DKR-LA-E-1_-_varianty
.pdfСтр. 211 из 417 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2013/2014 уч. год |
1
разложите вектор v = по этомубазису. Координаты векторов даны в
2
ортонормированном базисе.
ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 203
1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в
матричной форме:
5 |
−9 x1 |
|
|
33 |
|
|
|
= |
|
|
. |
−10 |
7 x2 |
|
−44 |
2. Решите системулинейных уравнений методом Гаусса
|
1 |
4 |
0 |
−2 |
|
x |
|
= |
30 |
. |
1 −2 |
5 |
−1 |
y |
−5 |
||||||
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
z |
|
|
−1 |
|
|
0 |
−4 |
−1 |
3 |
|
t |
|
|
−37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Определите, при каких значениях параметра σ система уравнений имеет
единственное решение
3x1 +4x2 +2x3 = 4,6x1 +7x2 +6x3 = 8,
3x1 +2x2 +σx3 = 4.
4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:
x1 +18x2 +3x3 = 23,
3x1 −26x2 − x3 = −1,
x1 −14x2 − x3 = −5.
5.Является ли система арифметических векторов e1 = (15;0;10),
e2 = (−10;2; −4), e3 = (−2;1;0) линейно независимой? Ответ обоснуйте.
6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−3; −1;1),e2 = (4; −4;0), e3 = (6;0; −3).
7. Найдите арифметический вектор v = −3a+b +3c, если a = ( −1; −5;1),
b = (3; −3; −2), c = (3;1; −3).
8. Найдите длинувектора v = (− 4;3;4;3; −2; −3), координаты которого заданы в некотором ортонормированном базисе.
9. Найдите вектор x, если a = ( −2;1), b = (2;1) и известно, что (x,a) = 4,
Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.
(x,b) = −5.
10.Разложите вектор v = (−12;30) по базису e1 = ( −3; −3), e2 = (7; −7).
11.Является ли базис e1 = (−3;2), e2 = (2; −3), ортогональным? Если да, то
Стр. 212 из 417 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2013/2014 уч. год |
разложите вектор v = ( −2;1) по этомубазису. Координаты векторов даны в
ортонормированном базисе.
ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 204
1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:
−2 |
5 |
x1 |
|
−40 |
|
|
|
|
= |
|
. |
3 |
−4 x2 |
|
|
39 |
2. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в
матричной форме:
|
|
1 |
4 |
|
−7 |
|
x1 |
|
|
70 |
|
|
−4 4 |
−3 x2 = 17 . |
|||||||||
|
|
−5 |
−4 |
10 |
|
x3 |
|
|
−111 |
|
|
3. Определите, при |
каких значениях параметра β система уравнений |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
несовместна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
−4x |
−2x |
= 5, |
|
|||
|
|
|
9x11−10x22 +4x33 = β, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 − x2 −5x3 = 6.
4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:
x1 +2x2 +23x3 = 2,
−x1 + x2 +4x3 = 7.
5.Является ли система арифметических векторов e1 = (3; −1;0),e2 = (−2;0;0), e3 = (1;1;2) линейно зависимой? Ответ обоснуйте.
6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−18;24;6),e2 = (3; −4; −1), e3 = (− 6;8;2).
7. Найдите арифметический вектор если
v = 3a +2b, a = (2; −3;4; −1),
b = (3; −2;1;5).
8. Выясните, угол междувекторами v = (3;5;1;4) и w = (3;4; −5; −6) острый,
прямой, тупой или эти векторы коллинеарны? Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.
9. Найдите вектор x, если a = (5; −4), b = (−3;2) и известно, что (x,a) = 4,
Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.
(x,b) = −3.
64 |
|
7 |
|
−3 |
|
10. Разложите вектор v = |
по базису e1 = |
6 |
, e2 = |
|
. |
−3 |
|
|
|
9 |
11. Является ли базис e1 = (3;2), e2 = (−2;3), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = (1;3) по этомубазису. Координаты векторов даны в
Стр. 213 из 417 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2013/2014 уч. год |
ортонормированном базисе.
ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 205
1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:
4 −3 3 |
x1 |
−14 |
2 −1 0 x2 = 1 .
4 0 −3 x3 19
2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса
6x1 +2x2 − x3 = 31,
−5x1 −9x2 + x3 = −71,
6x1 −5x2 − x3 = −11.
3.Определите, при каких значениях параметра ρ система уравнений имеет единственное решение
x1 +5x2 +4x3 = ρ,
8x1 +4x2 −6x3 = −10,−12x1 −6x2 +9x3 = 15.
4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:
x1 + x2 + x3 = 3,
−x1 +3x2 −33x3 = −7,
3x1 +2x2 +11x3 = 10.
5.Является ли система арифметических векторов e1 = ( −1;0;2), e2 = (0;1;1)
линейно зависимой? Ответ обоснуйте.
6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−12;0; −8),e2 = (−15;0; −10), e3 = (−3;0; − 2), e4 = (6;0;4).
7. Найдите арифметический вектор если
v = 3a +2b, a = (4; −4;6; −1),
b = (−5;2;5; −1).
8. Выясните, какой из векторов v = −e1 −e2 +2e3 +2e4 −4e5 и
w = −2e1 −e2 +5e3 +4e4 +2e5 короче? Тут e1, e2, e3, e4, e5 —
ортонормированный базис. В ответе укажите длинуболее короткого вектора.
9. Найдите вектор x, коллинеарный вектору a = (3; −3; −4) и такой, что
|
|
−3;5). Координаты векторов даны в ортонормированном |
(x,b) = −1, |
где b = (1; |
|
базисе. |
|
|
10. Разложите вектор v = (20;10) по базисуe1 = (−5;4), e2 = (9; −2).
Стр. 214 из 417 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2013/2014 уч. год |
|
3 |
|
1 |
|
11. Является ли базис e1 = |
|
, e2 = |
3 |
, ортогональным? Если да, то |
|
−1 |
|
2
разложите вектор v = по этомубазису. Координаты векторов даны в
−1
ортонормированном базисе.
ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 206
1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в
матричной форме:
|
|
4 |
3 |
−12 |
x |
|
|
40 |
|
|
|||
|
3 0 −4 |
y |
= 11 . |
||||||||||
|
|
4 |
−3 |
|
0 |
|
z |
|
−8 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. Решите методом Гаусса систему |
линейных уравнений, записанную в |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
матричной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
−5 |
|
7 |
|
x1 |
|
|
−71 |
|
||
|
−3 |
8 1 x2 = 52 . |
|||||||||||
|
|
2 |
1 |
|
6 |
|
x3 |
|
|
−23 |
|
||
3. Определите, при |
каких значениях параметра λ система уравнений имеет |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
единственное решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20x |
|
+19x +5x = λ, |
|
|
|||||||
|
|
−18x11 −15x22 +9x33 = 5, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−12x1 −10x2 +6x3 = 6.
4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:
15x1 + x2 +2x3 = 5,
12x1 + x2 + x3 = 3,
6x1 + x2 − x3 = −1.
5.Образует ли система арифметических векторов e1 = (0;1;0), e2 = (0;1;2),e3 = (−1;1;3) базис пространства 3? Ответ обоснуйте.
6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (16;12;12),
e2 = (−20; −15; −15).
7. Найдите арифметический вектор v = −2a+3b, если a = ( −5; −2;3;4),
b = (−3;5;3; −1).
8. Найдите длинувектора v = − e1 + e2 −3e3, где e1, e2, e3 —
ортонормированный базис.
9. Найдите вектор x, коллинеарный вектору a = (4; −3; −4) и такой, что
Стр. 215 из 417 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2013/2014 уч. год |
(x,b) = 2, где b = (−1; −2;4). Координаты векторов даны в ортонормированном
базисе.
10.Разложите вектор v = (3; −11) по базисуe1 = ( −3;2), e2 = (−6; −5).
11.Является ли базис e1 = (−3;4), e2 = (−4; −3), ортогональным? Если да,
то разложите вектор v = (1; − 5) по этому базису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.
ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 207
1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса
−x+5y = 3,
−6x+7y = −5.
2.Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:
6 |
−8 |
−2 |
x |
|
−62 |
3 |
−5 |
5 |
y |
|
= −46 . |
−5 |
8 |
|
z |
73 |
|
−7 |
|
3.Определите, при каких значениях параметра ψ система уравнений совместна
−5x1 −6x2 +2x3 = 8,
−x1 +2x2 +3x3 = 8,
13x1 +6x2 −13x3 = ψ .
4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:
20x1 − 2x2 +2x3 = − 4,
−14x1 +2x2 − x3 = 8,
2x1 −2x2 − x3 = −16.
5.Является ли система арифметических векторов e1 = (0; −1; −2),e2 = (−1; −2;0) линейно независимой? Ответ обоснуйте.
6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (0;2;4),e2 = (−4; −5; −8), e3 = ( −6;1;5), e4 = (4;0; −2).
7. Найдите арифметический вектор v = 2a +b, если a = ( −4;4;1; −6),
b = (2;6;5;5).
8. Выясните, угол междувекторами v = ( −10;2; −4;6;4) и
w = (20; −4;8; −12; −8) острый, прямой, тупой или эти векторы коллинеарны?
Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.
9. Найдите единичный вектор x, ортогональный векторам a = ( −1;4; −4),
Координаты векторов даны в ортонормированном базисе. b = (−3;4;1).
Стр. 216 из 417 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2013/2014 уч. год |
|
−4 |
|
|
|
4 |
5 |
|
10. Разложите вектор v = |
по базису e1 = |
, e2 = |
7 |
. |
|||
|
70 |
|
|
−7 |
|
||
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
11. Является ли базис e1 = |
, e2 = |
3 |
, ортогональным? Если да, то |
||||
|
−3 |
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
разложите вектор v = |
по этомубазису. Координаты векторов даны в |
−1
ортонормированном базисе.
ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 208
1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса
2x−9y = −40,
−7x+3y = 26.
2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса
−x1 +5x2 −3x3 +2x4 = 6,
−3x2 + x3 − x4 = −7,
|
2x1 − x3 = 7, |
|
|
2x1 −4x2 − x4 = −3.
3.Определите, при каких значениях параметра ψ система уравнений имеет единственное решение
−10x1 +20x2 −20x3 = ψ,
−8x1 −14x2 +2x3 = 7,
−12x1 −21x2 +3x3 = −1.
4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:
x1 −25x2 +2x3 = −9,
−x1 −7x2 +2x3 = −11.
5.Является ли система арифметических векторов e1 = (4;0; −4),e2 = (0;3; −6), e3 = (3; −5;7) линейно зависимой? Ответ обоснуйте.
6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (4;8;0),e2 = (14; −2; −5), e3 = (−6;0;2).
7.Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению
|
|
|
−4b+ x = −4a −2b +3x, |
если a = ( −1;3;1;6), b = ( −3; −1;2; −6). |
8. Найдите длинувектора v = a +2b, если a = 2e1 −3e2 +2e3 +3e4,
b = e1 −e2 +2e3 −e4, где e1, e2, e3, e4 — ортонормированный базис.
9. Найдите вектор x, если a = (1;1), b = (1; −1) и известно, что (x,a) = 5,
Стр. 217 из 417 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2013/2014 уч. год |
(x,b) = −2. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.
10. Разложите вектор v = (66; −47) по базису e1 = (6; −7), e2 = (6; −1).
|
|
−3 |
−2 |
11. Является ли базис e1 = |
, e2 = |
, ортогональным? Если да, то |
|
|
|
2 |
3 |
|
4 |
|
|
разложите вектор v = |
по этомубазису. Координаты векторов даны в |
−1
ортонормированном базисе.
ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 209
1. Решите системулинейных уравнений методом Гаусса
3x1 − x2 = −14,
−4x1 +3x3 = 18,
−4x1 − x2 +9x3 = 25.
2.Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:
10 |
1 |
−4 x1 |
= |
24 |
. |
3 |
−10 |
−9 x2 |
30 |
||
1 |
6 |
4 x3 |
|
−11 |
|
3. Определите, при каких значениях параметра ξ система уравнений имеет единственное решение
−2x1 +2x2 −12x3 = 10,
−6x1 +4x2 −3x3 = ξ,
−3x1 +3x2 −18x3 = 15.
4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:
x1 +10x2 +2x3 = −17,
−x1 −2x2 +2x3 = −11.
5.Дана линейно зависимая система арифметических векторов
e1 = (−18; −6;4), e2 = (5; −2; −3), e3 = (−12; −15; −3). Найдите
какую-либо равную линейную комбинацию этих арифметических векторов, в
0
которой хотя бы один коэффициент не равен нулю.
6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−2;0;10),e2 = (1;0; −5), e3 = ( −3;0;15), e4 = (1;0; −5).
7.Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению
|
|
a −c+ x = −3a −2b −4c− x, |
если a = (1; −4; −5), b = ( −2; −1;2), |
c = (−5;4;1). |
|
Стр. 218 из 417 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2013/2014 уч. год |
8. Найдите длинувектора v = − 2a +b, если a = −2e1 +2e2 −3e3 +4e4 +3e5,
b = −4e1 +2e2 +2e3 −3e4 −e5, где e1, e2, e3, e4, e5 — ортонормированный базис.
9. Найдите ортогональное дополнение к векторам a = (−4;1; −2),
Координаты векторов даны в ортонормированном базисе. b = (1; −3; −3).
10. Разложите вектор v = (−6;23) по базисуe1 = ( −10;5), e2 = (−6; −2).
|
4 |
|
1 |
|
11. Является ли базис e1 = |
|
, e2 = |
4 |
, ортогональным? Если да, то |
|
−1 |
|
3
разложите вектор v = по этомубазису. Координаты векторов даны в
1
ортонормированном базисе.
ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 210
1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:
−8 |
3 |
5 x1 |
−31 |
0 −1 |
2 x2 = 8 . |
||
−4 |
0 |
5 x3 −5 |
2. Решите системулинейных уравнений методом Гаусса
−2x− y+2t = 19,
−z +3t = 9,
−x+5y+2z +2t = −1,
−3x−2y+z = 22.
3.Определите, при каких значениях параметра φ система уравнений несовместна
−5x1 +4x2 −6x3 = −2,
−x1 +2x2 −2x3 = −2,
7x1 −2x2 +6x3 = φ.
4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:
−12x1 + x2 − x3 = 9,
6x1 − x2 − x3 = 7,
−21x1 +3x2 +2x3 = −13.
5.Образует ли система арифметических векторов e1 = (−6;5;2), e2 = (0;1;2),e3 = (−10;0; −15) базис пространства 3? Ответ обоснуйте.
6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−4;1;4),
Стр. 219 из 417 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2013/2014 уч. год |
e2 = (2;3;5).
7. Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению
|
|
|
−2; −3), c = ( −1;5;3). |
−4b+ c−5x = 3a−b − x, |
если a = (2; −3;5), b = (2; |
8.Найдите длинувектора v = − 2e1 −5e2 +5e3 +e4 +4e5, где e1, e2, e3, e4, e5
—ортонормированный базис.
9.Найдите единичный вектор x, ортогональный векторам a = (3; −3; −2),
Координаты векторов даны в ортонормированном базисе. b = (−5; −1; −1).
10. Разложите вектор v = |
−12 |
−6 |
−6 |
|
по базисуe1 = |
, e2 = |
|
. |
|
|
−58 |
−9 |
|
1 |
11. Является ли базис e1 = (1; −1), e2 = (−3;1), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = ( −1;2) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.
ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 211
1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса
2y+z = −3,
4x −2y−4z = 14,
−2x+3z = −7.
2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса
2x1 − x4 = 2,
−x1 +2x2 −3x3 = 13,
4x1 +3x2 +3x3 +3x4 = 22,
4x2 +2x3 +5x4 = 24.
3.Определите, при каких значениях параметра η система уравнений имеет бесконечное число решений
7x1 −2x2 −4x3 = −2,
|
5x1 +ηx2 + x3 = 17, |
−3x1 −5x2 +3x3 = 7.
4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:
3x1 +11x2 − x3 −12x4 = 17,
−x1 −17x2 +3x3 +12x4 = −11,
5x1 −10x2 +4x3 − 3x4 = 17.
5.Является ли система арифметических векторов e1 = ( −1; −2;2),e2 = (−2;0;1), e3 = ( −9;6;0) линейно независимой? Ответ обоснуйте.
6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (3;0; −6),
Стр. 220 из 417 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2013/2014 уч. год |
e2 = (9;6; −10), e3 = (−8; −15; − 4), e4 = (−8; −12;0).
7. Найдите арифметический вектор v = 2a +2b +c, если a = (−3;3;2),
b = (5;4; −5), c = (−5;1;1).
8. Вычислите скалярное произведение векторов v = (−3;2; −4; −2; −2;3) и
w = (2; −2; −4;2;6; −4). Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.
|
|
|
|
|
|
|
9. Даны вектора a = (3; −4; −3), b = (4; −1;1), c = (2;2; −3). Вычислите |
||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
Φ = − a |
− c |
−(a,b) (a,c). Координаты векторов даны в ортонормированном |
||||
базисе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
−3 |
2 |
|
10. Разложите вектор v = |
по базису e1 = |
, e2 = |
5 |
. |
||
|
|
37 |
|
3 |
|
11. Является ли базис e1 = (2;2), e2 = (3;2), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = ( −1; −1) по этому базису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.
ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 212
1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в
матричной форме:
|
|
−3 |
7 x |
|
24 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
||
|
|
−9 |
7 y |
|
30 |
|
|
||||
2. Решите системулинейных уравнений методом Гаусса |
|||||||||||
|
1 |
−4 |
0 |
4 |
|
|
x |
|
|
27 |
. |
−1 0 |
3 0 |
y |
= 0 |
||||||||
|
0 |
−1 |
2 |
3 |
|
|
z |
|
|
18 |
|
|
−2 |
4 |
5 |
1 |
|
|
t |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Определите, при каких значениях |
параметра τ система уравнений имеет |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
единственное решение
−6x1 +3x2 +5x3 = τ,
−6x1 + x2 −3x3 = 4,
2x1 +3x2 −5x3 = 2.
4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:
−x1 −7x2 + x3 = 2,
x1 +5x2 −2x3 = − 10,
x1 +15x2 +3x3 = 30.
5.Является ли система арифметических векторов e1 = (4; −2;0),