finantial

Отже, покупець може подати Американське платiжне зобо- в’язання до виконання в будь-який момент зупинки τ.

Означення 3.2.81. Нехай τ – момент зупинки. Пов’язаною з ним σ-алгеброю Fτ називається σ-алгебра виду Fτ := {A FT :

A ∩ {τ ≤ t} Ft для всiх t T}.

Приклад 3.2.82. Американськими опцiонами купiвлi та продажу на актив St називаються платiжнi зобов’язання виду

Ctcall := (St − K)+ та Ctput := (K − St )+.

Ясно, що Американський опцiон купiвлi має ненульову виплату (“виконується в грошах”) тодi i тiльки тодi, коли вiдповiдний опцiон продажу має нульову виплату (“залишається поза грiшми”). Тому власники опцiонiв купiвлi та продажу подадуть їх до виконання в рiзнi моменти часу. Тому пут-колл паритету мiж Американськими опцiонами не iснує.

Приклад 3.2.83. (Європейське платiжне зобов’язання як частковий випадок Американського.) Нехай CE – Європейське платi-

жне зобов’язання. Покладемо

(

CA(t) :=

0, t < T ,

CE , t = T .

Це буде Американське платiжне зобов’язання, яке виконується фактично лише в момент T . Таким чином, поняття Американсь-

кого платiжного зобов’язання узагальнює поняття Європейського платiжного зобов’язання.

Приклад 3.2.84. (Бермудський опцiон.) Нехай T1 T – деяка

пiдмножина. Припустимо, що покупець може подати опцiон до виконання лише в моменти часу t T1. Такий опцiон займає

промiжну позицiю мiж Європейським та Американським опцiонами, так само як Бермудськi острови лежать мiж Європою i Америкою. Бермудський опцiон можна розглядати як частковий випадок Американського опцiону Ct , причому Ct = 0, t T r T1.

233

Приклад 3.2.85. (Росiйський опцiон.) Це платiжне зобов’язання вигляду

Ct	(ω) =	e	−λt max	max	,	ψ	,
				u≤t	Su	S0 0

де {St , t ≥ 0} – цiна акцiї, на яку укладено опцiон, λ > 0, ψ0 ≥ 1 –

деякi сталi. Розрахунок справедливої цiни Росiйського опцiону зроблено в статтi [26].

Хеджування продавцем Американських платiжних зобов’язань

Означення 3.2.86. Дисконтованим Американським платiжним зобов’язанням називається випадковий процес

Ht =	Ct	, t T.
	St,0

У цьому роздiлi ми розглядаємо повну модель фiнансового ринку, тобто множина еквiвалентних мартингальних мiр складається з одної мiри, яку позначимо P . Нагадаємо також, що FT = F. Нашою метою є побудова такої стратегiї продавця дисконтованого Американського платiжного зобов’язання Hτ, яка

дозволить йому прийняти до виконання це платiжне зобов’я- зання, якщо покупець з’явиться з ним у момент τ. Позначимо Ut , t T найменше можливе значення капiталу такої стратегiї. Очевидно, Ut ≥ Ht . Крiм того, величина Ut повинна бути доста-

тньою для того, щоб можна було здiйснити купiвлю портфеля, який хеджуватиме можливi виплати Hu для u > t. Оскiльки в момент T майбутнiх виплат вже нема, то найменше можливе значення UT дорiвнює HT , UT = HT . У момент T − 1 по-перше,

повинна виконуватись нерiвнiсть

UT −1 ≥ HT −1.

По-друге, продавець повинен бути здатним хеджувати кiлькiстю капiталу UT −1 майбутню виплату HT . В силу теореми 3.2.61

234

i припущення про повноту ринку, потрiбний для цього капiтал дорiвнює

EP (HT | FT −1) = EP (UT | FT −1).

Таким чином,

UT −1 = HT −1 EP (UT | FT −1).

Застосовуючи аналогiчнi мiркування до попереднiх моментiв ча-

су, одержимо таку рекурентну формулу: UT = HT ,
Ut = Ht EP (Ut+1 | Ft ) для t = 0, 1, . . . , T − 1.	(3.2.16)

Означення 3.2.87. Процес Ut = UtP , що визначається рiвностями (3.2.16), називають огинаючою Снелла процесу H вiдносно мiри P .

Очевидно, огинаючу Снелла можна побудувати для будьякого адаптованого iнтегровного процесу H та будь-якої ймовiрнiсної мiри Q на (Ω, FT ). Тому наступний результат сформулюємо для довiльної мiри Q.

Теорема 3.2.88. Нехай {Ht , Ft , t T} – iнтегровний процес. Тодi огинаюча Снелла UtQ процесу H вiдносно мiри Q є найменшим Q-супермартингалом, який мажорує H . Точнiше, якщо Zt – супермартингал, i Zt ≥ Ht Q-м.н. для всiх t, то Zt ≥ UtQ Q-м.н. для всiх t.

Доведення. Спочатку доведемо, що UtQ – супермартингал. Справ-

дi,

UtQ−1 = Ht EQ(UtQ | Ft−1) ≥ EQ(UtQ | Ft−1),

це i є супермартингальна властивiсть U Q. Далi, нехай Z – су-
		t
пермартингал, Zt ≥ Ht Q-м.н. для всiх t T. Тодi в момент T
ZT ≥ HT = UTQ	Q-м.н.
Якщо вже доведено, що Zt ≥ UtQ, то
Zt−1 ≥ EQ(Zt | Ft−1) ≥ EQ(UtQ | Ft−1)i		Zt−1 ≥ Ht−1,
отже,		Q − м.н.
Zt−1 ≥ Ht−1 EQ(UtQ | Ft−1) = UtQ−1

Теорему доведено.

235

Позначимо для повного ринку P єдину мартингальну мiру.

Теорема 3.2.89. Модель фiнансового ринку є повною тодi i тiльки тодi, коли кожний P -мартингал M можна подати у виглядi дискретного “стохастичного iнтегралу” з обмеженим d- вимiрним передбачуваним процесом ξ:

Xt

Mt = M0 + ξk · (Xk − Xk−1), t T.	(3.2.17)
k=1

Доведення. Необхiднiсть. Нехай ринок є повним (тобто його змодельовано як повний). Розкладемо випадкову величину MT на рiзницю додатної та вiд’ємної частин: MT = MT+ − MT−, де MT+ i −MT− можна розглядати як два дисконтованi платiжнi зобов’я-

зання, якi, за припущенням про повноту ринку, є досяжними. Значить, для них обох можна побудувати портфелi (позначимо їх ξ+ i ξ−), такi, що

XT

MT± = V0± + ξ±k · (Xk − Xk−1) P -м.н. k=1

Зазначимо, що в силу повноти ринку i теореми 3.2.70 всi випадковi величини є обмеженими. Тому процеси

Xt

Mt± = V0± + ξ±k · (Xk − Xk−1)

k=1

є P -мартингалами, значить,

XT

Mt = EP (MT+ − MT− | Ft ) = Vt+ −Vt− = V0 + ξk · (Xk − Xk−1),

k=1

де V0 = V0+ −V0−, ξk = ξ+k − ξ−k .

Достатнiсть. Нехай H є обмеженим дисконтованим платi-

жним зобов’язанням. Застосуємо розклад виду (3.2.17) до мартингалу Mt := EP (H | Ft ), i одержимо стратегiю, яка реплiкує H . Тодi за теоремою 3.2.70 ринок є повним.

236

Тепер побудуємо стратегiю продавця, яка буде (супер-)хеджу- вати Американське платiжне зобов’язання H (термiн “суперхе-

дж” означає, що капiтал такої стратегiї перевищує або дорiвнює Ht для всiх t T P -м.н.).

1.Побудуємо огинаючу Снелла U P процесу {Ht , t T}. За

теоремою 3.2.88 це супермартингал.

2.Розкладемо U P за Дубом (теорема 3.2.76): UtP = Mt + At. Згiдно з наслiдком до цiєї теореми, A – незростаючий процес,

причому A0 = 0, тобто At ≤ 0 P -м.н. для всiх t T, тобто Mt ≥ UtP P -м.н. для всiх t T.

3.Побудуємо зображення мартингалу M у виглядi дискретно-

го “стохастичного iнтегралу”

Xt

Mt = U0P + ξk · (Xk − Xk−1), t T,

k=1

згiдно з теоремою 3.2.90. При цьому вже побудовано стратегiю {ξt , t T} i залишається знайти ξ0t , згiдно з лемою 3.2.42.

Таким чином, ми отримали самофiнансовану стратегiю ξt = = (ξ0t , ξt ), капiтал Vt якої задовольняє нерiвнiсть

Vt = Mt ≥ UtP ≥ Ht , t T.

(3.2.18)

Покажемо, що UtP є найменшим стартовим капiталом в момент t, який дозволяє, починаючи з цього моменту, (супер-)хеджувати Hu, u ≥ t, тобто щоб виконувалось (3.2.18).

Теорема 3.2.90. Нехай P – єдина еквiвалентна мартингальна мiра на повному фiнансовому ринку, i нехай {Ht , t T} – дис-

контоване Американське платiжне зобов’язання з огинаючою Снелла {UtP , t T}.

1. Iснує передбачуваний процес {ξt , t = 1, . . . , T } такий, що

		u
	UtP	kX	ξk · (Xk − Xk−1) ≥ Hu для всiх u ≥ t,	(3.2.19)
		+
		=t+1
	k=t+1 = 0 .
	P
	t

237

2. Якщо для деякої F -вимiрної випадкової величини b iснує

t Ut

передбачуваний процес {b , u ≥ t}, для якого виконується умова

ξu

(3.2.19), у яку				Ut	пiдставлено Ut, то Ut ≥ Ut				м.н.
	замiсть			P				P
Таким чином, U P			є найменшим розмiром капiталу, яко-
	t					моменту		до моменту
го достатньо для хеджування H вiд						b	b t

погашення T .

Доведення. 1. Очевидно, що

Xu

UtP + ξk · (Xk − Xk−1) = Mt + At + (Mu − Mt ) =

k=t+1

= At + Mu = UuP + At − Au ≥ UuP ≥ Mu

для всiх u ≥ t.

2. Нехай тепер

				b	u
					kX b		− Xk−1) ≥ Hu
		Vu := Ut +				ξk · (Xk
					=t+1
	всiх
для	P u ≥ t. Покажемо iз застосуванням зворотної iндукцiї, що
Vu ≥ Uu		для всiх	u ≥ t		(з цього, зокрема, буде випливати, що						=
					b					b	Vt
b F		). Справдi,				H , а	P				U P .
U	P			VT	= U				= H , звiдки U
t ≥ Ut					P T	≥ T	UT		T	T ≥	T

Припустимо, що Vu+1 ≥ Uu+1. Оскiльки ринок повний, то простiр (Ω, ), згiдно з теоремою 3.2.70, мiстить скiнченне число атомiв,

отже, кожна випадкова величина є обмеженою, зокрема, всi b

ξt

є обмеженими, а тодi

Vu = EP (Vu+1 | Fu) ≥ EP (UuP+1 | Fu).

Крiм того, Vu ≥ Hu за припущенням теореми. Значить,

Vu ≥ Hu EP (UuP+1 | Fu) = UuP .

Теорему доведено.

238

Оптимальнi стратегiї покупця Американського опцiону

Розглянемо можливостi покупця оптимiзувати момент подачi до виплати Американського платiжного зобов’язання.

Означення 3.2.91. Момент зупинки τ0 називається оптималь-

ним, якщо EHτ0 = max EHτ.

м.з. τ T

Перед тим, як шукати оптимальний момент зупинки, розглянемо деякi властивостi мартингалiв, зупинених у випадковий час. Нехай τ T – момент зупинки, {Yt , Ft , t T} – випадковий

процес.

Означення 3.2.92. Зупиненим випадковим процесом називається процес виду Ytτ := Yt τ , t T.

Траєкторiю зупиненого процесу при фiксованому ω Ω мож-

на зобразити наступним чином:

Наступний результат є частковим випадком теореми Дуба про вiльний вибiр (про випадкову зупинку).

Теорема 3.2.93. Нехай {Mt , Ft, t T} – адаптований процес, iнтегровний вiдносно мiри Q. Наступнi умови є еквiвалентними:

1)процес M є Q-мартингалом;

2)для будь-якого моменту зупинки τ зупинений процес Mτ

єQ-мартингалом;

3)для будь-якого моменту зупинки τ EQMτ T = EQM0.

Доведення. Доведемо, що з 1) випливає 2). Для цього запишемо прирiст

Mtτ+1 − Mtτ = (Mt+1 − Mt )I {τ > t}.

Оскiльки подiя {τ > t} = Ω \ {τ ≤ t} Ft , то

EQ(Mtτ+1 − Mtτ | Ft ) = EQ(Mt+1 − Mt | Ft )1{τ > t} = 0.

Те, що з 2) випливає 3) є наслiдком незмiнностi математичного сподiвання будь-якого мартингала:

EQMτ t = EQMTτ = EQM0τ = M0.

239

Доведемо, що з 3) випливає 1). Справдi, нехай подiя A Ft , i

покладемо	(
		ω A,
τA(ω) =	t,
	T ,	ω / A.

Тодi подiя	,
{τA(ω) ≤ s} =
	A,
	Ω,

s < t,

t≤ s < T ,

t= T ,

тому ця подiя належить до Fs , s T. Отже, τA – момент зупинки. Тодi EQMτA T = EQMT , а цю рiвнiсть можна переписати наступ-

ним чином

EQMt 1A + EQMT 1Ω\A = EQMT 1A + EQMT 1Ω\A,

звiдки

EQMt 1A = EQMT 1A, A Ft .

Остання рiвнiсть еквiвалентна тому, що EQ(MT | Ft) = Mt . Тео-

рему доведено.

Наслiдок 3.2.94. Нехай {Yt , Ft , t T} – узгоджений Q-iнтегров-

ний процес. Тодi наступнi умови еквiвалентнi:

1)Y є Q-супермартингалом;

2)для будь-якого моменту зупинки τ зупинений процес Y τ є

супермартингалом.

Доведення. З 1) випливає 2): справдi, якщо Y – супермартингал, то вiн допускає розклад Дуба Yt = Mt +At, де A – передбачуваний процес, A0 = 0 i A монотонно не зростає. Тодi

Ytτ = Mtτ + Aτt ,

причому за теоремою 3.2.93 Mτ – мартингал, Aτ0 = 0 i Aτ монотонно не зростає. Перевiримо лише, що процес Aτ – передбачу-

ваний. Справдi,

At τ = At 1{t ≤ τ} + Aτ1{τ < t}.

240

Подiї {t ≤ τ} i {τ < t} належать до σ-алгебри Ft−1, At є Ft−1-

вимiрною випадковою величиною. Отже, ми одержали розклад Дуба для Y τ з незростаючим процесом Aτ, тобто Y τ – супер-

мартингал. Обернене твердження очевидне; достатньо покласти σ ≡ T .

Припустимо тепер, що дисконтоване Американське платiжне зобов’язання {Ht , Ft , t T} є iнтегровним вiдносно об’єктивної мiри P. Побудуємо огинаючу Снелла

Ut := UtP := Ht E(Ut+1 | Ft), t = 0, 1, . . . , T − 1, UT := HT , i за її допомогою знайдемо такий момент зупинки τ0, що

EHτ0 = max EHτ

м.з. τ T

(нагадаємо, що це оптимальний момент зупинки з точки зору покупця). Зараз, як i ранiше, F0 = { , Ω}, FT = F. Покладемо

τmin := min{t ≥ 0 : Ut = Ht }.

Очевидно, τmin – момент зупинки, причому τmin ≤ T , оскiльки HT = UT . Крiм того, розглянемо ще момент зупинки

τ(t) := min{s ≥ t : Us = Hs}.

(Очевидно, τ(0) = τmin). Позначимо Tt множину всiх моментiв зупинки τ T, таких, що τ ≥ t, i нехай T = T0. Нагадаємо ще

означення iстотного супремуму сiм’ї випадкових величин.

Означення 3.2.95. Нехай A – сiм’я випадкових величин на ймовiрнiсному просторi (Ω, F, P). Випадкову величину ξ0 називають iстотним супремумом сiм’ї A i позначається ξ0 = ess sup A =

=ess supξA ξ, якщо виконано двi умови:

1)ξ0 ≥ ξ P-м.н. для всiх ξ A;

2)якщо для деякої iншої випадкової величини ζ теж вико-

нується нерiвнiсть ζ ≥ ξ P-м.н. для всiх ξ A, то ζ ≥ ξ0 P-м.н.

241

τ(t)

Вiдомо (див., наприклад, [21], теорема А.32), що iстотний супремум iснує для будь-якої сiм’ї випадкових величин.

Теорема 3.2.96. Огинаюча Снелла U зобов’язання H задоволь-

няє наступнi рiвностi

Ut = E(Hτ(t) | Ft ) = ess sup E(Hτ | Ft ).

τTt

Зокрема, U0 = EHτmin = EHτ(0) = supτT EHτ.

(Останнє твердження означає, що один з оптимальних моментiв зупинки – це τmin = τ(0).)

Доведення. Згiдно з теоремою 3.2.88, огинаюча Снелла U є cупермартингалом вiдносно мiри P. Тодi в силу наслiдку 3.2.94, зупинений процес {Usτ, s ≥ t} теж є супермартингалом для всiх моментiв зупинки τ Tt , звiдки

Ut ≥ E(UTτ | Ft ) = E(Uτ | Ft ) ≥ E(Hτ | Ft ),

звiдки

Ut ≥ ess sup E(Hτ | Ft).

τTt

Щоб довести обернену нерiвнiсть, достатньо показати, що Ut = E(Hτ(t) | Ft ), а ця рiвнiсть, в свою чергу, еквiвалентна такiй: Ut = E(Uτ(t) | Ft). Ця остання рiвнiсть випливатиме з теореми Дуба, якщо ми доведемо, що зупинений процес U τ(t) є мартингалом

(справдi, тодi E(UTτ(t) | Ft ) = Utτ(t) , або, що те саме, E(Uτ(t) | Ft ) = Ut ).
Зафiксуємо довiльне s мiж t i T . Тодi
Значить,	Us1{τ(t) > s} > Hs 1{τ(t) > s}.
Us 1{τ(t) > s} = Usτ(t) 1{τ(t) > s} = Hs E(Us+1 | Fs)1{τ(t) > s} =
= E(Us	| Fs)1{τ(t) > s} = E(Us 1{τ(t) > s} | Fs) =	(3.2.21)
= Us+1+1{τ(t) ≤ s} = E(Us+1 | Fs )+1{τ(t) ≤ s}.
	= E(Usτ+1(t) | Fs )1{τ(t) > s}.	(3.2.20)

Тепер розглянемо

Usτ(t) 1{τ(t) ≤ s} = Uτ(t) 1{τ(t) ≤ s} = Uτ(t) s+11{τ(t) ≤ s} =

τ(t)

242