matem

Число a = 0 не является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение этого уравнения ищем в виде

y = e0x(Ax2 + Bx + C) или y = Ax2 + Bx + C:

Тогда

y0 = 2Ax + B; y00 = 2A:

Подставляя функцию и ее производные в уравнение, получаем

2A ¡ (2Ax + B) ¡ 2(Ax2 + Bx + C) = 2x2 ¡ 6x:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях,

8

>¡2A = 2

<

>¡2A ¡ 2B = ¡6 :2A ¡ B ¡ 2C = 0:

Решая эту систему, находим

A = ¡1; B = 4; C = ¡3:

Итак, частное решение неоднородного уравнения имеет вид

yч(x) = ¡x2 + 4x ¡ 3:

Общее решение неоднородного уравнения ищется как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

y= C1 e¡x + C2 e2x ¡ x2 + 4x ¡ 3:

Пр и м е р 2. Решить уравнение

y00 + 2y0 ¡ 3y = (x + 2) e3x:

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение l2 + 2l ¡ 3 = 0 имеет корни l1 = 1, l2 = ¡3, ни один из которых не равен a = 3. Частное решение ищем в виде

y = (Ax + B) e3x:

161

Подставляя в уравнение эту функцию и ее производные

y0 = (3Ax + 3B + A) e3x; y00 = (9Ax + 9B + 6A) e3x;

получаем после сокращения на e3x

9Ax + 9B + 6A + 2(3Ax + 3B + A) ¡ 3(Ax + B) = x + 2:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, находим коэффициенты A и B

(

12A = 1	A =		1	; B =		1	:
8A + 12B = 2;						9
	12
Общее решение исходного уравнения равно					9¶ e3x:
y = C1 ex + C2 e¡3x + µ12 +
		x			1

П р и м е р 3. Решить уравнение

y00 ¡ 2y0 + y = 6x ex:

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение l2 ¡ 2l + 1 = 0 имеет корень l1 = l2 = 1 кратности k = 2. Число a = 1 совпадает с корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

y = x2(Ax + B) ex:

Подставляя в уравнение функцию y = (Ax3 + Bx2) ex и ее произ-

водные

y0 = [Ax3 + (3A + B)x2 + 2Bx] ex;

y00 = [Ax3 + (6A + B)x2 + (6A + 4B)x + 2B] ex;

получим (после сокращения на ex)

Ax3 + (6A + B)x2 + (6A + 4B) + 2B ¡ 2(Ax3 + (3A + B)x2 + 2Bx) +

+ Ax3 + Bx2 = 6x;

162

или после упрощений

6Ax + 2B = 6x:

Откуда находим A = 1 и B = 0.

Частное решение неоднородного уравнения равно

yч(x) = x3 ex:

Общее решение этого же уравнения равно

y = (C1 + C2x) ex + x3 ex:

Правило 2. Правая часть неоднородного уравнения равна

f(x) = eax(Pn(x) cos bx + Qm(x) sin bx);

где Pn(x), Qm(x) многочлены степеней n и m.

Если числа a §bi не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде

	yч = e	ax	~	~
			(Ps(x) cos bx + Qs(x) sin bx);
~	~

где Ps(x), Qs(x) многочлены с неизвестными коэффициентами,

степень которых s равна наибольшей степени многочленов Pn(x) и

Qm(x), s = maxfn; mg.

Если же a § bi являются корнями характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде

yч = x e	ax	~	~
		(Ps(x) cos bx + Qs(x) sin bx);
где s = maxfn; mg.
П р и м е р 4. Решить уравнение
	y00 ¡ 9y = e3x cos x:

Характеристическое уравнение l2 ¡ 9 = 0 имеет корни l1;2 = §3. В данном случае число a + ib = 3 + i не является корнем характеристического уравнения. Частное решение неоднородного уравнения

ищем в виде

y = e3x(A cos x + B sin x):

163

Вычислим производные от этой функции

y0 = 3 e3x(A cos x + B sin x) + e3x(¡A sin x + B cos x) = = e3x((3A + B) cos x + (3B ¡ A) sin x);

y00 = 3 e3x((3A + B) cos x + (3B ¡ A) sin x)+

+e3x(¡(3A + B) sin x + (3B ¡ A) cos x) =

=e3x((8A + 6B) cos x + (8B ¡ 6A) sin x):

Подставляя предполагаемое решение и его вторую производную в уравнение, получаем

e3x((8A+6B) cos x+(8B¡6A) sin x)¡9 e3x(A cos x+B sin x) = e3x cos x;

или после упрощений

(¡A + 6B) cos x + (¡6A ¡ B) sin x = cos x:

Приравнивая коэффициенты при cos x и sin x, находим коэффициенты A и B

A + 6B = 1

1

6

( ¡6A

B = 0;

A = ¡

; B =

:

¡

37

37

¡

Таким образом, частное решение найдено:

yч = e3x µ¡37 cos x + 37 sin x¶

:

1

6

Общее решение неоднородного уравнения равно

y = C1 e3x + C2 e¡3x

+ e3x µ¡

1

cos x +

6

sin x¶:

37

37

П р и м е р 5. Решить уравнение

y00 + y = x sin x:

Вэтом уравнении правая часть может быть записана как x sin x = e0x ¢ x sin x:

164

l1;2

Таким образом, a = 0, b = 1, и число a+ib = i совпадает с корнем характеристического уравнения l2 + 1 = 0. Его корни = §i. Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

y = x((Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x):

Находим вторую производную

y= (Ax2 + Bx) cos x + (Cx2 + Dx) sin x;

y0 = (2Ax + B) cos x + (2Cx + D) sin x ¡

¡(Ax2 + Bx) sin x + (Cx2 + Dx) cos x =

=(Cx2 + (2A + D)x + B) cos x + (¡Ax2 + (2C ¡ B)x + D) sin x; y00 = (2Cx + 2A + D) cos x + (¡2Ax + 2C ¡ B) sin x ¡

¡(Cx2 + (2A + D)x + B) sin x + (¡Ax2 + (2C ¡ B)x + D) cos x = = (¡Ax2 + (4C ¡ B)x + 2A + 2D) cos x +

+ (¡Cx2 + (¡4A ¡ D)x + 2C ¡ 2B) sin x:

Подставляем y00 и y в уравнение

(¡Ax2 + (4C ¡ B)x + 2A + 2D) cos x +

+(¡Cx2 + (¡4A ¡ D)x + 2C ¡ 2B) sin x +

+(Ax2 + Bx) cos x + (Cx2 + Dx) sin x = x sin x:

После упрощений получаем

(4Cx + 2A + 2D) cos x + (¡4Ax + 2C ¡ 2B) sin x = x sin x:

Для нахождения A, B, C и D приравняем сначала коэффициенты

при cos x и sin x	(
		4	Cx + 2A + 2D = 0
			4Ax + 2C	¡	2B = x;
		¡

а затем при одинаковых степенях x

4C = 0; 2A + 2D = 0; ¡4A = 1; 2C ¡ 2B = 0:

165

Откуда следует

A = ¡	1	; C = B = 0; D =	1		:
	4			4

Частное решение имеет вид

yч = x	µ¡4 cos x +		4 sin x¶		:
		x	1

Окончательно можем записать общее решение исходного уравнения:

x

y = C1 cos x + C2 sin x + 4 (sin x ¡ x cos x):

Отметим, что если правая часть неоднородного уравнения представляет из себя сумму функций, например, уравнение имеет вид

y00 + a1y0 + a2y = f1(x) + f2(x);

то решение уравнения складывается из общего решения однородного уравнения и частных решений неоднородных уравнений

y00 + a1y0 + a2y = f1(x) и y00 + a1y0 + a2y = f2(x):

Задачи для практических занятий

28.1. y00	+ 3y0	+ 2y = x2 + 2x.	28.2. y00	+ 4y0	= 8x.
28.3. y00	+ 2y0	+ 2y = e3x.	28.4. y00	+ y0 ¡ 2y = e¡2x.
28.5. y00	¡ 2y0	+ y = ex.	28.6. y00	¡ 7y0	+	6y = sin 2x.
28.7. y00	+ y = 4(sin x + cos x).		28.8. y00	+ 2y0	+	2y = ex cos x.

166

Домашнее задание

28.9.	y00 + y = ex.			28.10. y00 ¡ 3y0		+ 2y = 10 e¡x.
28.11.	y00	¡ 5y0	+ 6y = 2x2.	28.12. y00	¡ 7y0	+ 6y = sin x.
28.13.	y00	¡ 4y0	+ 4y = cos 2x.	28.14. y00	+ 9y = cos 3x.
28.15.	y00	+ y0 = x2 + 2x.		28.16. y00	¡ 6y0	+ 9y = e3x.
28.17.	y00	+ y = (4x ¡ 3) ex.		28.18. y00	¡ y = x cos x.

Ответы

															1								1					1
	28.1. y = C1 e¡x + C2 e¡2x +																	x2 ¡							x +					. 28.2. y = C1 + C2 e¡x +
																2								2					4
																																	1
	+ 4x2 ¡ 8x. 28.3. y = e¡x(C1 cos x + C2 sin x) +																																								e3x. 28.4. y =
																																				17
							1																														1
	= C1 ex +C2 e¡2x ¡								x e¡2x. 28.5. y = (C1 +C2x) ex +																																x2 ex. 28.6. y =
								3																														2
	= C1 ex + C2 e6x +							1		(7 cos 2x + sin 2x). 28.7 y = C1 cos x + C2 sin x +
							100																														1
	+ 2x(sin x¡cos x). 28.8. y = e¡x(C1 cos x+C2 sin x)+																																						ex(cos x+sin x).
																																					8
															1																						5
	28.9. y = C1 cos x + C2 sin x +																		ex. 28.10. y = C1 ex																		+ C2 e2x +						e¡x.
																	2																									3
	28.11. y = C1 e2x +C2 e3x +											1		x2 +							5	x+				19	. 28.12. y = C1 ex +C2 e6x +
		1					3													9			54										1
	+			(7 cos x + 5 sin x). 28.13. y = (C1 + C2x) e2x ¡																															sin 2x. 28.14. y =
			74																															8
										x																																	x3
	=		C1 cos 3x + C2 sin 3x +												sin 3x.									28.15. y =										C1 + C2 e¡x +											.
											6																																	3
	28.16. y = (C1 + C2x) e3x +														x2					e3x			. 28.17. y = C1 cos x + C2 sin x +
															2
		7																										1
	+ µ2x ¡					¶ ex. 28.18. y = C1 ex + C2 e¡x																						+				(sin x ¡ x cos x).
					2																										2
																																					167

29. Числовые ряды

Пусть дана числовая последовательность

a1; a2; a3; : : : ; an; : : : :

Бесконечная сумма ее элементов

X1 a1 + a2 + a3 + ¢ ¢ ¢ + an + ¢ ¢ ¢ = an

n=1

называется числовым рядом, элементы последовательности an называют членами ряда.

Конечная сумма

Xn

ak = Sn

k=1

называется частичной суммой ряда.

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм

S = lim Sn;

n!1

то говорят, что числовой ряд сходится и пишут

X1

an = S:

n=1

В этом случае S называют суммой ряда.

Если предел частичных сумм не существует или равен бесконечности, то говорят, что числовой ряд расходится.

	1
Необходимое условие сходимости. Если ряд	an сходится,
тогда	n=1
	X
lim an = 0:
n!1

Из этого условия следует, что если lim an =6 0, то ряд расходит-

n!1

ся. Если же lim an = 0, то о сходимости ряда ничего сказать нельзя.

n!1

Нужны дополнительные исследования, которые обычно производят

168

с помощью достаточных условий сходимости (так называемых признаков сходимости).

Мажорантный признак сравнения. Пусть выполняется нера-

	венство	0 · an · bn;		n = 1; 2; ¢ ¢ ¢ :
	Тогда
			1	1
			X	X
		сход.	bn	=) сход.	an ;
			n=1	n=1
	или		1		1
		расход.	X	=) расход.	X
			an		bn :
			n=1		n=1
				1
				X
	Иными словами, из сходимости ряда				bn следует сходимость
	1			n=1
				1
	X			X
	ряда	an, а из расходимости ряда an			следует расходимость
	n=1			n=1
	1
	X
	ряда	bn.

n=1

Предельный признак сравнения. Рассмотрим два ряда с положительными членами

			1		1
			X		X
				an и	bn:
			n=1		n=1
	Если	an
	nlim			= A	(0 < A < +1);
		b	n
	!1

A конечное, отличное от нуля положительное число (0 < A < +1), то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Ряды, исследуемые на сходимость с помощью этих признаков, обычно сравнивают с гармоническим рядом

1	1	1	1	1
X

n=1 np = 1 + 2p + 3p + ¢ ¢ ¢ + np + ¢ ¢ ¢ ;

169

который сходится при p > 1 и расходится при p · 1, или с суммой

бесконечно убывающей геометрической прогрессии

X1 qn = 1 + q + q2 + q3 + ¢ ¢ ¢ = 1 ¡1 q ;

n=0

где 0 < q < 1.

П р и м е р 1. Исследовать сходимость ряда

1 4 9	1	n2
	X

3 + 9 + 19 + ¢ ¢ ¢ = n=1 2n2 + 1:

Р е ш е н и е. Ряд расходится, так как не выполняется необхо-

димое условие сходимости
		n2		1
nlim an = nlim			=			6= 0:
		2n2 + 1		2
!1	!1
П р и м е р 2. Исследовать сходимость ряда
		1
			X			(¡1)n¡1:
1 ¡ 1 + 1 ¡ 1 + 1 ¡ 1 + ¢ ¢ ¢ =
			n=1

Р е ш е н и е.

В этом случае не существует предела n-го члена,

lim a

= lim (

1)n¡1

не существует. Необходимое условие сходи-

n!1

n

n!1 ¡

мости не выполняется. Ряд расходится.

П р и м е р 3.

Исследовать сходимость ряда

1

1

X

:

n=1

2n

+ n

Р е ш е н и е. При n ¸ 1 выполняется неравенство

2n + n <

2n

= µ2¶

:

1

1

1

n

170