matem

Задачи для практических занятий

16.1. Z

x

3

2

16.2. Z

+ 2)2

+ 5x + 7x + 3

dx.

(3x

dx.

x

x

16.3. Z

x2

1

5

¡

dx

.

16.4.

px(px + 2) dx.

x2(x + 1)

Z

x ¡ 3

16.5. Z

x + 2 .

16.6. Z

.

x3

+ 8

dx

x3 ¡ 27

dx

16.7. Z

16.8. Z

dx

.

dx

.

(x + 4)(x + 7)

x2 ¡ 6x + 8

16.9. Z

(cos 2x + sin 5x) dx.

16.10. Z

(sin x + cos x)2 dx.

Z

16.11.sin2 3x dx.

Z

16.13.sin 2x cos 2x dx.

Z

16.15.(217x + 103)2 dx.

Z

16.17.p2 ¡ 3x dx.

Z

16.19. p15dxx + 2.

Z

16.12.cos2 4x dx.

Z

16.14.ctg 2x dx.

Z

16.16.(12x ¡ 1)3 dx.

Zp

16.18.3 4 + 25x dx.

Z

16.20.52x¡3 dx.

Домашнее задание

16.21.	Z 3x		+ x	dx.	16.22. Z	µ	1 + x2	+ p1 ¡ x2	¶dx.
		3	3x2 + 1				2	3

101

	Z	5					16.24. Z	x2		4
16.23.		px(px + 1) dx.							¡		dx
								x + 2			.
16.25. Z (cos 5x + sin 7x) dx.							16.26. Z	cos2 5x dx.

Z

16.27.2 sin2 10x dx.

Z

16.29.tg 23x dx.

Z

16.31.sin 6x cos 2x dx.

16.33. Z	dx
		.
	5x + 2

Zp

16.35.3 5x + 2 dx.

Z

16.37.e¡2x dx.

Z

16.28.(sin 3x + cos 3x)2 dx.

16.30. Z	cos 2x
		dx.
	sin2 x cos2 x
Z

16.32.(3x + 1)10 dx.

Zdx

16.34.p3x.

1		1		1
16.36. Z µ		+		+		¶ dx.
	x3		x2		x

Z

16.38.(2x + 3x) dx.

Ответы

x3

5x2

9x2

16.1.

+

+ 7x + 3 ln jxj + c.

16.2.

+ 12x + 4 ln jxj + c.

3

2

2

1

10 10

4

x3

16.3. ln jxj+

+c. 16.4. x

µ

px7

+

px¶+c. 16.5.

¡x2 +4x+c.

x

17

3

3

16.6.

3

+ 32

+ 9x + c.

16.7. 3 ln

¯x + 7

¯ + c. 16.8. 2 ln

¯x

¡

2

¯ + c.

x3

x2

1

¯

x + 4

¯

1

¯

x 4

¯

¯

c¯. 16.11.

¯

¯ +c.

16.9.

+c. 16.10. x

+

x

2

¡

5

¡

2

2 µ

¡

6

sin 2x

cos 5x

cos¯ 2x

¯

1

¯sin¡6x

¯

16.12.

1

µx +

sin 8x

¶ + c. 16.13. ¡

cos 4x

+ c. 16.14. ¡ ctg x ¡ x + c.

2

8

8

(217x + 103)3

+c

(12x ¡ 1)4

+c

2

+

(2

3x)3

16.15.

651

. 16.16.

. 16.17. ¡9p

¡

48

102

										3			3																											2 p																		52x¡3
																											4
+ c. 16.18.									100									(4 + 25x) +c. 16.19.																										15x + 2+c. 16.20.																				+
												3 p						3						2															15																			2 ln 5
+ c. 16.21. x													+									x			+ ln jxj								+ c. 16.22.												2 arctg x + 3 arcsin x + c.
																			2
	10 10																				5																		1								2										sin 5x
													7												5
										p
16.23.				17				x					x +									6	xpx + c. 16.24.																	2		(x ¡ 2)						+ c. 16.25.										5					¡
	cos 7x																								1						sin 10x																						sin 20x
¡							+ c.						16.26.													µx +												¶			+ c. 16.27. x ¡																				+ c.
		7																							2								10																					20
16.28. x ¡											cos 6x											+ c.					16.29.							1			tg 3x ¡ x + c. 16.30. ¡ ctg x ¡
													6																						3
¡ tg x + c. 16.31. ¡2																									µ		8						+	4							¶ + c. 16.32.												33								+ c.
																					1						cos 8x							cos 4x																	(3x + 1)11
	1																													2																	3						3
																																p3x+c. 16.35.
16.33.						ln j5x+2j+c. 16.34.																																											(5x+2) p5x + 2+c.
			5																											3																20
							1						1																												1											2x						3x
16.36. ¡											¡							+ ln jxj + c. 16.37. ¡																											+ c. 16.38										+						+ c.
							2x2								x																								2 e2x													ln 2						ln 3

17.Метод подстановки

1.Замена переменной в неопределенном интеграле.

Полагая

x = f(t);

где t новая переменная; f(t) непрерывно дифференцируемая функция, получим формулу замены переменной в неопределенном интеграле Z Z

f(x) dx = f(f(t)) f0(t) dt:

Рассмотрим несколько примеров применения этой формулы. Для удобства все промежуточные вычисления будем записывать в квадратных скобках.

П р и м е р 1. Найти
Z	p
		x + 2
	cosp2x + 2		dx:

103

Р е ш е н и е. Если есть возможность избавится от корня, то это

надо сделать. Поэтому

Z

cos 2p

x + 2

dx = [ замена px + 2 = t; x = t2 ¡ 2; dx = 2t dt ] =

p

x + 2

= Z

cos 2t

2t dt = 2 Z

cos 2t dt = sin 2t + c = sin 2px + 2 + c:

t

П р и м е р

2.

Найти

Z p

dx

sin2 p

:

3x

3x

Р е ш е н и е

dx

t2

2

Z

p

sin2 p

= ·p3x = t; x =

; dx =

t dt¸ =

3

3

3x

3x

2

t dt

2

dt

2

2

=

Z

=

Z

= ¡

ctg t + c =

ctg p3x + c:

3

t sin2 t

3

sin2 t

3

3

П р и м е р 3. Найти

Zx2

(1 + x)100 dx:

Р е ш е н и е. После замены 1 + x = t применяем 11-ю формулу из таблицы интегралов.

Zx2

(1 + x)100 dx = [1 + x = t; x = t ¡ 1; dx = dt] =

(t

1)2

t2

2t + 1

1

2

1

= Z

¡

dt = Z

¡

dt = Z µ

¡

+

¶ dt =

t100

t100

t98

t99

t100

= ¡

1

+

2

¡

1

+ c =

97t97

98t98

99t99

¡

1

+

1

¡

1

+ c:

97(1 + x)97

49(1 + x)98

99(1 + x)99

104

П р и м е р 4. Найти

Z

p dxp dx: x + 3 x

Р е ш е н и е. Если в подынтегральную функцию входят несколько корней различной степени из одного и того же подкоренного выражения, то иногда удается свести интегрирование к более простой функции, если в качестве новой переменной взять корень из того же выражения, степень которого равна наименьшему общему кратному (НОК) степеней корней, входящих в подынтегральную функцию.

В нашем примере НОКf2; 3g = 6. Следовательно, можно сделать за- p

мену t = 6 x. Имеем

Z

dx

p

+ p3

dx = [t = p6 x;

px = t3; p3 x = t2; x = t6; dx = 6t5 dt] =

x

x

6t5 dt

t3 dt

(t

3 + 1)

1

= Z

= 6 Z

= Z

¡

dt =

t3 + t2

t + 1

t + 1

1

t3

t2

= 6 Z µt2 ¡ t + 1 ¡

¶ dt = 6 µ

¡

+ t ¡ ln jt + 1j¶ + c =

t + 1

3

2

p p p

= 2 x ¡ 3 3 x ¡ 6 ln( 6 x + 1) + c:

2. Внесение функции под знак дифференциала.

Часто интегрирование с помощью подстановки упрощается, если предварительно внести некоторую функцию под знак дифференциала. Иными словами, если F 0(x) = f(x), то используется соотношение

f(x) dx = dF (x);

и функцию F (x) принимают за новую переменную интегрирования.

П р и м е р 5. Найти

Z

ctg x dx:

105

Р е ш е н и е

cos x dx

d sin x

dt

Z ctg x dx = Z

= Z

= Z

=

sin x

sin x

t

= ln jtj + c = ln j sin xj + c:

П р и м е р 6.

Найти

Z

sin5 x dx:

Р е ш е н и е

Z

sin4 x sin x dx = ¡ Z (1 ¡ cos2 x)2 d cos x =

Z sin5 x dx =

= ¡ Z (1 ¡ t2)2 dt = ¡ Z

2

t5

(1 ¡ 2t2

+ t4) dt = ¡t +

t3

¡

+ c =

3

5

= ¡ cos x + 23 cos3 x ¡ 15 cos5 x + c:

П р и м е р 7. Найти	px2 + 1:
Z
		x dx

Р е ш е н и е. При решении используется 10-я формула из таб-

лицы неопределенных интегралов.

+ 1 + c:

Z px2 + 1 = Z

2px2

+ 1 = Z

2pt + 1 = pt + 1 + c = px2

x dx

d(x2)

dt

П р и м е р

8.

Найти

Z

dx

:

ex + 1

Р е ш е н и е

dx

x dx

d ex

dt

Z

= Z

e

= Z

= Z

=

ex + 1

ex( ex + 1)

ex( ex + 1)

t(t + 1)

1

1

= Z µ

¡

¶ dt = ln jtj ¡ ln jt + 1j + c =

t

t + 1

= ln ex ¡ ln( ex + 1) + c = x ¡ ln( ex + 1) + c:

106

3. Тригонометрические подстановки.

П р и м е р

9.

Найти

Z

x2 dx

p

:

a2 ¡ x2

p

Р е ш е н и е.

Полагаем x

=

a sin t. Тогда dx

= a cos t dt и

=

a2 ¡ a2 sin2 t = a cos t. Производя далее замену в ин-

a2 ¡ x2

теграле, получаем

Z

p

= Z

Z

p

x2 dx

a2 sin2 t a cos t dt

= a2

sin2 t dt =

a cos t

a2 ¡ x2

a2

a2

µt ¡

sin 2t

¶

a2

=

Z (1 ¡ cos 2t) dt =

+ c =

(t ¡ sin t cos t) + c =

2

2

2

2

2

2

x

x

x2

=

a

(t ¡ sin tp1 ¡ sin2 t) + c =

a

Ãarcsin

¡

r1 ¡

! + c =

2

2

a

a

a2

a2

x

x

=

arcsin

¡

pa2 ¡ x2 + c:

2

a

2

П р и м е р

10.

Найти

Z

dx

x2p

:

x2 + 1

Р е ш е н и е. Полагаем x = tg t. Тогда dx =

dt

и p

=

x2 + 1

cos2 t

1

ptg

2x + 1

=

Подставляя эти значения в интеграл получаем

cos t.

Z

= Z

cos

2

t

dt

¢ cos t = Z

cos t dt

dx

=

x2p

sin2 t

cos2 t

sin2 t

x2 + 1

d sin t

1

1

p

x2 + 1

= Z

= ¡

+ c = ¡

+ c = ¡

+ c:

sin2 t

sin t

tg t ¢ cos t

x

П р и м е р

11.

Найти

Z r

1 ¡ x dx:

1 + x

107

x = cos t

dx =

sin t dt

=

Р е ш е н и е. Полагаем

. Тогда

¡

и r

1 ¡ x

1 + x

=

1 ¡ cos t

=

t

r

tg

. После подстановки в интеграл получаем

1 + cos t

2

sin

t

1 ¡ x

t

2 sin

t

cos

t

dx =

sin t dt =

2

dt =

Z r1 + x

¡ Z tg

¡ Z

¢

2

cos

t

2

2

2

= ¡2 Z

t

Z (cos t ¡ 1) dt = sin t ¡ t + c =

sin2

dt =

2

p

=1 ¡ x2 ¡ arccos x + c:

Задачи для практических занятий

Z

17.1.e5 sin x cos x dx.

Zex

17.3.sin2( ex + 1) dx.

17.5.tg 2x dx.

Ze5px+3

17.7.px + 3 dx.

17.9. Z	1							dx.
	p			cos2 p
		2x					2x
17.11. Z			dx
	p		+ p4			.
		x			x

17.2. Z

sin3 x dx.

17.4. Z

ln x

dx.

x

17.6. Z

cos(2 arctg x)

dx.

1 + x2

17.8. Z

3p

x + 4

sinp

dx.

x + 4

17.10. Z

p3

x

dx.

x + 5

17.12. Z

dx

x2 p

.

4 ¡ x2

108

17.13. Z		dx
	p		.
		ex + 4

Z

17.15.e3 cos x sin x dx.

17.17. Z		e	x
	p			dx.
		ex	+ 1
Z

17.19.ctg 2x dx.

17.21. Z	sin p
			5x +	8	dx.
	p
		5x + 8

Z6x ¡ 5

17.23.p3x ¡ 1 dx.

Z

17.25.x(x ¡ 1)100 dx.

17.14. Z		cos3 x
	p		dx.
		1 + sin x

Домашнее задание

17.16. Z

cos3 x dx.

17.18. Z

dx

.

x ln x

17.20. Z

sin(2 arcsin x)

dx.

p

1 ¡ x2

3

17.22.

cos px

dx.

Z

px2

3

17.24. Z

dx

.

p

¡ p4

x

x

17.26. Z

p

4 ¡

x2

dx.

x2

Ответы

17.1.	1						e5 sin x + c. 17.2.																	1			cos3 x ¡ cos x + c. 17.3. ¡ ctg ( ex +																													1) + c.
	5																								3
		1								2														1																			1
17.4.							ln x + c. 17.5. ¡																						ln j cos 2xj + c.								17.6.								sin(2 arctg x) + c.
		2																									2																	2
		2								5p																					2		p																				p
														x+3
17.7.			5					e											+ c. 17.8. ¡												3	cos 3 x + 4 + c.												17.9.							tg				2x + c.
						3							3								(2x							15) + c									2p					+ 4 p4								+ 4 ln(p4									+
																				2
																																									x							x										x
17.10.					10 p(x + 5)																												17.11.
																						p	¡								.						1							p										2
																							4 x2
																																															ex + 4
									.				17.12.							¡											.		17.13.										¯p									+ 2				¯ .
																								4x															2
																																														ex + 4
+ 1) + c									2															¡							+ c										ln		¯						1			¡				¯	+ c
																																											¯													¯
													p															¡																¡
								15								1				3																x													3
17.14.																								(7																											e3 cos x¯						+ c.
																(1 + sin x)3															3 sin x) + c.						17.15.¯
17.16. sin x ¡																			sin		x + c. 17.17. 2p																	+ c. 17.18. ln j ln xj + c.
																																		e + 1
																	3
																																																									109

1

1

17.19.

ln j sin 2xj +

c.

17.20.

¡

cos(2 arcsin x) +

c.

2

2

17.21. ¡5 cos p5x + 8 + c. 17.22. 3 sin px + c. 17.23. 9p3x ¡ 1(6x ¡

2

3

2

¡

11) + c

. 17.24.

2p

+ 4p4

+ 4 ln

j

p4

¡

1

j

+ c

. 17.25.

(x ¡ 1)102

+

x

x

x

p

102

+

(x ¡ 1)101

+ c

.

17.26. ¡

4 ¡ x2

arcsin

x

+ c

.

101

x

¡

2

18. Интегрирование по частям

Если u = u(x) и v = v(x) дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям:

ZZ

u dv = uv ¡ v du:

П р и м е р 1. Найти

Z

(5x + 2) cos 3x dx:

Р е ш е н и е. Как условились ранее, промежуточные выкладки

записываем в квадратных скобках. Имеем

du =sin 3x

3

(5x + 2) cos 3x dx =

2 u = 5x + 2;

=

Z

4

5 dx;

5

dv = cos 3x dx;

v =

3

+ 2

5

5x + 2

5

=

5x

sin 3x ¡

Z

sin 3x dx =

sin 3x +

cos 3x + c:

3

3

3

9

П р и м е р

2. Найти

Z

arcsin x dx:

110