finantial

2. Запишемо, використовуючи пункт 1:

covQ	dQ , R(C)		= EQ dQ		R(C) − EQ dQ EQR(C) =
		dP		dP		dP

EP R(C) − EP 1 · EQR(C) = r − EQR(C).

Приклад 3.2.35. (Найпростiша модель безарбiтражного повного ринку.) Нехай ринок складається з одного безризикового активу, цiна якого в момент t = 0 дорiвнює π0 = 1, а в момент t = 1 вона дорiвнює S0 = 1 + r, де r > 0 та однiєї акцiї S1, цiна якої в момент t = 0 дорiвнює π1, а в момент t = 1 вона може набути

двох значень:

S1,1 = π1(1 + a) та S1,2 = π1(1 + b),

де −1 < a < b. Вважаємо, що ймовiрнiсний простiр має вигляд

(Ω, F, P) = (Ω = {ω1, ω2}, 2Ω, P),

де P({ω1}) = p > 0, P({ω2}) = q = 1 − p > 0. З‘ясуємо, якими

повиннi бути спiввiдношення мiж параметрами моделi для того, щоб ринок був безарбiтражним. Для цього розглянемо рiвнiсть

S1

EP 1 + r = π1,

де

P ({ω1}) = p > 0, P ({ω2}) = 1 − p = q > 0.

Зведемо її до рiвностi
	π1(1 + a)	p +	π1(1 + b)		(1 − p ) = π1,
	1 + r		1 + r

або

p = bb −− ar .

Отже, мiра P , нейтральна до ризику, iснує тодi i тiльки тодi, коли a < r < b. Очевидно, тодi ринок буде не тiльки безарбiтра-

жним, але i повним, тому що мiра, нейтральна до ризику, єдина.

193

Отже, кожне платiжне зобов’язання C буде досяжним. Знайдемо явний вигляд стратегiї, що породжує C. Для цього складемо

систему з двох рiвнянь

C(ω1) = ξ1(1 + r) + ξ2π1(1 + a),

C(ω2) = ξ1(1 + r) + ξ2π1(1 + b),

звiдки

ξ2	=	C(ω2) − C(ω1)	,	ξ1 =	C(ω1)(1 + b) − C(ω2)(1 + a)	.
		π1(b − a)
					(b − a)(1 + r)

Тому єдиною справедливою цiна платiжного зобов’язання C є

π(C) = EP		C		=	C(ω1)	p +		C(ω2)(1 − p )			=
		1 + r						1 + r
					1 + r
=	C(ω1)(b − r) − C(ω2)(r − a)								.
				(b − a)(1 + r)
Зокрема, для опцiону купiвлi Ccall							= (S1 − K)+ зi страйковою
цiною K [π1(1 + a), π1(1 + b)]
π(Ccall ) =				(π1(1 + b) − K)(r − a)						.
					(b − a)(1 + r)

Зазначимо, що значення об’єктивної мiри P не фiгурувало в

розрахунках. Проiлюструємо на прикладi опцiону купiвлi той факт, що придбання опцiону може суттєво змiнити вiдносний дохiд, а отже, i ризик фiнансової позицiї. Нехай у момент t = 0 початкова цiна акцiї π1 = 100, вiдсоткова ставка r = 0. У момент t = 1 маємо або цiну π1(1+a) = π1(1−0,2) = 80, або цiну π1(1+b) =

π1(1 + 0,1) = 110.

Вiдносний дохiд акцiї дорiвнює

		S1 − π(S1)		(	80−(80·0,1+110·0,2)/0,3		= −20%, ω = ω1,
	R(S1) =		=		110−100	100
		π(S )
						= 10%,	ω	=	ω	2.
	1				100

194

Вiдносний дохiд опцiону купiвлi зi страйковою цiною K = 100

дорiвнює

	R(Ccall ) =	Ccall − π(Ccall )		=
			π(Ccall )
	0−(100·1,1−100)·0,2/0,3		= −100%,	ω = ω1,
=	20/3
(	10−20/3			ω = ω2.
	20/3 = 50%,

Як бачимо, вiдносний дохiд, а тому i ризик, збiльшився за абсолютною величиною в 5 разiв. Це одночасне збiльшення ризику при всiх сценарiях називається ефектом кратностi опцiону. Цей ефект можна “погасити”, склавши портфель таким чином, щоб вiн мiстив акцiю i, наприклад, певну кiлькiсть опцiонiв продажу. Розглянемо портфель виду

C1 = (K − S1)+ + S1 = Cput + S1.

Тодi в силу спiввiдношення пут-колл паритету

	20						20
	π(Cput) =			− 100 + 100 =					,
		3						3
R(C ) =	Cput + S1 − 20/3 − 100					=	−6,25 %,			ω = ω1,
1							(3,125 %,
	20/3 + 100									ω = ω2.

Бачимо, що портфель C1 суттєво зменшив як умовний дохiд, так i ризик, навiть у порiвняннi з акцiєю S1.

3.2.7 Динамiчна теорiя портфеля

Стохастичний базис, узгодженi та передбачуванi випадковi процеси

Розглянемо тепер багатоперiодну модель, яка стартує у момент t = 0 i закiнчується у момент часу t = T (зрозумiло, що це

дещо вiдносне поняття: реальний ринок може iснувати, i, скорiше за все, iснує i до моменту t = 0, i пiсля моменту t = T ,

просто нас цiкавить, з певних причин, саме цей вiдрiзок часу).

195

Отже, у момент t = 0 робиться перша iнвестицiя, мiж моментами t = 0 i t = 1, t = 1 i t = 2, . . ., t = T − 1 i t = T вiдбуваються торги, а у момент t = T залишається пiдрахувати прибутки або

збитки, виконати платiжне зобов’язання або зробити якусь iншу завершальну трансакцiю (трансакцiя вiд слова “transaction” – це певна фiнансова операцiя). У моменти часу t = 1, 2, . . . , T − 1

теж вiдбуваються iнвестицiї, якi доречно назвати промiжними, причому з плином часу iнвестор здобуває все бiльше iнформацiї про цiни фiнансових активiв на ринку. Оскiльки цiни активiв, як правило, моделюються випадковими величинами, то надходження нової iнформацiї математично iнтерпретується як поява нових подiй, тому з часом збiльшується набiр подiй, вiдомих iнвестору. Тому на ймовiрнiсному просторi (Ω, F, P) треба ввести набiр пiд-σ-алгебр алгебри F, що розширюється. Позначимо

T := {0, 1, . . . , T }.

Означення 3.2.36. Стохастичним базисом, або ймовiрнiсним простором з фiльтрацiєю називають набiр (Ω, F, {Ft }t T , P), де

F0 F1 . . . FT F – сукупнiсть пiд-σ-алгебр σ-алгебри F. Цю

сукупнiсть називаються фiльтрацiєю або потоком.

Будемо вважати, що фiльтрацiя {Ft }t T задовольняє припущення (А), якщо P{A} = 0 або 1 для всiх множин A F0 (iнодi просто вважають, що F0 = { , Ω}).

Оскiльки в реальнiй ситуацiї фiльтрацiя породжується значеннями цiнового процесу, то дамо ще наступне означення.

Означення 3.2.37. Дiйсний випадковий процес {ξt , t T} називають узгодженим з фiльтрацiєю {Ft , t T}, якщо для всiх t T випадкова величина ξt є Ft -вимiрною.

Очевидним чином попереднє означення поширюється на векторнi процеси (узгодженi випадковi процеси ще називають адаптованими до фiльтрацiї {Ft }t T ).

Розглянемо векторний цiновий процес

St := (St,0, St,1, . . . , St,d ).

Будемо, як i ранiше, припускати, що St,0 = (1 + r)t, r ≥ 0, а iншi компоненти вiдповiдають змiнi в часi ризикових активiв,

196

цiни яких є випадковими величинами, узгодженими з деякою фiльтрацiєю {Ft }t T . Iнодi просто припускають, що фiльтрацiя є “натуральною” вiдносно процесу St , тобто Ft = σ{Ss, s ≤ t}.

Якщо записати

St := ((1 + r)t, St,1, . . . , St,d ) = ((1 + r)t , St ),

де St = (St,1, . . . , St,d ), то фактично Ft = σ{Ss , s ≤ t}.

Тепер дiї iнвестора в момент t можуть спиратися на iнформацiю, одержану до цього моменту, тому що у момент t вiн по-

винен миттєво приймати рiшення. Через це, якщо позначити

ξt := (ξt,0, . . . , ξt,d ) = (ξt,0, ξt ) стратегiю, або портфель iнвестора в момент t, то випадковий вектор ξt повинен бути Ft−1-вимiрним.

Тому дамо ще одне означення.

Означення 3.2.38. Дiйсний випадковий процес {ζt , t = 1, . . . , T } називається передбачуваним (вiдносно фiльтрацiї {Ft , t T}), якщо випадкова величина ζt є Ft−1-вимiрною.

Так само, як i означення узгодженого процесу, означення передбачуваного процесу поширюється на векторний випадок.

Самофiнансованi стратегiї та дисконтований цiновий процес

Позначимо ξt = (ξt,0, ξt), де ξt := (ξt,1, . . . , ξt,d ), t = 1, . . . , T , випадковий вектор, який вiдповiдає стратегiї iнвестора в момент t.

Фактично, цю стратегiю вiн утворив в момент t −1, спираючись на вiдому до того часу iнформацiю, тобто процес ξt є передбачуваним. Якщо цiновий процес задається вектором St , то капiтал

iнвестора в момент t = 0 дорiвнює ξ1 ·S0, у момент t = 1 ξ1 ·S1, у будь-який момент t ≥ 1 вiн дорiвнює ξt ·St . Тобто в момент t, по-

ки iнвестор ще не змiнив стратегiї, його капiтал дорiвнює ξt · St.

Але в цей момент вiн змiнює стратегiю, тобто щось купує, перепродає, i його повний портфель (нова стратегiя) дорiвнює ξt+1. (Нагадуємо, що цей вектор є Ft -вимiрним). Основним припуще-

нням є те, що всi цi трансакцiї (купiвлю, перепродаж) вiн здiйснює в рамках того капiталу, який утворився в нього на момент

197

t, тобто ξt · St = ξt+1 · St . Це припущення ще називають вiдсутнi-

стю припливу або вiдтоку капiталу. Дамо вiдповiдне означення стратегiї.

Далi будемо вважати для всiх подiй A F0 виконаною умову P(A) {0, 1}. Тодi значення стратегiї ξ1, так само, як i будь-яка F0-вимiрна випадкова величина, є сталою (сталим вектором) з iмовiрнiстю 1.

Означення 3.2.39. Стратегiю ξ = {ξt , 1 ≤ t ≤ T } називають

самофiнансованою, якщо вона є передбачуваною, i

ξt · St = ξt+1 · St для всiх 1 ≤ t ≤ T − 1.

Запишемо капiтал, який вiдповiдає самофiнансованiй стратегiї, наступним чином. Позначимо його Kt, тодi

Kt = K0 + (K1 − K0) + . . . + (Kt − Kt−1) =

= ξ1 · S0 + (ξ1 · S1 − ξ1 · S0) + . . . + (ξt · St − ξt · St−1) =

Xt

											(3.2.6)
= ξ1 · S0 + ξk · (Sk − Sk−1).
				k=1

Тепер введемо поняття дисконтованого цiнового процесу та дисконтованого капiталу, тодi рiвнiсть (3.2.6) набуде кращого вигляду.

Означення 3.2.40. 1) Дисконтованим цiновим процесом називають векторний процес

			St,1		St,0		.
	Xt := 1,			, . . . ,
			St,0		St,0

(За наших припущень St,0 > 0 для всiх t T);

2) дисконтованим капiталом називають випадковий процес

V0 = ξ1 · X0, Vt = ξt · Xt , t = 1, . . . , T .

Операцiя дисконтування має очевидний змiст – це зведення цiн на момент t до вiдповiдних їм значень на момент t = 0

198

шляхом дiлення на вiдповiдну цiну безризикового активу на момент t (дисконтувальний множник). Детальнiше операцiю дис-

контування розглянуто в [21]. Умова самофiнансованостi стратегiї в термiнах дисконтованого цiнового процесу набуває вигляду

ξ1 · Xt = ξt+1 · Xt, 1 ≤ t ≤ T − 1.

Запишемо дисконтований капiтал самофiнансованої стратегiї в наступному виглядi:

Vt = V0 + (V1 −V0) + . . . + (Vt −Vt−1) =

= ξ1 · X0 + (ξ1 · X1 − ξ1 · X0) + . . . + (ξt · Xt − ξt · Xt−1) =

Xt

							(3.2.7)
= ξ1 · X0 + ξk · (Xk − Xk−1), t = 1, . . . , T
				k=1

(ми врахували той факт, що перша координата цiнового процесу дорiвнює 1 в будь-який момент часу). Доведемо, що формула

(3.2.7) забезпечує самофiнансованiсть стратегiї вiдповiдного капiталу.

Лема 3.2.41. Наступнi умови еквiвалентнi:

1)стратегiя ξ = {ξt , 1 ≤ t ≤ T } є самофiнансованою;

2)дисконтований капiтал Vt , який вiдповiдає стратегiї ξt, допускає зображення (3.2.7) з V0 = ξ1 · X0.

Доведення. Нам потрiбно лише довести, що з 2) випливає 1). Справдi, при наявностi зображення (3.2.7) рiзниця значень дисконтованого капiталу мiж двома сусiднiми моментами часу дорiвнює

Vt −Vt−1 = ξt · (Xt − Xt−1) = ξt · (Xt − Xt−1) =

ξt · Xt − ξt · Xt−1.

З iншого боку, очевидно, що

Vt −Vt−1 = ξt · Xt − ξt−1 · Xt−1,

звiдки отримуємо рiвнiсть

ξt · Xt−1 = ξt−1 · Xt−1, t = 2, . . . , T ,

що i свiдчить про самофiнансованiсть стратегiї ξt .

199

Лема 3.2.42. Нехай початковий капiтал V0 i частина портфеля, вкладена в ризиковi активи, {ξt , 1 ≤ t ≤ T } є вiдомими.

Тодi можна єдиним чином визначити передбачуваний процес {ξt,0, 1 ≤ t ≤ T } так, щоб одержати самофiнансовану стратегiю {ξt , 1 ≤ t ≤ T }.

Доведення. Процес {ξt,0, 1 ≤ t ≤ T } визначається за iндукцiєю

наступним чином: спочатку запишемо

d

X

V0 = ξ1 · X0 = ξ1,0 +

ξ1,iX0,i ,

i=1

звiдки

d

X

ξ1,0 = V0 − ξ1,iX0,i .

i=1

Потiм використаємо означення самофiнансованостi:

d

X

(3.2.8)

ξt · Xt = ξt+1 · Xt = ξt+1,0 +

ξt+1,i Xt,i ,

i=1

причому лiва частина (3.2.8) зараз вважається вiдомою, а в правiй невiдомий лише ξt+1,0, i його легко знаходимо:

ξt+1,0 = ξt · Xt − ξt+1 · Xt .

Лему доведено.

Поняття арбiтражу в багатоперiоднiй моделi

Нехай ринок еволюцiонує мiж моментами t = 0 i t = T . Дамо

спочатку означення “глобального” арбiтражу, тобто арбiтражу мiж цими двома “крайнiми” моментами часу. Всi властивостi фiнансового ринку, як правило, будемо формулювати в термiнах дисконтованого цiнового процесу.

Означення 3.2.43. Багатоперiодний ринок допускає арбiтраж, якщо iснує така самофiнансована стратегiя ξ = {ξt , 1 ≤ t ≤ T },

для якої V0 = ξ1 · X0 ≤ 0, а VT ≥ 0 P-м.н., i VT > 0 з додатною P-iмовiрнiстю. Така стратегiя називається арбiтражною.

200

Покажемо тепер, що наявнiсть такого “глобального” арбiтражу еквiвалентна наявностi “локального” арбiтражу, тобто арбiтражу мiж деякими двома сусiднiми моментами часу.

Теорема 3.2.44. Наступнi умови еквiвалентнi:

1)багатоперiодний ринок допускає арбiтраж у розумiннi означення 3.2.43;

2)iснує момент часу t0 {1, . . . , T } та iснує Ft0 −1-вимiрний

b

b

t

b

t

вектор ξt

= (ξt

,1

, . . . , ξt

,d ) такий, що

0

0

b

0 ·

0

≥

i

0 −

0

−

0 P-м.н.

ξ

(Xt

X

1)

ξ

· (Xt0 − Xt0

−1) > 0

з додатною ймовiрнiстю

P;

bt0

3) iснує момент часу t0

обмежений вектор e

ξt0

{1, . . . , T } та iснує Ft0 −1-вимiрний

= (et0 ,1	, . . . , et0	,d )	такий, що
ξ	ξ

i	et0 · (Xt0 − Xt0		−1) ≥ 0 P	-м.н.
	ξ
ξ	· (Xt0 − Xt0 −1) > 0	з додатною ймовiрнiстю			P;
et0

4)багатоперiодний ринок допускає арбiтраж у розумiннi

означення 3.2.43, причому початковий капiтал V0 = 0, а самофiнансована стратегiя ξ = {ξt , 1 ≤ t ≤ T } є обме-

женою.

Доведення. Доведемо, що з 1) випливає 2). Справдi, нехай ринок допускає арбiтраж з деякою стратегiєю ξ у розумiннi озна-

чення 3.2.43. Позначимо

t0 = inf{t T : Vt ≥ 0 P-м.н.,

Vt > 0, з додатною P-ймовiрнiстю},

i зауважимо, що t0 – невипадкова стала, та за умовою наявностi арбiтражу t0 ≤ T . (Тут капiтал розглядається вiдносно цiєї самої

201

арбiтражної стратегiї). У момент часу t0 − 1 iснують двi можливостi: а) або Vt0 −1 ≡ 0; б) або Vt0 −1 < 0 з додатною P-ймовiрнiстю.

У випадку а) маємо:

Vt0	−Vt0 −1 ≥ 0 P-м.н.,
Vt0 −Vt0 −1	з додатною P-ймовiрнiстю.

Враховуючи формулу (3.2.7) для значення дисконтованого капiталу самофiнансованої стратегiї, одержимо, що iснує Ft0 −1-ви- мiрний вектор ξt0 , для якого

		ξt0 · (Xt0 − Xt0 −1) ≥ 0				P-м.н.
i
		ξt0 · (Xt0 − Xt0 −1) > 0			з додатною	P-ймовiрнiстю.
Достатньо покласти ξt				:= ξt . У випадку б) розглянемо подiю
		0		{ −	0
		:=			}
Ft0 −1-		A b		Vt0	1 < 0 , P(A) > 0,
		b				b
i стратегiю ξt0 := ξt0 1A.			Оскiльки подiя A Ft0 −1, то i вектор ξt0				є
		вимiрним. Розглянемо скалярний добуток
		ξt0 · (Xt0 − Xt0 −1) = 1Aξt0 · (Xt0 − Xt0 −1).
	невiд’ємний з iмовiрнiстю i додатний на подiї , тобто з
Вiн		b				A

додатною ймовiрнiстю P, тому що вiн дорiвнює

(Vt0 −Vt0 −1)1{Vt0 −1 < 0}.

Отже, вектор b – шуканий.

ξt0

Доведемо, що з 2) випливає 3). Справдi, розглянемо тi самi t0 i ξt0 , що i у попередньому пунктi, але ще домножимо ξt0 на

множник

1

{k

0 k

≤

}

b

c := 1

c

b

ξt

1

для будь-якого c > 0. Оскiльки

A ·

c

↑ 1A з iмовiрнiстю 1, то

для всiх достатньо великих

1

·

1

c } > 0

. Тому ξ

ξ

1

–

шуканий обмежений вектор.c P{

A

et0

:= bt0

c

202