щью которых измеряется число оборотов вала. Угловая скорость определяется по выражению

ω = 2 π n/ 60 = π n/ 30.

Отсюда формула для определения числа оборотов: n = 30 ω/ π.

Из выражения (2.10) следует				2g	h
щ=						.
				r
Следовательно,
				2g	h
n =		30					.
				πr
Максимальное превышение точек с радиусом R над точкой, лежащей
на оси вращения, обозначим hmax, тогда
n =	30			2g	hmax			,
				πR

где R – радиус сосуда.

3. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ПОТОКА РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

3.1. Уравнение расхода

Основные уравнения гидродинамики выражают закон сохранения массы и закон сохранения энергии для движущейся жидкости.

Закон сохранения массы для установившегося потока несжимаемой жидкости в канале с непроницаемыми стенками для условий сплошности (неразрывности) течения сводится к закону постоянства расхода вдоль канала и выражается уравнением объемного расхода (рис. 3.1):

х

1

2

3

S1

хср1

S2

хср2

S3

хср3

х2

х1

х

3

X

Рис. 3.1. Изменение скорости вдоль трубы

где хср1 , хср2

Q =хср1 S1

=хср2 S2

= const ,

(3.1)

– средние скорости потока в сечениях 1 и 2; S1 , S2 – площади

сечения 1 и 2.

23

	Из уравнения следует, что средние по сечению скорости в потоке не-
	сжимаемой				жидкости			υ
	обратно			пропорцио-
	нальны площадям сече-							ламин.
	ний:	хср1		S2				турб.
			=		.	(3.2)
		хср2		S1
							υср	υmax
	Средней				по	нор-
	мальному сечению скоро-						Рис. 3.2. Эпюры скоростей
	стью потока (хср ) назы-
	вается	одинаковая				для
	всех точек сечения скорость, обеспечивающая действительный расход через
	это сечение:						хср = Q .
								(3.3)
							S
	Эпюры скоростей в нормальном сечении потока в трубе для лами-
	нарного и турбулентного течений при одинаковом расходе, а также эпюра
	средней по сечению скорости приведены на рис.3.2. Нормальное сечение –
	это сечение, нормальное в каждой точке к скорости потока (живое сече-
	ние).
		3.2. Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Закон сохранения (изменения) энергии для установившегося потока несжимаемой вязкой жидкости в поле сил земного притяжения выражается уравнением Бернулли (рис. 3.3):

z1 + ρpg1 +α1 х22 gcp1 = z1 + ρpg2 +α2 х22 cp2g + hf 1−2 = const, (3.4)

где z1 и z2 – геометрические высоты центров тяжести сечений 1 и 2; p1 и p2

– давление в центрах тяжести сечений 1 и 2; α1 и α2 – безразмерные коэффициенты неравномерности распределения скоростей в сечениях 1 и 2; хср1 и хср2 – средние скорости потока в сечениях 1и 2.

24

линия полного напора

2

hf1-2

α1

х1

1

2

3

hf1-3

2g

α

х22

2

2

2g

α3

х3

H3 H2

p1

2g

p3

H1

хср1

ρg

хср2

ρ g

z1

l1

хср3

z2

l2

z3

0

0

p2

(ρ g )

пьезометрическая линия

Рис. 3.3. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

Члены уравнения Бернулли в приведенной форме имеют линейную размерность (м) и при геометрической трактовке уравнения их определяют как высоты, напоры: z – геометрическая высота, или геометрический на-

	пор;	p	– пьезометрическая высота, α						хср	2	– скоростная высота, или ско-
		ρg							2g
	ростной напор.				p		хср2
		Трехчлен		z +		+α		= H называется полным напором. Из-за не-
					ρ g		2 g

равномерного распределения скоростей по сечению трубы (рис. 3.2) этот трехчлен выражает среднее значение полного напора в сечении.

При энергетической трактовке уравнения Бернулли (3.4) члены уравнения представляют собой различные формы удельной механической энергии жидкости, приходящейся на единицу ее веса (размерность

DHж = HHм= м):

z – удельная потенциальная энергия положения;

p– удельная потенциальная энергия давления (возможная работа сил

ρg

давления, отнесенная к единице веса жидкости);

х2

α2срg – удельная кинетическая энергия потока в данном сечении;

	z +	p		– удельная потенциальная энергия;
		ρg
		p		хср2
	z +			+ α		= H – полная удельная механическая энергия движущейся
		ρg
				2 g

жидкости в данном сечении (среднее по сечению значение полной удельной энергии);

h f1-2 – суммарные потери полной удельной энергии (полного напора) на участке трубопровода между сечениями 1 и 2.

25

Из уравнения Бернулли (3.4) следует:

хср2 1

хс2р2

p1

p2

hf 1−2 = H1 − H 2

=

z1

+

+α1

−

z2 +

+α2

.(3.5)

ρ g

ρ g

2 g

2 g

Потери удельной механической энергии потока (гидравлические по-

тери) обусловлены работой сил внутреннего трения и вихреобразованием.

Они складываются из потерь напора (энергии) на трение по длине трубо-

провода hтр и потерь в местных сопротивлениях,

расположенных на рас-

сматриваемом участке, hм :

hf

= hтр

+hм .

(3.6)

При ламинарном течении потери напора на трение по длине возрас-

тают пропорционально скорости (расходу) в первой степени (формула

Пуазейля), при переходе к турбулентному течению имеется некоторый

скачок сопротивления, и затем происходит нарастание hтр по кривой, близ-

кой к параболе второй степени

(рис. 3.4).

Вихревые потери, связанные с отрывом потока и вихреобразованием

в самом местном сопротивлении или за ним, при турбулентном и лами-

нарном течениях пропорциональны скорости во второй степени.

Безразмерный коэффициент α (коэффициент Кориолиса), учиты-

вающий неравномерность распределение скоростей по сечению потока,

hтр ламинарный

представляет

собой

отношение

действи-

турбулентный

тельной кинетической энергии потока, вы-

режим

режим

численной по местным скоростям, к кине-

тической энергии, вычисленной по средней

скорости:

∫ х 3 d S

υкр

υ

α

=

s

3

.

(3.7)

Рис. 3.4. Потери на трение

х

ср S

Для обычного распределения скоро-

стей (рис. 3.2) коэффициент α всегда больше единицы, а при равномерном

распределении скоростей равен единице. Для ламинарного потока с пара-

хmax

болическим распределением скоростей

хср =2

коэффициент

αл = 2 и не зависит от числа Rе. При турбулентном течении распределение

скоростей по сечению более равномерное, а нарастание скорости у стенки

более крутое, чем при ламинарном течении. В связи с этим коэффициент

αт при турбулентном течении значительно меньше αл . Он является функ-

цией числа Rе и уменьшается с увеличением последнего от 1,13 при Rе

= Reкр до 1,025 при Rе = 3·106. В большинстве случаев при турбулентном

течении можно принимать αт = 1.

Уменьшение среднего значения полной удельной энергии жидкости

вдоль потока (полного напора), отнесенное к единице длины рассматри-

26