23. Решение функциональных, рекуррентных и др. Уравнений. Функция RootOf. Функция RootOf
В решениях уравнений нередко появляется функция RootOf, означающая, что корни нельзя выразить в радикалах. Эта функция применяется и самостоятельно в виде RootOf(expr) или RootOf(expr, х), где expr — алгебраическое выражение или равенство, х — имя переменной, относительно которой ищется решение. Если переменная х не указана, ищется универсальное решение по переменной _Z. Когда expr задано не в виде равенства, решается уравнение expr=0. Для получения решений вида RootOf в явном виде может использоваться функция allvalues.
Примеры применения функции RootOf (файл RootOf):
> RootOf(х^2+1=0,х);
RootOf (_Z² + 1)
> allvalues(%);
I, -I
> RootOf(а*b^2+а/b,b);
RootOf(_Z³ + 1)
> allvalues(%);
-1, ½ +½I√3, ½-½I√3
> RootOf(x^3-1,x) mod 7;
RootOf(_Z³ + 6)
> allvalues(%);
-6(1/3), ½6(1/3) - ½I√3 6(1/3), ½6(1/3) + ½I√3 6(1/3)
> evalf(%);
-1.817120593, .9085602965-1.573672596 I, .908560296+1.573672596 I
> RootOf(х^2-2*х+1,х) mod 5;
1
Итак, функция RootOf является эффективным способом представления решения в компактном виде. Как уже отмечалось, наряду с самостоятельным применением она часто встречается в составе результатов решения нелинейных уравнений.
Решение функциональных уравнений
Решение функционального уравнения, содержащего в составе равенства некоторую функцию f(х), заключается в нахождении этой функции. Для этого можно использовать функцию solve, что демонстрируют приведенные ниже примеры (файл solvefe):
> A:=solve(f(х)^2-х+1,f);
А := proc(x) RootOf(_Z^ 2 -х + 1, label =_L7) end proc
> convert(A(x),radical);
> allvalues(%);
> B:=solve(f(x)*x=ln(x^2),f);
В := proc(x) ln(x^2)/x end proc
> convert(B(x),radical);
> C:=solve(f(x)*х^2=а*х^2+b*х+с, f);
C := proc(x) (ax×x^2 + bx×x + c)/x^2 end proc
> convert(C(x),radical);
Решение рекуррентных уравнений — rsolve
Функция solve имеет ряд родственных функций. Одну из таких функций — fsolve — мы рассмотрели выше. В справочной системе Maple можно найти ряд и других функций, например rsolve для решения рекуррентных уравнений, isolve для решения целочисленных уравнений, msolve для решения по модулю m и т.д. Здесь мы рассмотрим решение уравнений важного класса — рекуррентных. Напомним, что это такие уравнения, у которых заданный шаг решения находится по одному или нескольким предшествующим шагам.
Для решения рекуррентных уравнений используется функция rsolve:
rsolve(eqns, fens)
rsolve{eqns, fens, 'genfunc'(z))
rsolve(eqns, fens, 'makeproc')
Здесь eqns — одиночное уравнение или система уравнений, fens — функция, имя функции или множество имен функций, z — имя, генерирующее функциональную переменную.
Ниже представлены примеры применения функции rsolve (файл rsolve):
> restart;
> rsolve(f(n)=-2*f(n-1)-f(n-2), f(k));
(-f(0) -f(1))(k + 1)(-1)k +(f(1) +2f(0))(-1)k
> rsolve({f(n)=-3*f(n-1)-2*f(n-2),f(1..2)=1), {f});
{f(w) = -3(-1)n +(-2)n}
> rsolve({y(n)=n*y(n-1), y(0)=1),y);
Г(n + 1)
> rsolve((y(n)*y(n-1)+y(n)-y(n-1)=0,у(0)=a},y);
> rsolve({F(n)=F(n-1)+F(n-2),F(1..2)=1),F, 'genfunc'(x));
> rsolve({y(n+1)+f(n)=2*2^n+n, f(n+1)-y(n)=n-2^n+3, y(k=1..5)=2^k-1,f(5)=6), {y, f});
{f(n)=n+1, y(n) = 2n - 1}
А теперь приведем результат вычисления функцией rsolve n-го числа Фибоначчи. Оно задается следующим выражением:
> eq1 := (f(n+2) = f(n+1) + f(n), f(0) = 1, f(1) = 1};
eq1 := {f(n+2) = f(n+1)+f(n), f(0) = 1, f(1) = 1}
В нем задана рекуррентная формула для числа Фибоначчи — каждое новое число равно сумме двух предыдущих чисел, причем нулевое и первое числа равны 1. С помощью функции rsolve в Maple 9.5 можно получить поистине ошеломляющий результат:
> a1:=rsolve(eq1, f);
Числа Фибоначчи — целые числа. Поэтому представленный результат выглядит как весьма сомнительный. Но на самом деле он точный и с его помощью можно получить числа Фибоначчи (убедитесь в этом сами). Любопытно отметить, что решение в Maple8 заметно отличается от приведенного выше для Maple 9.5. Но только по форме, а не по сути.