3750
.pdfФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
В.В. Дежин С.А. Кострюков
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ФИЗИКОМАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Воронеж 2015
УДК 517
Дѐжин В.В. Функции комплексного переменного и их применение при физико-математическом моделировании: учеб. пособие [Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые, граф. данные (12,8 Мб)/ В.В. Дежин, С.А. Кострюков. – Воронеж : ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2015. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM). – Систем. требования: ПК 500 и выше; 512 Мб ОЗУ; Windows XP/7/8; Adobe Reader 9 или более поздняя версия; 1024x768; CD-ROM; мышь. – Загл. с экрана.
Пособие содержит теоретический материал по функциям комплексного переменного, примеры решения задач, а также прикладные задачи технической физики.
Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлениям 150100.62 «Материаловедение и технологии материалов», 223200.62 «Техническая физика», 222900.62 «Нанотехнологии и микросистемная техника», всем профилям, дисциплинам «Математика» и «Специальные главы математики».
Ил. 55. Библиогр.: 33 назв.
Рецензенты: кафедра математических методов исследования операций Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. А.Г. Баскаков); канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. Ломакин
Дѐжин В.В., Кострюков С.А., 2015 Оформление. ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2015
ВВЕДЕНИЕ
Раздел «Функции комплексного переменного» является одним из наиболее важных и сложных при изучении курса «Специальные главы математики». Глубокое неформальное изучение таких основных понятий как комплексные числа, кривые и области на комплексной плоскости, основные элементарные функции комплексного переменного, дифференцирование функций комплексного переменного, интегрирование функций комплексного переменного, разложение функций комплексного переменного в ряды Лорана, применение вычетов к вычислению контурных интегралов и определенных интегралов необходимо при усвоении специальных курсов для студентов материаловедческих специальностей.
В главе 1 пособия содержатся необходимые теоретические сведения по комплексным числам и действиям с ними. Во 2-й главе пособия определяются основные элементарные функции комплексного переменного, вводится понятие аналитических функций комплексного переменного и их дифференцирования. В 3-й главе пособия излагается понятие интегрирования функций комплексного переменного, применение интегральной формулы Коши. В 4-й главе пособия изучается разложение функций комплексного переменного в ряды Лорана. Проводится классификация изолированных особых точек, определяется вычисление вычетов в изолированных особых точках. В 5-й главе рассматриваются вычеты и их приложение к вычислению интегралов. Главы разбиты на параграфы, в каждом из которых приведены примеры решения задач. В 6-й главе приведены примеры физико-математического моделирования задач физики твердого тела и технической физики. В приложениях даны понятия однолистностных функций и конформных отображений.
Пособие может использоваться как студентами, так и преподавателями для подготовки к практическим занятиям, контрольным работам, коллоквиуму, экзамену.
3
ГЛАВА 1
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ
1.1. Определение комплексного числа
Комплексными числами называются пары x, y действительных чисел x и y , если для них определены понятия ра-
венства и операции сложения и умножения следующим образом:
1. Два комплексных числа x1, y1 и x2 , y2 считаются
равными тогда и только тогда, когда |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x1 |
x2 и |
y1 |
y2 . |
|
(1.1) |
|
2. |
Суммой двух комплексных чисел x1, |
y1 и |
x2 , |
y2 |
|||||
называется комплексное число |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x1 x2 , |
y1 |
y2 |
|
(1.2) |
|
3. Произведением двух комплексных чисел |
x1, y1 |
и |
|||||||
x2 , y2 |
называется комплексное число |
|
|
|
|||||
|
|
|
x1x2 |
y1 y2 , |
x1 y2 |
x2 y1 . |
|
(1.3) |
|
Из формул (1.2) и (1.3) вытекают соотношения: |
|
|
|||||||
x1, 0 |
x2 , 0 |
x1 |
x2 , 0 , |
x1, 0 x2 , 0 |
x1x2 , 0 , |
|
которые показывают, что операции над комплексными числа-
ми вида |
x, 0 совпадают с операциями над действительными |
|||||
числами |
x . Поэтому комплексные числа вида x, 0 |
отождест- |
||||
вляются с действительными числами: |
x, 0 x . |
|
|
|||
Комплексное число 0, 1 |
|
|
называется мнимой еди- |
|||
1 |
||||||
ницей и обозначается буквой i , т.е. i |
0, 1 . Для произведения |
|||||
i2 по формуле (1.3) имеем i2 i i |
0, 1 0, 1 |
1, 0 |
1. |
Из формул (1.2) и (1.3) вытекают также равенства:
4
0, y |
0, 1 |
y, 0 |
iy , |
x, y |
x, 0 |
0, y |
x iy . |
Таким образом, каждое комплексное число x, y можно представить в виде x iy . Запись комплексного числа в виде x iy называется алгебраической формой комплексного числа Комплексные числа вида iy называются чисто мнимыми. В частности, число 0, т.е. комплексное число 0, 0 , является единст-
венным числом, которое одновременно и действительное и чисто мнимой.
С помощью алгебраической формы комплексного числа
формулы (1)–(3) записываются таким образом: |
|
|
|||||||||||
1. |
x1 |
iy1 |
x2 |
iy2 тогда и только тогда, когда |
|
||||||||
|
|
|
|
x1 |
x2 и |
y1 |
y2 . |
|
|
(1.4) |
|||
|
2. |
|
x1, y1 |
+ x2 , y2 |
= |
|
x1 |
x2 |
i y1 |
y2 . |
(1.5) |
||
3. |
x1 |
iy1 |
x2 |
iy2 |
x1x2 |
|
y1 y2 |
i x1 y2 |
x2 y1 . |
(1.6) |
|||
Комплексное число x |
iy |
принято обозначать одной бук- |
|||||||||||
вой z , т.е. |
z x |
iy . Число |
x |
называется действительной ча- |
|||||||||
стью, |
а |
число |
y |
– |
мнимой |
частью |
комплексного |
числа |
|||||
z x |
iy . Для этих чисел приняты обозначения: |
|
|
||||||||||
|
|
x |
Re x |
iy |
Re z , |
|
y |
Im x |
iy |
Im z . |
|
(Обозначения Re и Im являются сокращениями французских слов Réel (действительный) и Imaginaire (мнимый)). Здесь, как
и всюду в дальнейшем, предполагается, что x и |
y – действи- |
||||
тельные числа. |
|
|
|
|
|
Комплексное число |
x |
iy |
называется комплексно сопря- |
||
жѐнным с числом x iy и обозначается: |
|
||||
|
|
|
|
x iy . |
.(1.7) |
z |
x |
iy |
Равенство z z имеет место в том и только в том случае, когда z – действительное число.
Пример 1.1. z 5 3i , тогда z 5 3i .
5
|
|
|
|
Число x2 y2 |
называется модулем комплексного числа |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
x |
|
iy и обозначается |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
x |
|
iy |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
y2 . |
|
|
|
|
|
(1.8) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Очевидно, |
|
z |
|
0 , |
причем |
|
z |
|
0 |
|
|
тогда и только тогда, |
когда |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
0 . Отметим две формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
z |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.9) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zz |
|
z |
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.10) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
которые вытекают из равенств (1.7), (1.8) и равенства |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zz |
|
x iy x iy |
x2 |
|
y2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пример 1.2. |
z |
5 |
3i , |
|
тогда |
|
z |
|
|
5 |
3i |
|
52 |
( |
3)2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9i2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
34 , zz |
(5 |
3i)(5 |
3i) |
25 |
|
|
15i |
|
|
|
|
|
15i |
25 |
9 |
34 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
z |
|
2 |
|
2 |
34 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают следующими свойствами:
1. Коммутативность
|
z1 |
z2 |
z2 |
z1 , |
z1z2 |
z2 z1 . |
2. Ассоциативность |
|
|
|
|||
z1 z2 |
z3 |
z1 |
z2 |
z3 , |
z1z2 z3 z1 z2 z3 . |
|
3 Дистрибутивность |
|
|
|
|||
|
|
z1 z2 |
z3 |
z1z2 z1z3 . |
||
Докажем, например, коммутативность сложения. Пусть |
||||||
z1 x1 iy1 , z2 |
x2 |
iy2 . Тогда по формуле (1.5) имеем |
||||
|
z1 |
z2 |
x1 |
x2 |
i y1 |
y2 , |
|
z2 |
z1 |
x2 |
x1 |
i y2 |
y1 . |
Но по свойству коммутативности сложения действительных
чисел |
x1 |
x2 x2 x1 и y1 y2 y2 y1 . Следовательно, |
z1 z2 |
z2 |
z1 . Аналогично проверяются остальные свойства. |
6
Из свойств 1-3 вытекает, что операции сложения и умножения над комплексными числами x iy обладают фор-
мально такими же свойствами, как если бы число i было действительным. В частности, нет необходимости запоминать формулы (1.5)–(1.6), их можно получить по обычным формулам алгебры. Например, (1.6) вытекает из равенства
x iy |
x |
iy |
x x |
iy y |
ix y i2 y y |
2 |
|||||
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
1 |
и равенства i2 1 . Числа нуль и единица в множестве комплексных чисел обладают теми же свойствами, что и в множестве действительных чисел. А именно, для любого комплексного числа z имеют место равенства
z 0 z , z 1 z .
В множестве комплексных чисел можно ввести операцию, обратную к операции сложения. Эта операция, как обычно, называется вычитанием. Для любых двух комплексных чи-
сел |
z1 и z2 существует, |
и притом только одно, число z , удов- |
||||||||
летворяющее уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
z |
z2 |
z1 . |
|
|
|
|
(1.11) |
Это число называется разностью чисел |
z1 и z2 и обозначается |
|||||||||
z1 |
z2 . В частности, разность 0 |
z обозначается |
z . |
|
||||||
|
Из равенств (1.4) и (1.5) вытекает, что для любых ком- |
|||||||||
плексных чисел z1 |
x1 |
iy1 |
и |
z2 |
x2 |
iy2 |
уравнение |
(1.11) |
||
имеет единственное решение |
z |
x1 |
x2 |
i y1 |
y2 . |
Таким |
||||
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
z2 |
x1 |
x2 |
i |
y1 |
y2 . |
|
|
(1.12) |
|
Операция, обратная умножению, называется делением, а |
|||||||||
частным двух комплексных чисел |
z1 |
и z2 |
называется такое |
|||||||
число z , которое удовлетворяет уравнению |
|
|
|
|||||||
|
|
|
zz2 |
z1 , |
|
|
|
|
(1.13) |
|
и обозначается z1 : z2 или z1 |
z2 . Докажем, что уравнение (1.13) |
имеет единственное реше6ние для любых комплексных чисел
7
z1 |
и z2 , если z2 |
|
0 . Умножая обе части уравнения (1.13) на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
число |
|
|
|
и используя формулу (1.10), получаем |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
2 |
z |
z |
2 |
|
z z |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
откуда умножением на число 1 |
|
|
z |
2 |
|
2 находим z |
|
z1z2 |
. Таким |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
z1 |
|
|
z1z2 |
|
z1z2 |
, |
|
|
|
z |
2 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.14) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
z2 z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если z1 |
|
|
x1 |
|
iy1 |
и z2 |
x2 |
iy2 , то формулу (1.14) можно запи- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сать в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
x iy |
|
x1 |
iy1 |
x2 |
|
|
iy2 |
|
|
|
x x |
|
y y |
|
|
x y x y |
|
|
||||||||||||||||||||||
z |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
1 2 |
|
|
i |
|
2 1 |
1 2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
z2 |
|
|
x2 |
iy2 |
|
x2 |
iy2 |
x2 |
|
iy2 |
|
|
|
x22 |
y22 |
|
|
|
|
x22 |
|
y22 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Пример 1.3. Пусть z1 |
2 |
|
3i , z2 |
3 |
|
4i .Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 z2 |
(2 3) i( 3 4) 5 i , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
z2 |
(2 3) i( 3 4) |
|
1 7i , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
z z |
2 |
|
|
2 3i 3 4i |
6 8i 9i 12i2 |
|
6 i 12 18 i , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
z1 |
|
|
|
2 3i |
|
|
2 3i 3 4i |
|
|
6 8i 9i 12i2 |
|
|
6 17 |
i . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z2 |
|
|
|
3 4i |
|
|
3 4i 3 4i |
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
42 |
|
|
|
|
25 |
|
25 |
|
|
|
|||||||||||||||||
1.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Пусть на плоскости задана прямоугольная система коор- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
динат. |
Комплексное число |
z |
|
|
|
x |
|
iy |
изображается точкой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
плоскости с координатами |
x, |
y |
|
|
, и эта точка обозначается той |
же буквой z (рис. 1.1). Такое соответствие между комплексными числами и точками плоскости является взаимно однозначным. При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые числа изображаются точками оси ординат. Поэтому ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой осью. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется ком-
8
плексной плоскостью. Ясно, то точки z |
и |
z |
симметричны |
относительно начала координат, а точки |
z и |
z |
симметричны |
относительно действительной оси (рис. 1.1). Комплексное число z изображается также вектором с началом в точке 0 и концом в точке z (рис. 1.1).Такое соответствие между комплексными числами и векторами комплексной плоскости также является взаимно однозначным. Поэтому вектор, изображающий комплексное число z , означается той же буквой z . Из форму-
лы (1.8) и рис.1.1 видно, что длина вектора |
z равна |
z |
и име- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ют место неравенства |
Re z |
|
|
|
z |
, |
|
Im z |
|
|
z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=x+iy |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-x |
|
|
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|||
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
-z |
|
-y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Рис. 1.1
С помощью векторной интерпретации наглядно иллюстрируются сложение и вычитание комплексных чисел. Из формулы (1.5) вытекает, что число z1 z2 изображается вектором,
построенным по обычному правилу сложения векторов |
z1 |
и z2 |
(рис. 1.2). Вектор z1 z2 строится как сумм векторов z1 |
и |
z2 |
9
(рис. 1.2). Из рис. 1.2 видно, что расстояние между точками
z1 и z2 равно длине вектора z1 |
z2 , т.е. равно |
z1 |
z2 |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
z1+z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1- z2 |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-z2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.2 |
|
|
|
|
|
|
Пример |
1.4. |
|
Множество |
точек |
z , |
удовлетворяющих |
||||||||||||
уравнению |
|
z |
z0 |
|
|
|
R , есть окружность радиуса |
R с центром |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
в точке z0 , так как |
|
z |
z0 |
|
|
– расстояние между точками z и z0 |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
1.5. |
|
Множество |
точек |
z , |
удовлетворяющих |
||||||||||||
уравнению |
|
z |
z1 |
|
|
|
z |
z2 |
|
, есть множество точек, равноуда- |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ленных от точек z1 |
|
|
и |
z2 . Следовательно, |
это уравнение пря- |
мой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки z1 и z2 , и проведенной через его середину.
Пример |
1.6. |
Множество |
точек |
|
z , |
удовлетворяющих |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
уравнению |
z |
z |
|
z |
z |
|
2a , |
где a |
|
|
z |
z |
|
, есть эллипс с |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
фокусами в точках |
z1 , |
z2 |
и с большей полуосью, равной a , так |
10