finantial

	Приклад 3.2.66. 1. Розглянемо Європейський опцiон купiвлi
	Ccall = (ST − K)+.
	Нехай безризиковий актив S0,t = (1 + r)t, r > 0, t T. Припусти-
	мо, що ринок безарбiтражний. Тодi за теоремою 3.2.65, будь-яка
	справедлива цiна дисконтованого опцiону купiвлi
	Ccall	K	+
	H call := S0,T	= XT − (1 + r)T
	має вигляд		+
		K
	π(H call ) = EP XT − (1 + r)T .
	Зауважимо, що функцiї f (x) := x+ та f1(x) = (x − K1)+, K1 > 0 є
		K	x
	Рис. 3.1: Цiна (суцiльна лiнiя) та функцiя виплат (пунктирна
	лiнiя) Європейського опцiону купiвлi.

опуклими вниз. Тому за нерiвнiстю Йєнсена

π(H call ) ≥ EP XT − (1 + r)T		≥ (x − K)+,
	K	+

223

	де S0/S0,0 = S0, бо S0,0 = 1. Значення (x −K)+ називається “внутрi-
	шньою вартiстю” опцiону купiвлi; це те значення, яке ми отри-
	маємо, якщо виконаємо опцiон миттєво, тобто в момент t = 0.
	Рiзницю мiж π(H call ) i (x − K)+ називають “значенням у часi”
	Європейського опцiону купiвлi. Вiдповiдний графiк подано на
	рис. 3.1.
	Приклад 3.2.67. Для Європейського опцiону продажу ситуацiя
	складнiша; тут
	K	+
		,
	H put = (1 + r)T − XT
	i ми можемо за нерiвнiстю Iєнсена оцiнити
	K	+
	π(H put) ≥ (1 + r)T − x ,
	але оцiнити знизу “внутрiшньою вартiстю” (K −x)+ можна лише
	K	x
	Рис. 3.2: Цiна (суцiльна лiнiя) та функцiя виплат (пунктирна
	лiнiя) Європейського опцiону продажу.

224

при r ≤ 0. Внаслiдок пут-колл паритету, “значення у часi” Євро-

пейського опцiону продажу з великим “внутрiшнiм значенням” стає вiд’ємним; див. рис. 3.2.

Наступний результат щодо виду множини Π(H ) наведемо без

доведення; аналогiчний результат для одноперiодної моделi доведено в теоремi 3.3.3.

Теорема 3.2.68. Нехай H є дисконтованим платiжним зобов’я-

занням.

1. Якщо зобов’язання H є досяжним, то множина справедливих цiн Π(H ) складається з одного елемента EP (H ) = V0, де V0 – початковий капiтал будь-якої стратегiї, що реплiкує H .

2. Якщо зобов’язання H не є досяжним, то множина

Π(H ) = (π↓(H ), π↑(H )).

Багатоперiоднi моделi повних ринкiв

Означення повноти ринку в багатоперiоднiй моделi в принципi таке ж, як i в одноперiоднiй моделi.

Означення 3.2.69. Модель безарбiтражного багатоперiодного ринку називається повною, якщо кожне Європейське платiжне зобов’язання є досяжним.

Наступний результат, доводиться, в принципi, аналогiчно до леми 3.2.30 та теореми 3.2.32.

Теорема 3.2.70. 1. Безарбiтражний ринок є повним тодi i тiльки тодi, коли iснує лише одна еквiвалентна мартингальна мiра.

2. Якщо ринок повний, то число атомiв простору (Ω, F, P) не перевищує (d + 1)T .

Умови безарбiтражностi i повноти багатоперiодної бiномiальної моделi

Повернемося до бiномiальної при яких значеннях параметрiв бiтражною i повною.

моделi з п. 3.2.1. Визначимо, a, b i r ця модель буде безар-

225

Теорема 3.2.71. Багатоперiодна бiномiальна модель є безарбiтражною тодi i тiльки тодi, коли a < r < b. У цьому випад-

ку модель є повною, i єдина еквiвалентна мартингальна мiра P характеризується тим, що вiдносно неї випадковi величини R1, . . . , RT незалежнi, однаково розподiленi, i

P (R1 = a) = p := bb −− ar .

Доведення. Як завжди, ринок є безарбiтражним тодi i тiльки тодi, коли iснує мiра P , вiдносно якої дисконтований цiновий процес Xt є мартингалом. Зараз

	t					t
	Y		Sk	= S		Y	1 + Rk		,
X = S
t	0		1 + r	0			1 + r
	k=1					k=1
отже, для будь-якої ймовiрнiсної мiри Q
	t
	Y	1 + R			1 + R
EQ (Xt+1 | Ft ) = S0 k=1		k		EQ		t+1		| Ft		=
		1 + r				1 + r					(3.2.13)

= Xt 1 + EQ (Rt+1 | Ft ) . 1 + r

Права частина (3.2.13) дорiвнює Xt тодi i тiльки тодi, коли

EQ (Rt+1 | Ft) = r.

Але Rt+1 приймає лише два значення a i b, отже,

EQ (Rt+1 | Ft ) = aQ(Rt+1 = a | Ft ) + b(1 − Q(Rt+1 = a | Ft)) = r,

звiдки

Q(Rt+1 = a | Ft ) = p = b − r b − a

для майже всiх ω Ω. Але це може бути тодi i тiльки тодi, коли Rt+1 не залежить вiд σ-алгебри Ft , породженої випадковими величинами R1, . . . , Rt , тобто випадковi величини R1, . . . , RT

незалежнi в сукупностi, однаково розподiленi, i

b − r Q(R1 = a) = b − a .

226

Отже, мартингальна мiра єдина, якщо вона iснує. Якщо ринок безарбiтражний, еквiвалентна мартингальна мiра P iснує, збiгається з Q, i з еквiвалентностi P P випливає, що 0 < b − r < b − a, тобто a < r < b. Навпаки, нехай a < r < b. Визначимо ймовiрнiсну мiру на ймовiрнiсному просторi (Ω, F) з пiдроздiлу

3.1.1 наступним чином:

P ({ω}) = (p )k(1 − p )T −k > 0,

де k – це число мiнус одиниць в елементi ω. Вiдносно такої мiри P випадковi величини Y1, . . . , YT , де Yt (ω) = ωt для ω = (ω1, . . . , ωt, . . . , ωT ), будуть незалежними в сукупностi, а, оскiль-

ки

	Rt = a	1 − Yt(ω)	+ b	1 + Yt (ω)	,
		2		2

то i Rt будуть незалежними в сукупностi. Крiм того, розподiленi

вони будуть так:

P (Rt = a) = P (Yt (ω) = −1) = P (ω : ωt = −1) =

TX−1

CTk−1(p )k(1 − p )T −1−k · p = p ,

k=0

а це означає, що P – еквiвалентна мартингальна мiра.

Обчислення хеджуючих стратегiй та справедливих цiн платiжних зобов’язань в бiномiальнiй моделi

Розглянемо Європейськi вториннi папери в бiномiальнiй моделi, тобто платiжнi зобов’язання вигляду H = f (X0, . . . , XT ), де f : RT +1 → R+ – вимiрна функцiя.

Теорема 3.2.72. Капiтал Vt стратегiї, що породжує зобов’язання H , має вигляд

	Vt(ω) = EP (H | Ft ) = vt(X0, X1(ω), . . . , Xt (ω)),
де функцiя vt (x0, . . . , xt ) задається формулою
v (x , . . . , x ) = E f			x , . . . , x , x		X1	, . . . , x	XT − t	.	(3.2.14)
t 0	t	P	0	t t X0		t	X0

227

Доведення. Той факт, що Vt (ω) = EP (H | Ft ), доведено в теоремi 3.2.61. Тепер, обчислимо EP (H | Ft ) в бiномiальнiй моделi, враховуючи, що X0, X1, . . . , Xt є Ft -вимiрними, а для t < k ≤ T

							k
				X (ω) = X (ω)			i Y	1 + Ri	,
				k	t			1 + r
							=t+1
			Q
i добуток			k	1+1+Rri не залежить вiд Ft i розподiлений так само,
			i=t+1
	Q G					F
як	k−t 1+Ri . З теорiї ймовiрностей вiдома наступна формула:
	i=1	1+r
якщо		– деяка σ-алгебра, ξ – -вимiрна випадкова величина,

η – випадкова величина, що не залежить вiд G, h(x, y) : R → R

– вимiрна функцiя, i h(ξ, η), h(x, η) – iнтегровнi випадковi величини, x R, то

E(h(ξ, η) | F) = Eh(x, η)|x=ξ,

тобто ми обчислюємо математичне сподiвання вiдносно η, як функцiю x, а потiм замiсть x пiдставляємо ξ. Ця формула за-

лишається вiрною i у багатовимiрному випадку. Тому

EP (f (X0, X1, . . . , XT ) | Ft ) =

X + 1

XT

= EP f x0, x1, . . . , xt , xt

t

, . . . , xt

x0 =X0 ,...,xt =Xt

=

Xt

Xt

= EP f x0, x1, . . . , xt , xt

, . . . , xt

−

,

X1

XT t

X0

X0

x0 =X0 ,...,xt =Xt

що рiвносильне твердженню теореми.

Зауваження 3.2.73. Позначимо

a :=

1 + a

, b =

1 + b

.

VT

H

xT

vT (x0, . . . , xT ) e

f x0

e

1 + r

1 + r

Оскiльки

=

, то

=

(

, . . . , ); далi,

vt(X0, X1(ω), . . . , Xt (ω)) = EP (Vt+1 | Ft ) = = EP (vt+1(X0, . . . , Xt+1) | Ft ) =

= v	(	X0	, . . . ,	Xt	,	b)(1		p ) + v	(X , . . . , X , X a)p ;
t+1						Xte	−	t+1	0	t te

228

таким чином, мають мiсце рекурентнi формули

vt x0, . . . , xt	= vt+1	x0	, . . . , xt , xt b	(1 − p ) + vt+1	x0	, . . . , xt , xt a p .
			e			e

Тепер виведемо формули для хеджуючих стратегiй платiжних зобов’язань в бiномiальнiй моделi.

Теорема 3.2.74. Хеджуюча стратегiя для зобов’язання H =

f (X0, . . . , XT ) має вигляд ξt(ω) =		t(X0, X1(ω), . . . , Xt−1(ω)), де функ-
цiя
		t	e
t (x0, . . . , xt−1) :=					−		, . . . , xt−1	e	,
	vt x0, . . . , xt−1, xt−1b			− vt		x0		, xt−1a
		x		e		e
			−

а функцiї vt задаються формулою (3.2.14).

Доведення. Запишемо рiзницю капiталiв мiж моментами t − 1 i t для самофiнансованої стратегiї:

Vt −Vt−1 = ξt (Xt − Xt−1).

(3.2.15)

У цьому рiвняннi Vt−1, ξt i Xt−1 залежать лише вiд перших t −

−1 компонент вектора ω = (ω1, . . . , ωt−1, ωt, . . . , ωT ). Зафiксуємо t T i визначимо два елементи ймовiрнiсного простору

ω± = (ω1, . . . , ωt−1, ±1, ωt+1, . . . , ωT ).

Пiдставимо ω± в (3.2.15) i одержимо на ω+ рiвнiсть

	ξt(ω) Xt−1(ω)b − Xt−1(ω) = Vt (ω+) −Vt−1(ω),
а на ω−, вiдповiдно,		e
Звiдси	ξt (ω)(Xt−1(ω)ea − Xt−1(ω)) = Vt (ω−) −Vt−1(ω).
	ξ	(ω) =	Vt(ω+) −Vt(ω−)	.
	t		Xt−1(ω) b − a
			e e

229

Але, згiдно з теоремою 3.2.72,

−

− e

V

ω+

= v X , . . . ,

X

, X

b

,

t

t

0

t−1

t−1

Vt

ω−) =

(

, . . . ,

Xt 1

,

Xt

1a

,

vt X0

значить, справдi

e

ξt(ω) =

t(X0, X1(ω), . . . , Xt−1(ω)).

Приклад 3.2.75. Нехай f : R → R+, i платiжне зобов’язання H = = f (XT ), тобто воно залежить лише вiд останнього (термiналь-

ного) значення цiнового процесу. Тодi, згiдно з теоремою 3.2.72,

капiтал Vt = vt (Xt (ω)), а		f xt		=
	vt (xt ) = EP		X0
T −t			XT −t(ω)
	e e
X				− p )T −t−k.
= k=0 f	xt akbT −t−k CTk−t(p )k(1

Зокрема, при t = 0 одержимо єдину справедливу цiну такого

платiжного зобов’язання

		T				e e
		X
V0 = π(H ) =			f (x0akbT −k)CTk (p )k(1 − p )T −k.
	− e	k=0
Якщо f (x) = (x		T	e					+
	K)+, де K = K(1 + r)−T ,								K – страйкова цiна, то
		X		e e			e		CTk (p )k(1 − p )T −k.
V0 = π(Ccall ) = k=0			x0akbT −k				− K
Насправдi сума береться лише по тих k, для яких x akbT −k										K,
тобто						x0bT			0e e	≥ e
		k ≤					e		.
					e	e		e
					K(ln b		− ln a)

230

3.2.9 Американськi платiжнi зобов’язання

Наведемо спочатку деякi додатковi вiдомостi з теорiї випадкових процесiв.

Розклад Дуба для випадкових процесiв

Нехай (Ω, F, {Ft }t T ) – стохастичний базис, X = {Xt , Ft , t T} –

деякий випадковий процес з дискретним часом. Як i ранiше, з метою технiчного спрощення припускаємо, що F0 = { , Ω}, а

FT = F.

Теорема 3.2.76. Нехай Q – деяка ймовiрнiсна мiра на (Ω, F), а процес X є iнтегровним вiдносно мiри Q. Тодi iснує єдиний вiдносно мiри Q розклад вигляду Xt = Mt + At , де {Mt , Ft , t T} – мартингал вiдносно мiри Q, {At , Ft , t T} – передбачуваний процес з нульовим початковим значенням, A0 = 0.

Доведення. Побудуємо спочатку процес At. Покладемо

A0 := 0, At − At−1 := EQ (Xt − Xt−1 | Ft−1), t = 1, . . . , T .

Ясно, що процес A буде передбачуваним. Тепер покладемо Mt := Xt − At . Тодi

EQ (Mt − Mt−1 | Ft−1) = EQ (Xt − Xt−1 | Ft−1) − (At − At−1) = 0,

тобто процес M є Q-мартингалом. Тепер покажемо, що такий

розклад єдиний. Справдi, нехай ще

Xt = Mt0 + A0t , A00 = 0,

A0 – передбачуваний процес, M0 – Q-мартингал. Тодi

Mt0 − Mt = At − A0t ,

тобто Mt0 − Mt – передбачуваний Q-мартингал. Тодi

0 = EQ (Mt0 − Mt − (Mt0−1 − Mt−1) | Ft−1) = Mt0 − Mt − (Mt0−1 − Mt−1).

Отже, процес Mt − Mt0 – сталий вiдносно мiри Q, i при цьому

M00 − M0 = A0 − A00 = 0.

Це означає, що Mt = Mt0 Q-м.н., а тодi i At = A0t Q-м.н.

231

Наслiдок 3.2.77. Q-iнтегровний процес {Xt , Ft , t T} є Q-супер-

мартингалом тодi i тiльки тодi, коли в розкладi Дуба передбачуваний процес A є монотонно незростаючим. Це безпосере-

дньо випливає з рiвностi

At − At−1 = EQ (Xt − Xt−1 | Ft−1).

Означення i приклади Американських платiжних зобов’язань. Моменти зупинки i пов’язанi з ними σ-алгебри

Нехай на ринку дiють покупець i продавець платiжного зобо- в’язання. Якщо це Американське платiжне зобов’язання, то покупець купує його в момент t = 0 i може подати до виконання один раз, в будь-який момент часу τ мiж 0 i датою погашення T . Якщо покупець не подав до моменту T Американське платi-

жне зобов’язання до виконання, воно автоматично виконується в момент T . Якщо покупець подав зобов’язання до виконання в момент τ, продавець мусить заплатити йому суму Cτ, що залежить вiд моменту виконання τ.

Означення 3.2.78. Американським платiжним зобов’язанням

називається невiд’ємний узгоджений випадковий процес C = {Ct , Ft , t T} на стохастичному базисi (Ω, F, {Ft }t T ).

Насправдi покупець може подати Американське платiжне зобов’язання до виконання не тiльки в детермiнований момент часу t T, а i в деякий випадковий момент часу τ = τ(ω) T, i тодi вiн одержить виплату Cτ(ω)(ω). Опишемо клас можливих

випадкових моментiв подачi зобов’язання до виконання. Справа в тому, що рiшення про те, чи подавати зобов’язання до виконання чи нi, може базуватися лише на iнформацiї, одержанiй до моменту, в який приймається рiшення, тобто τ(ω) має в деякий спосiб узгоджуватись з фiльтрацiєю {Ft }t T .

Означення 3.2.79. Випадкова величина τ = τ(ω), що приймає значення з множини T, називається моментом зупинки, якщо для будь-якого t T множина {ω : τ(ω) ≤ t} Ft .

Зауваження 3.2.80. Достатньо вимагати, щоб для всiх t T множина {ω : τ(ω) = t} Ft .

232