15. Демонстративные (необходимые) умозаключения	167

15.11. Сложная деструктивная дилемма1

В сложной деструктивной дилемме условная посылка содержит в себе два основания и два следствия. Разделительная посылка отрицает оба следствия, заключение отрицает оба основания.

Логическая форма: À Â, C D, B D .

A C

Рассуждение направлено от отрицания истинности следствий к отрицанию истинности основания.

Ñ ò ð ó ê ò ó ð à		Ñ õ å ì à
Åñëè , òî	;	p q, r s, q s
p	q

åñëè r, òî s

p r

íå-q èëè íå-s

íå-p èëè íå-r.

Ï ð è ì å ð

Если бы я был богат (p), то я купил бы себе автомобиль (q).

Если бы я был министром (r), то мне предоставили бы казенный автомобиль (s). Но у меня нет ни личного автомобиля (не-q), ни казенного автомобиля (не-s).

Я не богат (не-p) и я не министр (не-r).

В записи на языке логики высказываний: (ð q) & (r s) & ( q s) .

p r

или формула: ((p q) & (r s) & ( q s)) ( p r) — закон логики.

Данная формула выражает закон логики (при — нестрогая дизъюнкция), что можно доказать табличным способом.

Ï ð è ì å ð

Если Николаев умен (p), то он увидит свою ошибку (q). Если Николаев искренен (r), то он признается в ней (s).

Но Николаев или не видит своей ошибки (не-q), или не признается в ней (не-s).

Николаев или не умен (не-p), или не искренен (не-r).

Формула данного выражения: ((p q) & (r s) & ( q s)) ( p r).

1 Сложная деструктивная дилемма используется для слабого отрицания каких-либо суждений.

168	IV. Умозаключение

15.12.Проверка правильности умозаключений из сложных суждений

Проверка правильности умозаключений из сложных суждений осуществляется посредством ряда способов.

1. Анализ умозаключений средствами таблично построенной логики высказываний

Табличный способ является одним из общих способов проверки правильности умозаключений из сложных суждений. Данный способ позволяет проверять наличие отношения логического следования между посылками и заключением, решать вопрос о тождественной истинности или тождественной ложности формул логики высказываний (см. с. 38—40).

2. Проверка умозаключений методом аналитических таблиц

Метод аналитических таблиц является одним из общих способов проверки правильности умозаключений из сложных суждений. Данный способ позволяет решать вопрос о тождественной истинности или тождественной ложности формул логики высказываний. Он состоит в редукции сложных формул на более простые вплоть до пропозициональных переменных. Начальным этапом данного метода является предположение о том, что отношения логического следования между посылками и заключением нет. Если во всех случаях такое предположение приводит к противоречию, то это является основанием рассматривать исходную формулу как тождественно-истинную. Если такое предположение не приводит к противоречию, то умозаключение неправильно (см. с. 169).

3. Обоснование правильности умозаключений средствами натурального исчисления высказываний

Âисчислениях такого типа для обоснования правильности умозаключений

èрешения вопроса, является ли формула тождественно-истинной (логическим законом), используются формальные теории, которые не содержат исходных утверждений (как аксиоматические исчисления). В натуральных исчислениях принимаются только дедуктивные принципы теории – правила преобразования формул (см. с. 45).

4. Анализ умозаключений средствами секвенциального исчисления высказываний

В этих исчислениях преодолеваются некоторые недостатки, присущие аксиоматическим и натуральным логическим исчислениям. В частности, одним из недостатков последних является то, что правила, позволяющие осуществить поиск доказательства, остаются невыявленными. Секвенциальные исчисления позволяют преодолеть этот недостаток.

Правила секвенциальных исчислений формулируются и действуют таким образом, что их можно рассматривать и как правила анализа, и как правила синтеза. Так, применение этих правил от заключения к посылкам обеспечивает такую полноту анализа, что синтез оказывается не более чем обращением осуществленного анализа (см. с. 46, 47).

15. Демонстративные (необходимые) умозаключения	169

15.13.Проверка умозаключений методом аналитических таблиц

Метод аналитических таблиц есть редукция сложных формул к более простым вплоть до пропозициональных переменных и их отрицаний. Редукция предполагает ряд правил. Так, если формула имеет вид (А & В), то она сводится к формулам А и В, а формулы, стоящие слева и справа от формулы (А & В), записываются соответственно слева и справа от А и В:

(&)

Ã, (À & Â), ∆

;

отрицание конъюнкции: ( &)

Ã, (À & Â), ∆

.

, , ∆, , , ∆

Ã, À, Â, ∆

Ã

À

Ã

Â

где Г — все формулы, стоящие слева от редуцируемой формулы;

∆ — все формулы, стоящие справа от редуцируемой формулы;

вертикальная черта — означает разделение таблицы на два столбца.

Правила редукции формул:

( )

Ã, (À Â), ∆

;

отрицание дизъюнкции:

( )

Ã, (À Â), ∆

.

Ã, À, ∆,

Ã, Â, ∆

Ã, À, Â, ∆

( )

Ã, (À Â), ∆

;

отрицание импликации:

( )

Ã, (À Â), ∆ .

Ã, À, ∆,

Ã, Â, ∆

Ã, À, Â, ∆

(≡)

Ã, (À ≡ Â), ∆

;

Ã, À, Â, ∆, Ã, À, Â, ∆

Ã, (À ≡ Â), ∆

отрицание эквивалентности: ( ≡)

.

∆

∆

( )

Ã, À,

Â,

Ã, À, Â,

Ã, À, ∆ Ã, À, ∆

Применение этих правил ко всем формулам, входящим в логическую форму проверяемого умозаключения, позволяет получить так называемую аналити- ческую таблицу. Аналитическая таблица представляет собой конечную последовательность строк и столбцов. Строки и столбцы состоят из редуцируемых формул, т.е. получаемых в каждом случае из предыдущей строки по определенным правилам редукции. Столбец заканчивается (замыкается), когда уже никакое правило редукции неприменимо или когда в нем появляется некоторая формула и ее отрицание. Замыкание всех столбцов позволяет говорить о замкнутой таблице.

Для установления тождественной истинности формулы допускается предположение о том, что отношения логического следования между посылками и заключением нет. В таком случае отрицание заключения совместимо с посылками. Если такое предположение во всех случаях приводит к противоречию, то отрицание заключения несовместимо с посылками, а само заключение из них следует. В таком случае формула тождественно истинна, а умозаключение правильно. Если же допущенное предположение не приводит к противоречию, то умозаключение неправильно.

В случае, когда аналитическая таблица, начинающаяся с предположения о совместимости посылок умозаключения с отрицанием его заключения, замкнута, тогда умозаключение правильно; в противном же случае (если хотя бы один ее столбец не замкнут) — неправильно.

170	IV. Умозаключение

Умозаключения, в которых учитывается внутренняя структура суждений. Традиционная силлогистика

15.14. Непосредственные умозаключения

Непосредственное умозаключение в традиционной логике — это умозаключение из одной посылки. Непосредственное умозаключение состоит из двух суждений: одна посылка и заключение из нее.

Суть данного типа умозаключений состоит в извлечении из посылки информации, содержащейся в ней в неявном виде, а также в ее последующем уточнении. Логические процедуры получения этой информации основаны либо на изменении качественной или количественной характеристики посылки, либо на преобразовании ее субъективно-предикатной структуры. Соответственно этому существует два вида умозаключений.

1.Умозаключения, построенные по логическому квадрату. Умозаключения данного вида состоят из посылки и заключения, имеющих одну и ту же субъектнопредикатную структуру. Выводы по логическому квадрату, как и все непосредственные умозаключения, предназначены для выявления полного смысла категорического суждения и приобретения навыков, для умения строить по данному суждению другое сравнимое суждение, находящееся к нему в заданном отношении.

Выводы из простых категорических суждений можно делать посредством отношений между суждениями, заданных в логическом квадрате. Их можно разде-

лить следующим образом:

• выводы на основании отношения подчинения;

• выводы на основании отношения частичной совместимости;

• выводы на основании отношения противоречия;

• выводы на основании отношения противоположности.

2.Умозаключения, построенные посредством преобразования структуры посылки. Умозаключения данного вида состоят из посылки и заключения, где заключение может отличаться от посылки не только количественной или каче- ственной характеристикой, но и перестановкой субъекта и предиката, а также появлением в заключении отрицательного термина, противоречащего субъекту или предикату посылки.

Выводы из простых категорических суждений можно делать при помощи специальных процедур выявления смысла категорических суждений. К таким

процедурам относят:

• превращение (обверсия);

• обращение (конверсия);

• противопоставление субъекту или предикату (контрапозиция).

Выводы из простых категорических суждений — это операция над одним суждением. Такая операция есть преобразование суждения. Преобразование суждения – это такое логическое действие над суждением, которое изменяет его логическую форму, что позволяет уточнить его смысл, содержание и объем, не расширяя при этом нашего знания о предмете суждения. Это логическое действие рассматривается как вид умозаключения, т.е. как непосредственное умозаключение.