finantial

Доведемо, що з 3) випливає 4). Справдi, якщо ми знайшли

e		VT > 0	6= 1, то достатньо утворити стратегiю ξt
вектор ξt0	, причому t0					=
e				t0 = 1	e
= ξt0 1t=t0 .	Для такої стратегiї V0 = 0, VT = ξt0 · (Xt0 − Xt0 −1) ≥ 0					з
iмовiрнiстю 1 i			з додатною iмовiрнiстю.
Зауважимо, що i не може бути					, iнакше в цьому випадку

ми мали б, за означенням точки t0, що Vt0 ≥ 0 з iмовiрнiстю 1 i Vt0 > 0 з додатною iмовiрнiстю, чого насправдi нема.

Те, що з 4) випливає 1), очевидно. Теорему доведено.

Елементи теорiї мартингалiв з дискретним часом

Ми довели при розглядi одноперiодної моделi, що вiдсутнiсть арбiтражу еквiвалентна наявностi мiри, нейтральної до ризику, тобто такої мiри P , що P P, dP /dP – обмежена випадкова величина, i для всiх 1 ≤ i ≤ d EP [Si /(1 + r)] = πi . Якщо початковi цiни є випадковими, тобто F0-вимiрними (зараз ми не припускаємо, що P(A) {0, 1} для всiх A F0), то, згiдно з теоремою

3.2.15, вiдсутнiсть арбiтражу еквiвалентна наявностi такої мiри P P, що dP /dP – обмежена випадкова величина, i

Si,1					= S0,i
EP	S0			F0		для всiх 1 ≤ i ≤ d,	(3.2.9)
		умовне сподiвання вiдносно попереднього мо-
тобто з’явилося

менту часу. Рiвнiсть (3.2.9) є “прототипом” мартингальної властивостi. Тому при поширеннi теорiї арбiтражу на багатоперiодну модель природно чекати появи деяких мартингальних процесiв. Дамо вiдповiднi означення та сформулюємо деякi властивостi мартингалiв, якi далi стануть у нагодi. У цьому параграфi всюди припускаємо, що P(A) {0, 1} для всiх A F0.

Означення 3.2.45. Дiйсний випадковий процес M = {Mt , t T}

з дискретним часом називається мартингалом вiдносно стохастичного базису (Ω, F, {Ft }t T ) i мiри Q на (Ω, F), якщо вiн задо-

вольняє три властивостi:

1)EQ|Mt | < ∞ для всiх t T;

2)M є узгодженим з фiльтрацiєю {Ft }t T , тобто випадкова величина Mt є Ft -вимiрною;

203

3) для всiх s, t T таких, що s ≤ t

EQ(Mt | Fs ) = Ms .

Зауваження 3.2.46. 1. Якщо для випадкового процесу X вико-

нуються властивостi 1) i 2), але 3) замiняється нерiвнiстю

EQ(Mt | Ms ) ≥ Ms (≤ Ms )

для всiх s ≤ t, то вiдповiдний процес називається субмартингалом (супермартингалом).

2. Векторний d-вимiрний процес {Mt , Ft , t T} називається

мартингалом, якщо кожна його компонента є мартингалом.

Лема 3.2.47. Iнтегровний адаптований процес {Mt , Ft , t T} є Q-мартингалом тодi i тiльки тодi, коли для будь-якого t =

= 0, 1, . . . , T − 1 справедлива рiвнiсть EQ(Mt+1 | Ft ) = Mt , або, що те саме, коли EQ(Mt+1 − Mt | Ft ) = 0.

Доведення. Треба лише довести достатнiсть. Справдi, якщо має

мiсце рiвнiсть EQ(Mt+1 | Ft ) = Mt для всiх t = 0, 1, . . . , T − 1, то в

силу наступної властивостi математичних сподiвань:

EQ(EQ(ξ | G1) | G2) = EQ(ξ | G2),

якщо ξ – iнтегровна випадкова величина, а σ-алгебри G2 G1, маємо для всiх s < t, s, t T:

EQ(Mt | Fs ) = EQ(EQ(Mt | Ft−1) | Fs ) = EQ(Mt−1 | Fs) = . . . = Ms .

Лему доведено.

Лема 3.2.48. Нехай {Mt , Ft , t T} – d-вимiрний iнтегровний

адаптований процес. Тодi наступнi властивостi еквiвалентнi:

1)	{Mt , Ft , t T} – Q-мартингал;
2)	для будь-якого обмеженого передбачуваного d-вимiрного
	процесу {ξt , Ft , 1 ≤ t ≤ T } i будь-якогоt			N0 R мартин-
	гальне перетворення Nt = N0 +		k=1 ξk	· (Mk − Mk−1) – Q-
	мартингал вiдносно тiєї ж	фiльтрацiї;
			P
3)	EQNT = N0, де процес N визначено у пунктi 2).

204

Доведення. Доведемо, що з 1) випливає 2). Справдi, згiдно з лемою 3.2.47, достатньо довести, що EQ(Nt+1 − Nt | Ft ) = 0. Але

EQ(Nt+1 − Nt | Ft ) = EQ(ξt · (Mt − Mt−1) | Ft−1) = = (ξt · (EQ(Mt − Mt−1 | Ft−1)) = 0.

Очевидно, що з 2) випливає 3).

Тепер доведемо, що з 3) випливає 1). Для цього покладемо

ξt = ξc = EQ(Mt − Mt−1 | Ft−1)1{kEQ((Mt − Mt−1) | Ft−1)k2 ≤ c}

0 t0

для будь-якого c > 0, ξt = 0, t 6= t0. Тодi {ξt , Ft , t {1, . . . , T }} –

обмежений передбачуваний процес, i

EkE((Nt0 − Nt0 −1) | Ft0 −1)k22 =

1EkEQ((Mt0 − Mt0 −1) | Ft0 −1)k22·

{kEQ((Mt0 − Mt0 −1) | Ft0 −1)k2 ≤ c} = 0.

Оскiльки число c > 0 можна взяти будь-яким, ми одержимо при c ↑ ∞, що

EkEQ((Mt0 − Mt0 −1) | Ft0 −1)k22 = 0.

Лему доведено.

Мартингальнi мiри, безарбiтражнiсть та гiпотеза ефективностi ринку

Далi з метою технiчного спрощення вважаємо, що F0 = { , Ω}.

Означення 3.2.49. Ймовiрнiсна мiра Q на (Ω, F0) називається

мартингальною, якщо вiдносно неї дисконтований цiновий про-

цес X = {(Xt,1, . . . , Xt,d ), t T} є мартингалом. Мартингальна мiра P називається еквiвалентною мартингальною мiрою, якщо

P P. Множину всiх еквiвалентних мартингальних мiр позна-

чимо P.

205

Припустимо, що сама об’єктивна мiра P є мартингальною,

тобто вiдносно неї дисконтований цiновий процес є мартингалом. У цьому випадку, згiдно з лемою 3.2.48 та рiвнiстю (3.2.7), дисконтований капiтал будь-якої самофiнансованої стратегiї також буде мартингалом вiдносно мiри P, i EPVT = V0. Тобто само-

фiнансованi стратегiї є безарбiтражними та не дають додатного очiкуваного прибутку. Припущення про те, що P P, є сильною

формою так званої гiпотези ефективностi ринку (ГЕР).

У моделi ринку, що мiстить, зокрема, безризикову облiгацiю, iнвестори, несхильнi до ризику, але сприятливi до сильної форми ГЕР, не будуть вкладати грошi в ризиковi активи. Але гiпотеза про те, що ринок безарбiтражний, не означає, що обов’язково самi мiра P є мартингальною; це набагато бiльш слабка та

гнучка форма ГЕР. Обговоримо цi поняття детальнiше.

3.2.8 Три форми гiпотези ефективних ринкiв

З 30-х рокiв i до початку 60-х рокiв XX столiття поширювалися рiзнi рецепти того, як заробляти грошi на фондових бiржах. Домiнуючою була теорiя, що бере початок у XVIII столiттi вiд Адама Смiта i стверджує, що ринки акцiй є принципово непостiйними, змiнними, нестiйкими, а цiни коливаються навколо деякого iстинного або фундаментального значення. Стартуючи з початкової роботи Бенджамiна Грехема, традицiйний аналiз iнвестицiй включає детальний розгляд рахункiв компанiї i визначення на основi цього, чи є дана iнвестицiя дешевою чи дорогою. Метою має бути купiвля дешевих акцiй i продаж дорогих. Будь-яка додаткова дiяльнiсть – це дiї iррацiональних iнвесторiв, що купують або продають на емоцiйних пiдставах, без детального аналiзу.

К 60-м рокам стало зрозумiлим, що цi, на загальну думку, надiйнi методи iнвестування не спрацьовують. Стратегiї, що базуються на детальному аналiзi, не працюють краще за звичайнi стратегiї типу купи-та-тримай. Спроби пояснити це явище призвели до гiпотези ефективних ринкiв (e cient market hypothesis, ГЕР), яка стверджує, що ринковi цiни вже мiстять вiдповiдну iнформацiю. Механiзм ринкових цiн є таким, що торговельнi вiдносини невеликої кiлькостi iнформованих аналiтикiв

206

можуть мати великий вплив на цiни на ринку. Лiнивi (або економнi) iнвестори тодi можуть дiяти вiльно, знаючи, що дослiдження iнших збережуть ефективнiсть ринку.

Наукова лiтература розрiзняє рiзнi форми гiпотези ефективних ринкiв, що базуються на все бiльш глибокому розумiннi того, що складає вiдповiдну iнформацiю (relevant information). Зокрема, звичайно розрiзняють наступнi три форми ГЕР:

Сильна форма ГЕР: ринковi цiни мiстять всю iнформацiю, як публiчно вiдкриту, так i iнсайдерську (тобто таку, що є вiдкритою лише для обмеженої кiлькостi додатково iнформованих осiб).

Наполовину сильна форма ГЕР: ринковi цiни мiстять всю публiчно вiдкриту iнформацiю.

Слабка форма ГЕР: ринкова цiна iнвестицiї мiстить всю iнформацiю про цiнову iсторiю цiєї iнвестицiї.

У всьому свiтi робота фондових бiрж регулюється. Часто запроваджуються правила, якi перешкоджають персонам, що мають доступ до непублiчної, але важливої для цiноутворення iнформацiї, використовувати її для власного прибутку. Тому вищому менеджменту, що причетний до перемов про злиття або продаж компанiй, часто забороняється торгувати акцiями своїх компанiй. Такi обмеження є непотрiбними, якщо має мiсце сильна форма гiпотези.

Наполовину сильна форма ефективностi ринку стверджує, що в цiнi вiдображається вся публiчно вiдкрита iнформацiя. Рiзнi фондовi бiржi вимагають рiзний рiвень вiдкритостi. Таким чином, було б природним очiкувати рiзних рiвнiв ефективностi для рiзних ринкiв. Наприклад, Нью-Йоркська фондова бiржа, яка вимагає значного рiвня вiдкритостi, мала б бути бiльш ефективною, нiж бiржа з меншим рiвнем. Навiть якщо iнформацiя публiчно вiдкрита, її швидке i точне отримання вимагає затрат. Перевага, яку отримують використанням даних, важливих для утворення цiн, нiвелюється затратами на отримання та обробку iнформацiї.

Також не iснує загальноприйнятого означення, що ж складає публiчно вiдкриту iнформацiю. Доступ до звiтiв компанiї є легким i дешевим. Однак, приватний iнвестор не має можливо-

207

стi зустрiтися з вищим керiвництвом великих компанiй. З iншого боку, менеджери iнвестицiйних фондiв, що розпоряджаються значними сумами, проводять багато часу в бесiдах з вищим керiвництвом органiзацiй, в якi вони iнвестували або планують iнвестувати кошти. Очевидно, менеджери фондiв отримують перевагу в тому вiдношеннi, що вони можуть формувати власну думку про рiвень компетентностi керiвництва i стратегiю компанiї. Тому не можна прямо визначити, коли наполовину сильна форма ефективностi ринку порушується.

Остання форма ефективностi, слабка, просто стверджує, що цiнова iсторiя акцiї не може бути використана для передбачення майбутнiх змiн на ринку. Ця форма, якщо має мiсце, означає, що аналiз цiнових таблиць та наявної структури цiн нiчого не дають. При слабкiй формi ефективностi так званий технiчний аналiз (або використання графiкiв) дає не бiльш нiж випадковий вибiр акцiй.

Пiзнiше поняття ефективностi подрiбнювалось на рiзнi форми з тим, щоб полiпшити означення доходу. Найбiльш iстотним кроком в цьому напрямку був розгляд набору доходiв рiзної вартостi. При цьому можна передбачити деякi змiни на ринку, але треба врахувати вартiсть дослiджень для отримання прогнозу (або плата менеджеру iнвестицiйного фонду за цей прогноз для вас) плюс плату за трансакцiї (роботу брокера, ринкову рiзницю за попит-пропозицiю). Щоб це мало сенс, вигода повинна бути досить великою i перевищувати всi вказанi затрати.

Питання про те, є ринок ефективним чи нi, має велике значення для управлiння iнвестицiями. Активнi менеджери фондiв намагаються визначити i використати завищенi чи заниженi цiни. Пасивнi – просто диверсифiкують, тобто розповсюджують iнвестицiї по всьому ринку. Арифметика диктує, що, в цiлому, активнi менеджери повиннi утримувати ринок, i тому, на жаль, результати роботи фондiв з активними менеджерами не сильно вiдрiзняються вiд фондiв, де менеджери пасивнi. Однак, якщо ринок не є ефективним, ми маємо очiкувати, що фонди з талановитими активними менеджерами працюють краще за фонди з пасивними менеджерами.

208

Аргументи за i проти кожної форми гiпотези ефективних ринкiв

Тестування ГЕР пов’язане з багатьма труднощами. Iснує значна кiлькiсть лiтератури, в якiй доводиться наявнiсть цiнових коливань, що суперечать ГЕР. З iншого боку, також у великiй кiлькостi публiкацiй доводиться наявнiсть рiзних форм ГЕР. Обидвi науковi школи можуть наводити багато емпiричних аргументiв та результатiв статистичних тестiв. З фiлософської точки зору, було б доречно спитати, як можуть iснувати категоричнi доведення двох взаємно протилежних тверджень. Одним з можливих пояснень є те, що багато опублiкованих результатiв тестiв роблять неявнi, але не обов’язково вiдповiднi реальностi припущення (наприклад, припускається нормальний розподiл доходу або стацiонарнiсть часових рядiв).

Частина цих неузгодженостей є лише неузгодженiстю термiнологiї. Наприклад, чи вважати аномальнi цiни спростуванням ГЕР, якщо вартiсть трансакцiй перешкоджає використанню аномальностi?

Бiльш складна проблема пов’язана з поняттям дозволеного ризику. ГЕР не суперечить iснуванню стратегiй, що дають прибуток вищий, нiж ринковий портфель, але при цьому мають i бiльший ризик. Ринок нагороджує iнвесторiв за ризикованiсть, i, в середньому, ми очiкуємо, що стратегiї з бiльшим ризиком дають бiльший дохiд. Що могло б суперечити ГЕР, так це iснування iнвестицiйної стратегiї, прибуток вiд якої вищий, нiж компенсацiя вiдповiдного їй ризику. На жаль, не iснує загальновизнаного означення ризику, а, значить, i абсолютно акуратного способу його вимiряти.

Пiсля цих роз’яснень розглянемо, якi заходи можна вжити щодо рiзних форм ГЕР.

Тестування сильної форми ГЕР. Це є досить проблемним, тому що вимагає вiд дослiдника мати доступ до iнформацiї, що публiчно не оголошується. Однак, вивчення роботи з акцiями директорiв компанiй призводить до припущення, що навiть, маючи iнсайдерську iнформацiю, важко отримати якiсь винятковi результати.

209

Тестування слабкої форми ГЕР. Використання цiнової iсторiї для передбачення майбутнiх цiн, часто використовуючи графiки попереднiх даних, називається технiчним або графiчним аналiзом. Дослiдження не виявили рiзницi у доходах вiд акцiй, отриманим за допомогою технiчного аналiзу, i отриманим за допомогою чисто випадкового вибору акцiй. До ГЕР в слабкiй формi не iснує обґрунтованих заперечень.

Найбiльше дослiджень зосереджено на наполовину сильний формi ГЕР, i там дебати є найбiльш напруженими. Ми розглянемо тести ГЕР двох категорiй: тести iнформацiйної ефективностi та тести мiнливостi.

Iнформацiйна ефективнiсть

ГЕР (в її рiзних формах) стверджує, що цiни акцiй вiдображають iнформацiю. Однак, гiпотеза не повiдомляє нам точно, як нова iнформацiя впливає на цiни. Також важко емпiрично точно встановити, коли саме надходить iнформацiя – наприклад, чутки про подiї часто випереджають офiцiйнi оголошення.

Багато дослiджень показують, що на деякi подiї ринок реагує занадто сильно (надреакцiя, over-reaction), на деякi – занадто слабко (недореакцiя, under-reaction). Надреакцiя / недореакцiя коректуються протягом довгого перiоду часу. Якщо це так, маклери отримують прибутки з повiльної корекцiї, i ефективнiсть не має мiсця.

Деякi виявленi дослiдженнями ефекти можна класифiкувати як надреакцiю на подiї, наприклад:

1.Минулi результати – минулi переможцi потiм часто стають невдахами i навпаки – ринок схильний давати надреакцiю на минулi результати.

2.Деякi показанi прибутки можуть мати вплив на прогнозування, тобто високi прибутки компанiй вiдображаються в цiнах, минулi виплати – також в цiнах, а чистий капiтал цих компанiй – в ринкових котируваннях, особливо для минулих невдах, i це впливає на збiльшення прибуткiв. Знову ми маємо приклад надреакцiї ринку на минуле зростання.

210

Також зафiксовано приклади недореакцiї на подiї:

1.Цiни на акцiї протягом до одного року продовжують реагувати на оголошення їх прибутковостi. Це приклад недореакцiї на iнформацiю, що повiльно коректується.

2.Ненормально великий дохiд, що отримують батькiвська та дочiрня компанiї одразу пiсля роз’єднання. Це ще один приклад того, що ринок занадто повiльно розпiзнає вигоди подiї.

3.Ненормально великi втрати одразу пiсля об’єднання (узгоджене поглинання веде до менших наступних доходiв). Ринок схильний переоцiнювати вигоди об’єднання, цiни акцiй повiльно реагують, коли виявляється помилковiсть цiєї оптимiстичної точки зору.

Всi цi ефекти часто називають “аномалiями” в рамках ГЕР. Навiть якщо ринок є ефективним, майже неможливо уникнути деяких випадкiв невiдповiдних цiн. Треба очiкувати багатьох випадкiв як надреакцiї, так i недореакцiї. Це чiтко встановлено в сучаснiй лiтературi. Навiть бiльш важливим є те, що вiдмiченi ефекти не схильнi продовжуватися протягом тривалого часу, i тому не дають можливостi отримувати додатковi прибутки. Наприклад, ефект маленьких компанiй привернув увагу на початку 1980-х рокiв. Це було зумовлено високими результатами дiяльностi таких компанiй в 1960-80 роках. Однак, при проведеннi стратегiї, збудованої на цьому явищi, iнвестор отримав би ненормально малий дохiд в 1980-i та на початку 1990-х рокiв. В цей перiод не з’являлися статтi, якi стверджували б, що дохiд малих компанiй спростовує ГЕР.

Iншi приклади аномалiй, наприклад, здатнiсть пiдрахованої норми прибутковостi вказувати на майбутнi високi результати, близькi до ризику. Якщо цей ризик брати до уваги, багато дослiджень, що наводять аргументи про неефективнiсть, насправдi узгоджуються з ГЕР.

211

Тести мiнливостi

Деякi експерти вiдмiчали, що цiни на акцiї “надмiрно мiнливi” (“excessively volatile”). Пiд цим вони розумiли, що змiни ринкової цiни акцiй (спостережену мiнливiсть) не можна пояснити надходженням нової iнформацiї. Це було оголошено як факт надреакцiї ринку, що не узгоджується з ефективнiстю.

Твердження про “надмiрну мiнливicть” у формi, придатнiй до тестування, вперше було сформульовано в 1981 роцi Шiллером. Вiн розглянув модель дисконтованого грошового потоку для акцiй, починаючи з 1870 року. Використовуючи розмiр виплачених дивiдендiв i деякi термiнальнi вартостi акцiй, вiн змiг обчислити досконалу передбачену цiну, цiну “правильної акцiї”, за умови, що учасники ринку були здатнi правильно передбачити майбутнi дивiденди. Рiзниця мiж досконалою передбаченою цiною i реальною цiною з’являлася з помилок передбачення майбутнiх дивiдендiв. Якщо учасники ринку є розсудливими, ми не повиннi очiкувати систематичних помилок прогнозу. Також для ефективних ринкiв вiльнi змiни досконалої передбаченої цiни мають корелювати зi змiнами реальної цiни, оскiльки обидвi реагують на одну й ту ж iнформацiю.

Шiллер знайшов вагомi аргументи того, що спостережений рiвень мiнливостi суперечить ГЕР. Однак, наступнi дослiдження з використанням рiзних формулювань проблеми, з’ясували, що порушення ГЕР лише вiдповiдають межi статистичної значимостi. За цим слiдувала значна кiлькiсть критики методологiї Шiллера, i ця критика стосувалася:

а) вибору термiнальної вартостi акцiй;

б) використання постiйного дисконтного множника;

в) вiдхилення в оцiнках дисперсiї, зумовленого автокореляцiєю;

г) можливої нестацiонарнiстi ряду, тобто ряд може мати випадковий тренд, який робить недiйсними вимiрювання, отриманi для дисперсiї цiни акцiї.

Хоча багато авторiв в наступних дослiдженнях намагалися подолати недолiки початкової роботи Шiллера, але задача ство-

212