексного перемен- |
|||||||||||||||||||||||||||
ного называется равномерно непрерывной в области |
D , если |
|||||||||||||||||||||||||||||||
для |
любого |
числа |
|
|
|
|
0 |
|
|
можно |
указать |
такое |
число |
|||||||||||||||||||
|
|
0 , что для любых точек |
z1, z2 |
|
|
D , |
удовлетворяю- |
|||||||||||||||||||||||||
щих |
условию |
|
|
|
z1 |
|
z2 |
|
|
|
|
, |
|
выполняется |
|
неравенство |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
f z1 |
f z2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Пример 11. Вычислить предел |
lim |
|
z2 |
4iz 3 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
i |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Решение. |
lim |
z |
2 |
4iz |
3 |
|
|
0 |
|
lim |
|
|
z |
i |
z |
|
|
3i |
2i . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
z i |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
z |
i |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
z |
i |
|
|
|
|
|
|
z |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Пример 12. Вычислить предел |
limi |
|
|
sin iz |
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ch z |
i sh z |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
39
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limi |
sin iz |
limi |
sin iz |
|
|
|
|
2 2 |
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ch z i sh z |
cos iz sin iz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 2 |
|
2 2 |
||||||||||||||
z |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 13. Вычислить предел lim |
|
e2iz |
1 |
. |
|
|
|
||||||||||||
|
eiz |
i |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
|
|
|
e2iz |
1 |
0 |
|
|
z |
|
|
|
e2i |
i |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
|
|
|
2 |
|
lim |
|||||||||
|
eiz |
i |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z |
|
|
|
z |
|
|
|
0 |
i |
i |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
e |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
lim |
1 |
e2i |
|
|
|
|
|
|
|
0 iei |
i |
i
i lim |
1 |
|
cos 2 |
i sin 2 |
i lim |
2sin2 |
|
|
|
|
i2sin |
cos |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
cos |
i sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 2sin2 |
|
|
|
i2sin |
|
|
cos |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
sin |
|
sin |
i cos |
|
|
|
2 sin |
|
|
cos |
|
|
|
|
i |
|
|
|
||||||||||||
i lim |
|
|
|
|
i lim |
2 |
|
2 |
|
|
|
2i . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 sin |
|
|
sin |
|
i cos |
|
|
|
0 |
|
sin |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2.3. Дифференцирование функций |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
комплексного переменного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пусть функция w |
f z |
|
определена в некоторой области |
||||||||||||||||||||||||||||||
D комплексной плоскости |
z . Пусть точки |
|
z |
и |
z |
z |
при- |
||||||||||||||||||||||||||
надлежат |
|
|
области |
D . |
Обозначим |
w |
f |
z |
z |
|
f |
z , |
|||||||||||||||||||||
z x i |
y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение 1. Функция w f z |
|
|
называется диффе- |
||||||||||||||||||||||||||||||
ренцируемой в точке z |
D , если отношение |
|
|
w |
имеет конеч- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ный предел при z , стремящемся к нулю произвольным образом. Этот предел называется производной функции f z в
40