38. Поиск минимумов и максимумов аналитической функции командами minimize, maximize.
Главными из этих функций являются maximize и minimize, оптимизирующие задачусимплекс-методом. Они записываются в следующих формах:
maximize(f, С)
minimize(f, С)
minimize(f , С, vartype)
maximize(f , C, vartype)
maximize(f , C, vartype, 'NewC', 'transform')
minimize(f , C, vartype, 'NewC', 'transform')
Здесь f — линейное выражение, С — множество или список условий, vartype — необязательно задаваемый тип переменных NONNEGATIVE или UNRESTRICTED, NewC и transform — имена переменных, которым присваиваются соответственно оптимальное описание и переменные преобразования. Ниже даны примеры применения этих функций (файл simplex):
> restart:with(simplex):
Warning, the protected names maximize and minimize have been redefined and unprotected
> minimize(x+y, {4*x+3*y <= 5, 3*x+4*y <= 4}, NONNEGATIVE);
{y=0, x=0}
> minimize(x-y, {4*x+2*y <= 10, 3*x+4*y <= 16}, NONNEGATIVE, 'NC', 'vt');
{y=4, x=0}
> NC;vt;
> maximize(x+y, {4*x+2*y <= 10, 3*x+4*y <= 16}, NONNEGATIVE);
> maximize(x+y, {3*x+2*y <= 5, 2*x+4*y <=4});
> z := 2*x1 - x2 + 3*x3;
z := 2x1 - x2 + 3x3
> cnts1 := [x2+2*x3 <= 1, 2*x1-4*x2+6*x3 <= 3, -x1+3*x2+4*x3 <= 12];
cnts1 := [x2+2x3 ≤ 1, 2x1-4x2+6x3 ≤ 3, -x1+3x2+4x3 ≤ 12]
> sol1 := maximize(z,cnts1,NONNEGATIVE);
При использовании функций minimize и maximize надо не забывать, что это переопределенные функции — аналогичные по названию функции есть в ядре и они реализуют иные методы вычислений. Для возврата к исходному определению функций надо выполнить команду restart.
39. Работа с функцией из отдельных кусков. Функция piecewise. Работа с функциями piecewise
С функциями типа piecewise можно работать как с обычными функциями. При этом необходимые операции и преобразования осуществляются для каждой из частей функции и возвращаются в наглядной форме.
Ниже приведен пример задания функции f в аналитической форме (файл piecewi):
> restart;
> f := max(х^2 - 2, x-1);
f := max(x²-2, x-1)
Для выявления характера функции воспользуемся функцией convert и создадим объект g в виде кусочной функции:
> g := convert(f, piecewise);
Выполним дифференцирование и интегрирование функции:
> fprime := diff(f, х);
> Int(g,х)=int(g,х);
Как нетрудно заметить, результаты получены также в виде кусочных функций. Можно продолжить работу с функцией f и выполнить ее разложение в степенной ряд:
> series(f, х);
-1+x+O(x6)
Чтобы убрать член с остаточной погрешностью, можно выполнить эту операцию следующим образом:
> series(g, х);
-1+х
Обратите внимание на то, что поскольку разложение в ряд ищется (по умолчанию) в окрестности точки х=0, то при этом используется только тот кусок функции, в котором расположена эта точка.
40. Численное решение дифференциальных уравнений. Команда dsolve.
Maple позволяет решать одиночные дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений как аналитически, так и в численном виде. Разработчиками системы объявлено о существенном расширении средств решения дифференциальных уравнений и о повышении их надежности в смысле нахождения решений для большинства классов дифференциальных уравнений.
Для решения системы простых дифференциальных уравнений (задача Коши)используется функция dsolve в разных формах записи:
dsolve(ODE)
dsolve(ODE, y(x), extra_args)
dsolve({ODE, ICs}, y(x), extra_args)
dsolve({sysODE, ICs}, {funcs}, extra_args)
Здесь ODE — одно обыкновенное дифференциальное уравнение или система из дифференциальных уравнений первого порядка с указанием начальных условий, у(х) —функция одной переменной, Ics — выражение, задающее начальные условия, {sysODE} —множество дифференциальных уравнений, {funcs} — множество неопределенных функций, extra_argument —опция, задающая тип решения.
Параметр extra_argument задает класс решаемых уравнений. Отметим основные значения этого параметра:
• exact — аналитическое решение (принято по умолчанию);
• explicit — решение в явном виде;
• system — решение системы дифференциальных уравнений;
• ICs — решение системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями;
• formal series — решение в форме степенного многочлена;
• integral transform — решение на основе интегральных преобразований Лапласа, Фурье и др.;
• series — решение в виде ряда с порядком, указываемым значением переменной Order;
• numeric — решение в численном виде.
Возможны и другие опции, подробное описание которых выходит за рамки данной книги. Его можно найти в справке по этой функции, вызываемой командой ?dsolve.
Для решения задачи Коши в параметры dsolve надо включать начальные условия, а при решении краевых задач — краевые условия. Если Maple способна найти решение при числе начальных или краевых условий меньше порядка системы, то в решении будут появляться неопределенные константы вида _С1, _С2 и т.д. Они же могут быть при аналитическом решении системы, когда начальные условия не заданы. Если решение найдено в неявном виде, то в нем появится параметр _Т. По умолчанию функция dsolve автоматически выбирает наиболее подходящий метод решения дифференциальных уравнений. Однако в параметрах функции dsolve в квадратных скобках можно указать предпочтительный метод решения дифференциальных уравнений. Допустимы следующие методы:
> `dsolve/methods`[1];
[quadrature, linear, Bernoulli, separable, inverse_linear, homogeneous, Chini, lin_sym, exact, Abel, pot_sym ]
Более полную информацию о каждом методе можно получить, используя команду ?dsolve,method и указав в ней конкретный метод. Например, команда ?dsolve,linear вызовет появление страницы справочной системы с подробным описанием линейного метода решения дифференциальных уравнений.