finantial

рення моделi для дивiдендiв i умов розподiлу залишається нерозв’язаною. Зараз iснують деякi моделi рiвноваги, якi узгоджують i спостережену мiнливiсть цiн, i спостережену поведiнку дивiдендiв. Однак, значна наявна лiтература по перевiрцi мiнливостi найкраще може бути описана як непереконлива.

Лiтература з тестування ГЕР є численною, i можна знайти статтi на пiдтримку будь-якої точки зору. Можна вiдшукати дослiдження, що наводять незаперечнi аргументи i за, i проти ГЕР.

Багатоперiодний варiант фундаментальної теореми оцiнювання активiв

Сформулюємо теорему, яка в багатоперiоднiй моделi узгоджує вiдсутнiсть арбiтражу з наявнiстю мартингальних мiр.

Теорема 3.2.50. Модель ринку є безарбiтражною тодi i тiльки тодi, коли множина P мартингальних мiр непорожня. При цьому iснує мiра P P така, що похiдна Радона-Никодима dP /dPє обмеженою.

Доведення. Достатнiсть. Нехай P =6 . Це означає, що iснує мiра P , вiдносно якої дисконтований цiновий процес, а значить, i

дисконтований капiтал, що вiдповiдає обмеженiй самофiнансованiй стратегiї i ненульовому початковому капiталу, задовольняє, згiдно з лемою 3.2.48 рiвнiсть EP VT = V0 = 0, тобто в класi

обмежених самофiнансованих стратегiй арбiтражу нема, а тодi, згiдно з теоремою 3.2.44, ринок є безарбiтражним.

Необхiднiсть. Визначимо для t {1, . . . , T } множину

K := {η · (Xt − Xt−1) : η L0(Ω, Ft−1, P, Rd)}.

Згiдно з теоремою 3.2.15, ринок є безарбiтражним тодi i тiльки тодi, коли для всiх t {1, . . . , T } має мiсце рiвнiсть

K ∩ L+0 (Ω, F0, P, Rd ) = {0}.

(3.2.10)

Вiдзначимо, що (3.2.10) залежить лише вiд нульових множин мiри P. Тепер застосуємо “зворотну” iндукцiю. Умова (3.2.10) до-

зволяє застосувати теорему 3.2.15 до кожного перiоду торгiв.

213

Зокрема, при t = T ми одержуємо ймовiрнiсну мiру PT P з

обмеженою щiльнiстю dPT /dP, для якої EPT (Xt − Xt−1 | FT −1) = 0. Припустимо, що ми вже знайшли мiру Pt+1 P з обмеже-

ною щiльнiстю dPt+1/dP, для якої EPt+1 (Xk+1 − Xk | Fk) = 0 для k = t, . . . , T − 1. Приймемо мiру Pt+1 за об’єктивну та розгля-

немо перiод мiж t − 1 i t. У силу еквiвалентностi мiр Pt+1 i P спiввiдношення (3.2.10) є правильним. Якщо замiнити P на

Pt+1, одержимо мiру Pt Pt+1 таку, що dPt /dPt+1 обмежена, i EPt (Xt − Xt−1 | Ft−1) = 0. Доведемо, що одночасно i

EPt (Xk+1 − Xk | Fk) = 0

для k = t, . . . , T − 1. Справдi, для будь-якої подiї A Fk

w

EPt (Xk+1

−

Xk

k)dPt = w (Xk+1

−

Xk)dPt =

A

| F

A

= w (Xk+1

−

Xk)

dPt

dPt+1 =

A

dPt+1

= w

EPt+1 (Xk+1

−

Xk

k)

dPt

dPt+1 = 0.

A

| F

dPt+1

Тут використано те, що похiдна Радона-Никодима dPt /dPt+1 будується вiдносно σ-алгебри Ft , тому є Ft-вимiрною, отже, Fk-ви- мiрною для всiх t ≤ k ≤ T − 1. Зауважимо, що похiдна РадонаНикодима dPt /dP є обмеженою, оскiльки вона дорiвнює

dPt		dPt	· · ·	dPT
	=				.
dP		dPt+1		dP

Нарештi, покладемо P = P1, це i буде шукана мартингальна мiра з обмеженою похiдною Радона-Никодима dP /dP, бо для неї за iндукцiєю EP1 (Xk+1 − Xk | Fk) = 0 для всiх 0 ≤ k ≤ T − 1.

Європейськi платiжнi зобов’язання

Припустимо, що задано стохастичний базис (Ω, F, {Ft }t T , P), причому F0 = { , Ω}, а FT = F.

Означення 3.2.51. Європейським платiжним зобов’язанням називають будь-яку невiд’ємну випадкову величину C на просторi

214

{Ω, FT , P). Європейське платiжне зобов’язання C називають похiдним цiнним папером або деривативом акцiй {St = (St,1, . . .,

St,d ), t T}, якщо C є вимiрним вiдносно σ-алгебри GT := σ{St , 1 ≤

≤ t ≤ T } FT .

Зауваження 3.2.52. З фiнансової точки зору, Європейське платiжне зобов’язання iнтерпретується як таке, що подається до виконання в останнiй момент часу T , який називається датою ви-

конання, або датою погашення, на вiдмiну вiд Американського платiжного зобов’язання, яке можна подати до виконання у будь-який момент часу до фiксованої дати погашення. Назви “Європейське” та “Американське” нi в якому разi не означають, що такi цiннi папери розповсюдженi тiльки в Європi чи тiльки в Америцi. Цi назви походять вiд рiзних угод, укладених на опцiонних бiржах по обидва боки океану. У нашi днi географiя вже нi при чому, а назви залишились. Хоча Європейське платiжне зобов’язання не можна виконати до моменту T , але його

можна перепродати. Навiть для позабiржового Європейського опцiону, як правило, можна домовитися з банком про закриття позицiї за прийнятною цiною, або знайти iнший банк, готовий укласти протилежну угоду.

Розглянемо детальнiше приклади опцiонiв Європейського типу. Спочатку розглянемо зобов’язання, якi залежать лише вiд цiни акцiї у момент виконання.

Приклад 3.2.53. Покупець Європейського опцiону купiвлi має право, але не зобов’язаний, купити акцiю S в момент T за страйковою цiною K. Тобто це платiжне зобов’язання виду

Ccall := (ST − K)+.

Вiдповiдно, покупець Європейського опцiону продажу має право, але не зобов’язаний продати акцiю S у момент T за страйковою цiною K. Це вiдповiдає платiжному зобов’язанню

Cput := (K − ST )+.

Тепер розглянемо Європейськi опцiони, якi залежать вiд цiн акцiї на всiй множинi T. Звернiть увагу, що назви цих опцiонiв

часто теж “географiчнi”, причому зовсiм не “європейськi”.

215

Cavcall Cavput

Приклад 3.2.54. Виплата за Азiйським опцiоном залежить вiд усередненої за часом цiни акцiї

		T
	1	X
Sav :=	T + 1	Sk.

k=0

Наприклад, виплати за Азiйським опцiоном купiвлi дорiвнює := (Sav − K)+, а за Азiйським опцiоном продажу дорiвнює

= (K − Sav )+.

Можна усереднити не цiну акцiї, а страйкову цiну. Вiдповiднi опцiони матимуть вигляд (ST − Sav )+ та (Sav − ST )+.

Приклад 3.2.55. Виплата за бар’єрним опцiоном залежить вiд того, чи досягне за час вiд 0 до T цiна акцiї деякого бар’єру (верх-

нього чи нижнього). Всього iснує 8 типiв основних бар’єрних опцiонiв: “вгору-i-назовнi” (up-and-out), “вгору-i-всередину” (up- and-in), “вниз-i-назовнi”(down-and-out), “вниз-i-всередину” (down- and-in), i при цьому це можуть бути опцiони купiвлi або продажу. Наприклад,

call	(S		−		K)+,	якщо	max	T S > B,
	T						t		t
Cu&in	= (0,					у протилежному випадку;
put	(K			S )+,		якщо	min	T S > B,
	= (0,	−			T		t	t
Cd&o						у протилежному випадку.

Приклад 3.2.56. Виплата за опцiоном з пiслядiєю здiйснюється в усiх випадках, тому що в ньому страйкову цiну замiнено на мiнiмальну (для опцiонiв купiвлi) та максимальну (для опцiонiв продажу) цiну акцiї за весь час торгiв, тобто

	call	=	min		,	put	max	St − ST	.
	Clookback			St		Clookback =
			ST − t T				t T

Приклад 3.2.57. Виплата за цифровим опцiоном має наступний вигляд

Cdigitalcall = 1{ST ≥ K}, Cdigitalput

= 1{ST ≤ K}.

Цей опцiон ще називають бiнарним, бо виплата за ним набуває лише двох значень.

216

Приклад 3.2.58. Виплата за опцiоном “веселка” здiйснюється за формулою

	call				+	put			+
		=		max	,		=	min	.
	Crainbow					Crainbow
				t T	St − K			K − t T	St

Виплата за опцiоном “типу кошику” залежить вiд усередненої цiни деякої кiлькостi рiзних активiв, якi i утворюють “коши- к”. Вона має вигляд

d	+	d	+
X		X	.
Cbasketcall = i=1 ST ,i − K , Cbasketput		= K − i=1 ST ,i

Дисконтованi платiжнi зобов’язання. Досяжнi платiжнi зобов’язання та їхнi властивостi

Далi, якщо це не викличе непорозумiнь, будемо називати Європейськi платiжнi зобов’язання просто платiжними зобов’язаннями.

Означення 3.2.59. Дисконтоване платiжне зобов’язання, що вiдповiдає платiжному зобов’язанню C – це випадкова величина

H = C .

ST ,0

Зчисто математичної точки зору зручнiше мати справу з дисконтованими платiжними зобов’язаннями, але з економiчної точки зору, по-перше, при цьому втрачаються деякi нюанси, а подруге, треба ретельно пiдбирати той актив, який доцiльно вважати безризиковим. Це не завжди очевидно, крiм того, такий актив може змiнюватися з часом.

Зцього моменту припускаємо, що ринок є безарбiтражним, тобто P =6 .

Означення 3.2.60. Платiжне зобов’язання C називається досяж-

ним (таким, яке можна породити, реплiкувати, хеджувати, вiдтворити), якщо iснує така самофiнансована стратегiя ξ, капiтал якої в останнiй момент T збiгається з C м.н., тобто C = ξT · ST

м.н. Ця стратегiя називається такою, що породжує (вiдтворює) зобов’язання C.

217

Очевидно, платiжне зобов’язання C є досяжним одночасно з

вiдповiдним дисконтованим платiжним зобов’язанням

XT

H = ξT · XT = V0 + ξk · (Xk − Xk−1),

k=1

та їх породжує одна й та ж самофiнансована стратегiя. Доведемо цiкавий факт: кожне дисконтоване платiжне зобов’язання є iнтегровним вiдносно будь-якої мартингальної мiри.

Теорема 3.2.61. Нехай P P, а H ≥ 0 – деяке дисконтова-

не досяжне платiжне зобов’язання на стохастичному базисi (Ω, F, {Ft }t T , P), V = {Vt , t T} – капiтал деякої самофiнансованої стратегiї, що породжує H . Тодi:

1)EP (H ) < ∞;

2)Vt = EP (H | Ft ) P-м.н., t T, тобто, зокрема, капiтал V

єневiд’ємним P -мартингалом вiдносно фiльтрацiї Ft .

Доведення. Спочатку покажемо, що дисконтований капiтал Vt самофiнансованої породжувальної стратегiї невiд’ємний: Vt ≥ 0 P-м.н. Застосуємо “зворотну” iндукцiю. У момент T VT = H ≥ 0 P-м.н. Припустимо, що Vt ≥ 0 P-м.н. для деякого t {1, . . . , T }.

Розглянемо рiзницю

Vt −Vt−1 = ξt · (Xt − Xt−1),

i виразимо Vt−1:

Vt−1 = Vt − ξt · (Xt − Xt−1) ≥ −ξt · (Xt − Xt−1)	P-м.н.
Нехай c > 0; покладемо
ξkc := ξk1{kξ1k1 ≤ c, . . . , kξkk1 ≤ c} =: ξk1ck,	1 ≤ k ≤ t,

i вiзьмемо будь-яку мiру P P. Тодi Vt−11tc є Ft−1-вимiрною ви-

падковою величиною, iнтегровною, оскiльки вона є сумою скiн-

ченного числа добуткiв обмежених (ξct,i ) та iнтегровних (Xt,i ) ви-

падкових величин; тому

Vt−11tc = EP (Vt−1Ict | Ft−1) ≥ −E(ξct · (Xt − Xt−1) | Ft−1) =

= −ξct · (E(Xt − Xt−1) | Ft−1) = 0.

218

Спрямовуючи c ↑ ∞, одержимо Vt ≥ 0 P-м.н. Тепер, принайм-

нi, можемо, хоча б формально, записати умовне математичне сподiвання EP (Vt | Ft−1); воно гiпотетично може дорiвнювати +∞, але не є невизначеним. Тепер

(EP (Vt | Ft−1) −Vt−1)1tc = (EP (Vt −Vt−1) | Ft−1)1tc =

EP (ξt · (Xt − Xt−1)1tc | Ft−1) = EP (ξct · (Xt − Xt−1) | Ft−1)1tc = ξct · EP (Xt − Xt−1) | Ft−1)1tc = 0.

Знову спрямовуючи c ↑ ∞, одержимо рiвнiсть

EP (Vt | Ft−1) = Vt−1 P − м.н.

Тепер застосуємо “пряму” iндукцiю: при t = 1

EP (V1 | F0) = EP V1 = V0,

а це деяке невiд’ємне число, отже, V1 L1(P ) (iнтегровний вiдносно мiри P ). Якщо вже знаємо, що EP Vt−1 < ∞, то з рiвностi

EP (Vt | Ft−1) = Vt−1 одержимо EP Vt = EP Vt−1 < ∞. Остаточно, при t = T

EP Vt = EP H < ∞.

Теорему доведено.
Зауваження 3.2.62. Рiвнiсть
Vt = EP (Vt | Ft ) = EP (H | Ft )	(3.2.11)

є цiкавою з тої точки зору, що Vt не залежить вiд мiри P , а умовне математичне сподiвання EP (H | Ft ) не залежить вiд породжувальної стратегiї H . Отже, капiтал Vt породжувальної

стратегiї не залежить вiд цiєї стратегiї, тобто є однаковим для всiх таких стратегiй, а EP (H | Ft ) не залежить вiд P .

Зауваження 3.2.63. Якщо H – досяжне дисконтоване платiжне зобов’язання, P P, то значення EP H , згiдно з теоремою 3.2.61, не залежить вiд P . Це значення природно вважати єдиною справедливою цiною зобов’язання H . Дiйсно, iнша цiна для H

219

веде до арбiтражу. Наприклад, нехай в момент t = 0 зобов’язання H можна продати за цiною π1 > EP H = V0 = ξ1 ·X0; тодi треба продати H i купити породжувальний портфель ξ1; у результатi одержимо прибуток π1 − ξ1 · X0 > 0 в момент 0, який можна покласти на депозит, а в останнiй момент грошей ξT · XT вистачить на придбання H . Навпаки, якщо в момент t = 0 H можна придбати за цiною π2 < EP H , то треба продати породжувальний

портфель (“продати” або “купити” портфель – це вiдносне поняття; можливо, якiсь активи при цьому справдi купуються, iншi пiдлягають короткому продажу) i за одержанi грошi купити H ; у нас буде сума ξ1 · X0 − π2; в останнiй момент ми маємо куплене зобов’язання H i можемо його реалiзувати тому, хто купив

породжувальний портфель. В обох ситуацiях маємо арбiтраж.

Тепер уведемо загальне поняття справедливої цiни дисконтованого платiжного зобов’язання в багатоперiоднiй моделi ринку.

Справедливi цiни Європейських платiжних зобов’язань

Означення 3.2.64. Число π ≥ 0 називається справедливою цiною платiжного зобов’язання H , якщо iснує такий невiд’ємний

випадковий процес {Xd+1,t , Ft , t T}, що Xd+1,0 = π, Xd+1,T = H , i

розширений ринок з цiновими процесами

X= {X1,t , . . . , Xd+1,t , Ft , t T}

єбезарбiтражним.

Множину справедливих цiн дисконтованого платiжного зобов’язання H позначимо Π(H ). Нижню i верхню межi множини

Π(H ) позначимо π↓(H ) = inf Π(H ) та π↑(H ) = sup Π(H ).

Теорема 3.2.65. 1. Множина справедливих цiн платiжного зобов’язання непорожня i має вигляд

Π(H ) = {EP (H ) : P P i EP (H ) < ∞}.

(3.2.12)

2. Нижня i верхня межi цiєї множини задаються як

π↓(H ) = inf EP (H ) i	π↑(H ) = sup EP (H ).
P P	P P

220

Доведення. 1. Нехай число π Π(H ), тобто є справедливою цi-

ною. Тодi, за означенням, розширений ринок з цiновим процесом Xt = (X1,t, . . . , Xd+1,t ) є безарбiтражним. За теоремою 3.2.50

iснує мiра P P така, що цiновий процес Xt є P-мартингалом.

Зокрема, вона буде з класу P, оскiльки для неї цiновий процес

. ,	Xd,t	) є мартингалом. Окрема компонента				Xd+1	теж
Xt = (X1,t, . .b			b	| F	b
є мартингалом вiдносно P, тобто
		X0	= E (H		0) = E H = π.
			b		b
			P		P

Отже, π належить до множини у правiй частинi (3.2.12), тобто

Π(H ) {EP (H ) : P P i EP (H ) < ∞}.

Тепер розглянемо будь-яке число EP (H ). Утворимо невiд’ємний

мартингал Xd+1,t : EP (H | Ft ). Для нього Xd+1,0 = EP (H ), а Xd+1,T = = H . Оскiльки мiра P P, то розширений цiновий процес

Xt = (X1,t, . . . , Xd+1,t ) буде мартингалом, а це означає, що розширений ринок безарбiтражний, а тодi за означенням, EP (H ) –

справедлива цiна. Отже,

{EP (H ) : P P i EP (H ) < ∞} Π(H ),

i ми довели рiвнiсть (3.2.12).

2. Щоб довести непорожнiсть множини Π(H ), мiркуємо так

само, як i при доведеннi леми 3.2.22, а саме, зафiксуємо де-

яку мiру P P, для якої EP(H ) < ∞. Наприклад, можна взяти
dP := c	eH − d			c	e
e	P	P			dP /dP
	(1+ )	1	P, де		–нормуючий множник. Вiдносно цiєї мiри

ринок є безарбiтражним. Тодi з теореми 3.2.50 випливає iснування мiри такої, що похiдна Радона-Никодима обмежена. При цьому EP (H ) < ∞, i число π(H ) := EP (H ) буде справедливою цiною H , що випливає з доведення, наведеного

вище. Рiвнiсть

π↓(H ) = inf EP (H )

P P

очевидна, бо ясно, що iнфiмум досягається на тих P P, для яких EP (H ) < ∞. Доведемо рiвнiсть

π↑(H ) = sup EP (H ).

P P

221

Вона очевидна у тому випадку, коли для всiх P P EP (H ) < < ∞. Нехай тепер iснує мiра P∞ P, для якої EP∞ (H ) = ∞. Треба

довести, що

sup	E (	H	) =	∞	,
P P : EP (H )<∞	P

тобто що для будь-якого числа C > 0 iснує мiра PC P, для якої EPC (H ) > C. Розглянемо платiжнi зобов’язання H n, n ≥ 1. Всi вони обмеженi, тому EP∞(H n) < ∞, але

EP∞ (H n) ↑ EP∞(H ) = ∞,

тому знайдеться таке n, що ∞ > EP∞ (H n) > C. Визначимо

невiд’ємний мартингал

Xd+1,t := EP∞ (H n | Ft), t T.

Тодi P∞ – еквiвалентна мартингальна мiра для розширеного ринку Xt = (X1,t, . . . , Xd+1,t ), який є, таким чином, безарбiтра-

		(H ) 6= ).		e	P	P e
жним. Тепер вiзьмемо деяку мiру P P, для якої EP(H ) < ∞ (во-
	P∞ P.				e
на iснує, оскiльки Π			Приймемо			замiсть за об’єктивну
мiру. Очевидно,			Фундаментальна теорема оцiнювання

активiв (теорема 3.2.50) забезпечує iснування мiри P P, вiдно-

сно якої розширений	ринок	Xt	= (X1,t, . . . , Xd+1,t ) є мартингалом.
	e
				Радона-
Бiльше того, мiру P можна вибрати так, щоб похiдна e
Никодима була обмеженою, а тодi
EP (H ) = EP			H dP	< ∞.
			dP

e

Оскiльки P є мартингальною мiрою для початкового ринку, то за доведенням пункту 1, EP (H ) є справедливою цiною H . Але

EP (H ) ≥ EP (H n) = EP (Xd+1,T ) = Xd+1,0 = EP∞ (H n) > C.

Отже, ми довели рiвнiсть

π↑(H ) = sup EP (H ).

P P

222