matem

¡! ¡!

¡! ¡!

Двугранный угол f между двумя плоскостями равен углу между

~	~	= (A2; B2; C2),
их нормальными векторами N1	= (A1; B1; C1) и N2

косинус которого находится с помощью скалярного произведения:

~		~			A1A2 + B1B2 + C1C2
cos f =	(N1	; N2)	=						:
	jN~1j ¢ jN~2j			p		p
					A12 + B12 + C12		A22 + B22	+ C22

Условие ортогональности для этих же двух плоскостей имеет вид

~ ~

(N1; N2) = A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0:

Если плоскость отсекает на осях координат Ox, Oy и Oz отрезки a, b и c, то ее уравнение можно записать в виде

xa + yb + zc = 1:

Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках. Чтобы записать уравнение плоскости, проходящей через три точ-

ки M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) и M3(x3; y3; z3), достаточно использо-

вать условие компланарности (смешанное произведение равно нулю)

¡!

трех векторов M1M , M1M2 и M1M3 , где M(x; y; z) произвольная

точка плоскости. Аналогично, условие компланарности трех векто-

¡!

ров M1M2 , M1M3 и M1M4 позволяет определить, лежат ли четыре

точки M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2), M3(x3; y3; z3) и M4(x4; y4; z4) в одной плоскости.

Любая прямая в пространстве может быть определена с помощью точки M0(x0; y0; z0), через которую она проходит, и направляющего

~

вектора L = (l; m; n), параллельного этой прямой. Если M(x; y; z)

¡!

любая точка на прямой, то векторы M0M = (x ¡ x0; y ¡ y0; z ¡ z0) и

~

L = (l; m; n) будут коллинеарны. Используя условие коллинеарности двух векторов, получаем уравнения прямой в пространстве:

	x ¡ x0	=	y ¡ y0	=	z ¡ z0	:	(1)
	l		m		n

Эти уравнения называют каноническими уравнениями прямой в пространстве.

51

Если в канонических уравнениях положить каждую из дробей равной t,

x ¡ x0

=

y ¡ y0

=

z ¡ z0

= t;

l

m

n

то получим параметрические уравнения прямой:

8y = y0 + mt;

>

x = x0

+ lt;

>

<z = z0

+ nt:

Условие

параллельности, перпендикулярности, а также угол

:

между прямыми

x ¡ x1

=

y ¡ y1

=

z ¡ z1

;

x ¡ x2

=

y ¡ y2

=

z ¡ z2

l1

m1

n1

l2

m2

n2

~

находятся с помощью их направляющих векторов L1 = (l1; m1; n1) и

~

L2 = (l2; m2; n2).

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей

(

	A1x + B1y + C1z + D1	= 0;	(2)
	A2x + B2y + C2z + D2 = 0:

Уравнения вида (2) называются общими уравнениями прямой в пространстве.

Большинство задач решается проще, если уравнения прямых имеют каноническую форму. Поэтому нужно уметь приводить общие уравнения прямой к каноническому виду.

Так как прямая лежит в двух плоскостях, заданных уравнениями (1), то она одновременно перпендикулярна нормальным векто-

~	~	= (A2; B2; C2) этих плоскостей. Но тогда
рам N1	= (A1; B1; C1) и N2

~
направляющий вектор L этой прямой может быть найден как век-
торное произведение нормальных векторов:
L~ = [N~1; N~2] =	¯A1 B1 C1					¯	:
	¯A		B		C	¯
	~		~		~
	i		j		k	¯
	¯	2		2	2
	¯					¯
	¯					¯
52	¯					¯

Координаты точки M0 на прямой можно получить из системы (2), полагая значение одной из координат равной конкретному значению.

П р и м е р. Найти канонические уравнения прямой

(

2x ¡ y ¡ 3z + 5 = 0;

(3)

x + y ¡ z + 1 = 0:

Р е ш е н и е. Вначале найдем точку M0(x0; y0; z)), принадлежащую прямой. Положим в (3) z = 0 и решим систему уравнений

(

2x ¡ y = ¡5; x + y = ¡1:

Ее решение x = ¡2, y = 1, и искомая точка равна M0(¡2; 1; 0). Нормальные векторы к плоскостям (3), задающим прямую, име-

~	~	= (1; 1; ¡1). Ищем направляющий вектор
ют вид N1	= (2; ¡1; ¡3), N2
прямой

L~ = [N~1; N~2] =

¯

2

1

3

¯

=

¯

1

¡1

¡1

¯

~

~

~

¯

i

j

k

¯

¯

¡

¯

=~i

¡

1

¡

3

~j

2

3

¯

+~i

2

1

¯

= 4~i

¯

1

1

¯

¡

¯

1

¡

¯

¯

¯

1

¡

¯

¡

1

1

¯

¯

¯

¯

¡

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Используя формулу (1), окончательно получаем

x + 2

=

y ¡ 1

=

z

:

4

¡1

3

~~

¡j + 3k:

Задачи для практических занятий

7.1.Плоскость отсекает на осях координат Ox, Oy и Oz отрезки a = 2, b = 3 и c = 5. Найти вектор, перпендикулярный к плоскости.

7.2. Вычислить угол между плоскостями 4x ¡ 5y + 3z ¡ 1 = 0 и x ¡ 4y ¡ z + 9 = 0.

53

7.3.Даны две точки A(1; 3; ¡2) и B(7; ¡4; 4). Через точку B провести плоскость, перпендикулярную к отрезку AB.

7.4.Записать уравнение плоскости, проходящей через данные точки

M1(1; ¡1; 2), M2(2; 1; 2) и M3(1; 1; 4).

7.5.Найти уравнение прямой, проходящей через точки M1(1; ¡2; 1) и M2(3; 1; ¡1). Записать параметрические уравнения прямой.

7.6. Найти точку пересечения прямой	x ¡ 2	=	y ¡ 1	=	z ¡ 1	с плос-
	2
костью 2x + 3y + z + 8 = 0.		3		3

7.7. Найти проекцию точки A(3; 4; 5) на плоскость 2x+3y¡z¡41 = 0.

7.8. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую					x ¡ 2	=
	y ¡ 3		z + 1	1
=		=		и точку A(3; 4; 0).
2		3

7.9. Проверить, можно ли провести плоскость через следующие четыре точки A(3; 1; 0), B(0; 7; 2), C(¡1; 0; ¡5) и D(4; 1; 5).

7.10. Проверить, можно ли провести прямую через следующие три точки A(3; 0; 1), B(3; 2; 5) и C(3; 4; 9). Если можно, то найти канонические и параметрические уравнения этой прямой.

Домашнее задание

7.11.Дан треугольник с вершинами A(¡2; 0; 1), B(1; 2; 4) и C(4; 1; 3). Записать уравнения его сторон.

7.12. Найти точку пересечения прямой	x ¡ 1	=	y + 1	=	z	с плоско-
	1
стью 2x + 3y + z ¡ 1 = 0.		¡2		6

7.13.Найти проекцию точки A(4; ¡3; 1) на плоскость x+2y¡z¡3 = 0.

7.14.Найти точку M пересечения трех плоскостей

x + 2y + 3z ¡ 1 = 0; 5x + 8y ¡ z ¡ 7 = 0; 2x ¡ 3y + 2z ¡ 9 = 0:

54

7.15.Через точку A(2; ¡7; 8) провести плоскость, параллельную плоскости 2x + 5y + 3z + 2 = 0.

7.16.Написать уравнение плоскости, если точка A(4; ¡2; 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

7.17.Проверить, лежат ли в одной плоскости точки A(2; ¡1; ¡2),

B(1; 2; 1), C(2; 3; 0) и D(5; 0; ¡6).

7.18.Выяснить, лежат ли на одной прямой точки A(2; 4; 1), B(3; 7; 5)

и C(4; 10; 9).

Ответы

1

1

1

7

7.1. N~

= µ

;

;

¶. 7.2. f = arccos

. 7.3. 6x ¡ 7y + 6z ¡ 94 = 0.

2

3

5

10

2x

y + z

5 = 0

x ¡ 1

=

y + 2 = z ¡ 1

7.4.

¡

¡

. 7.5.

2

3

¡2

. Параметри-

ческие уравнения прямой: x

= 2t + 1, y

= 3t ¡ 2, z = ¡2t + 1.

7.6. M(0; ¡2; ¡2). 7.7. M(7; 10; 3). 7.8. x¡2y+z +5 = 0. 7.9. Нельзя.

7.10. Можно провести прямую

x ¡ 3

=

y

=

z ¡ 1

. Параметриче-

0

2

4

x + 2

ские уравнения прямой: x = 3, y = 2t, z = 4t + 1. 7.11. AB:

=

3

=

y

=

z ¡ 1

; BC:

x ¡ 1

=

y ¡ 2

=

z ¡ 4

; AC:

x + 2

=

y

=

z ¡ 1

.

3

1

2

3

¡1

¡1

6

2

7.12. M(2; ¡3; 6). 7.13. M(5; ¡1; 0). 7.14. M(3; ¡1; 0). 7.15. 2x+5y + + 3z + 7 = 0. 7.16. 4x ¡ 2y + 3z ¡ 29 = 0. 7.17. Лежат в одной плоскости. 7.18. Лежат на одной прямой.

8. Пределы. Стандартные неопределенности

Неопределенности вида ³11´. При отыскании предела отно-

шения двух многочленов относительно x при x ! 1 (или n ! 1 для последовательностей) рекомендуется числитель и знаменатель разделить на наибольшую степень переменного, входящего в эти многочлены.

55

Тот же прием в некоторых случаях применим и для дробей, содержащих корни.

П р и м е р

1

x!1

2x4 ¡ x3

+ x ¡ 5

³

1´

x!1

2

3

5

2

2

1

+ 13

54

lim

x4

+ 3x2

¡ 5x + 2

=

1

= lim

1 +

x2

¡

x3

+

x4

=

1

:

¡

¡

x

x

x

П р и м е р

2

2

+ 3x + 5

2

+

3

+

5

0

x

x2

x3

lim

2x

=

1

= lim

=

= 0:

2

1

1

x!+1 x3 + 2x + 1

³1

´

x!1 1 +

+

x2

x3

П р и м е р

3

4x3 + 2x + 5

4 +

2

+

5

µ

4

¶ = 1:

1

2

3

=

x!+1

3x2 + 7x + 5

³

1´

x!1

3

+

7

+

5

0

x

x2

x3

lim

=

=

lim

x

x

П р и м е р

4

p3

+

p

p3

p

x2

x4 + 2

x

2

+

x

4

+ 2

1

lim

=

=

lim

x2

x2

=

x!+1

p3 2x6 + 10

³

1

´

x!+1

p3 2x6 + 10

r

+ r

r3

+ r

x2

=

lim

x6

x x4

lim

x4

1 + x4

1

3

x2

4 + 2

1

2

= x

= p3

:

x +

3

6 + 10

+

10

2

!

1

r

2x

!

1

r3 2 +

x6

x6

Неопределенности вида µ

0

¶. Если отношение многочленов

0

представляет неопределенность µ	0	¶ при x ! a (a конечное), то в
	0
56

числителе и знаменателе выделяют множитель x ¡ a, а затем сокращают дробь на этот множитель. В случае иррациональной неопределенности вначале переводят иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель, используя следующие формулы разности квадратов, разности или суммы кубов:

a2 ¡ b2 = (a ¡ b)(a + b);

a3 ¡ b3 = (a ¡ b)(a2 + ab + b2); a3 + b3 = (a + b)(a2 ¡ ab + b2):

П р и м е р

5

lim

x2

3x + 2

=

0

= lim

(x

2)(x

1)

= lim

x ¡ 1

=

1

:

3x2¡

5x

2

¡

¡

1

3x + 1

7

x!2

µ0¶

x!2

x!2

¡

¡

3(x ¡ 2) µx +

¶

3

П р и м е р

6

p

¡ 2

0

(p

¡ 2)(p

+ 2)

=

lim

x

3

=

= lim

x ¡ 3

x ¡ 3

x2¡

µ0¶

x!7

49

x!7

(x2

¡

49)(px

¡

3 + 2)

¡

p

x ¡ 7

= lim

x ¡ 3)2 ¡ 22

= lim

=

x!7 (x2 ¡ 49)(px ¡ 3 + 2)

x!7

(x ¡ 7)(x + 7)(px ¡ 3 + 2)

lim

1

=

1

:

П р и м е р

7

= x!7

(x + 7)(px ¡ 3 + 2)

56

3

p

0

[9 ¡ (5 + x)](1 + p

)

=

lim

5 + x

=

= lim

5 ¡ x

µ0

¶

x!4

1

¡ p5

¡

x

x!4

(3 + p5 + x)[1

¡

(5

¡

x)]

¡

1 + p

1

=

lim

5 ¡ x

=

:

П р и м е р

8

¡ x!4

3 + p5 + x

¡

3

µ

0

¶

x!8

(p3

x¡ 2)(p3 x2

+ 2p3 x + 4)

x!8

p3

x¡

2

lim

x

8

=

0

= lim

(x

8)(

x

+ 2px + 4) =

p3

2

3

¡

p3

¡

2

3

(x

8)(

x

+ 2

p

x + 4)

3

2

3

p

= lim

¡

= lim (

x + 2px + 4) = 12:

x!8

(p3 x)3 ¡ 23

x!8

57

Неопределенности вида (1 ¡ 1).

П р и м е р

9

lim (

x2

¡

5x + 6

¡

x) = (

) =

x!+1 p

1 ¡ 1

=

lim

(p

x2 ¡ 5x + 6

¡ x)(p

x2 ¡ 5x + 6

+ x)

=

x!+1

px2 ¡ 5x + 6 + x

(p

¡5x + 6

= lim

x2 ¡ 5x + 6)2 ¡ x2

=

lim

=

x!+1

px2 ¡ 5x + 6 + x

x!+1 px2 ¡ 5x + 6 + x

¡5 +

6

5

= x

lim

x

=

¡

:

2

+

5

6

!

1 r1 ¡

+

+ 1

x

x2

П р и м е р

10

lim ( 3

x3

+ 1

x) = (

) =

x!1 p

¡

1

1 ¡ 1

= xlim

p3

2

p3

2

= 0:

3

3

!1

(

x + 1)

+ x x + 1 + x

Задачи для практических занятий

8.1.	lim		2n2 + 1	.
			3n2 ¡ 1
	n!+1
8.3.	lim		n3 ¡ 100n2 + 1			:
			100n2 + 15n
	n!+1
8.5.	lim	x2 + 2x + 3			:
		2x2 ¡ 3x + 4
	x!1

8.2.	lim		1000n3 + 3n2			.
	n!+1 2n4 ¡ 10n3 + 1
8.4.	lim		(n + 2)! + 2n!		.
	n!+1 (n + 3)(n + 1)!
8.6.	lim	5x3 ¡ 7x		:
	x!1	1 ¡ 2x3

58

x + 3

8.7. lim : x!1 2x2 + 3x ¡ 4

8.9.	lim	2x2		+ 5x
	x!+1 px4 + 1 .

8.11. lim x2 ¡ 6x + 5. x!1 x2 ¡ 3x + 2

8.13. lim x2 ¡ 6x + 8 . x!2 3x2 ¡ 2x ¡ 8

8.8.

lim

x2 + x + 1

:

5x + 8

x!1

p

+ p4

8.10.

lim

x

x

x!+1 p2x + 1 .

8.12. lim

x2 ¡ 5x + 6

.

x!3 x2 ¡ 8x + 15

8.14.

lim

3x2 + 4x + 1

.

x!¡1 2x2 + x ¡ 1

2 sin2 x ¡ sin x ¡ 1

x + p

¡ 11

8.15.

lim

. 8.16.

lim

x + 1

.

2 sin

2

x ¡ 3 sin x + 1

p

x!

p

x

!

8

2

x ¡ x + 1 ¡ 5

x ¡ 4

2 ¡ p

8.17. lim

:

8.18.

lim

x ¡ 1

:

x2 ¡ 25

x!4 px2 + 9 ¡ 5

x!5

8.19.lim (px2 + 1 ¡ x). 8.20. lim (px2 + x ¡ px2 ¡ 1):

x!+1

x!+1

Домашнее задание

8.21.	lim		n2 + 1			.
	n!+1 n3 + 3n + 1
8.23.	lim			n!			.
	n!+1 (n + 1)! ¡ n!
8.25.	lim		2 ¡ 3x2		.
	x!1 x2 + 5x ¡ 6
8.27.	lim	2x ¡ 3		.
	x!1 x2 + 2

	lim		(n + 1)2
8.22.					.
	n!+1 2n2
8.24.	lim		(n + 2)! + (n + 1)!					.
	n!+1 (n + 2)! ¡ (n + 1)!
8.26.	lim	7x4 + 2x3 + 3					.
		3 ¡ 5x2		+ 2x4
	x!1
8.28.	lim	1 ¡ x + 2x4				.
	x!1	3x3 + x2 + 1

59

6p

8.29.

lim

x

x!+1 p4x + 1.

8.31. lim

x2 ¡ 9x + 14

.

x!2 x2 ¡ 7x + 10

8.33.

lim

x2 + 3x ¡ 4

.

x!¡4 2x2 + 7x ¡ 4

8.35. lim

x100 ¡ 3x50 + 2

.

x!1

p

x50 ¡ 1

¡ 4

.

8.37. lim

5x + 6

x!2

x2 ¡ 4

p3

+ p

.

8.30.

lim

x3 + 1

4x2 ¡ 1

x + 7

x!+1

8.32.

lim

x2 + 8x + 15

.

x!¡3 x2 + 14x + 33

8.34. lim

2x2 ¡ 11x + 5

.

x!5

x2 ¡ 4x ¡ 5

x + p

¡ 6

8.36.

lim

x

x!4 x ¡ px ¡ 2.

p

¡ 4

lim

16 + x

8.38.

x!0

px + 9 ¡ 3 .

8.39.lim (x ¡ px2 + x + 1). 8.40. lim (px2 + x ¡ px2 ¡ x).

x!+1

x!+1

Ответы

8.1. 23. 8.2. 0. 8.3. 1. 8.4. 1. 8.5. 12. 8.6. ¡52. 8.7. 0. 8.8. 1. 8.9. 2.

1 1 1 2 7

8.10. p2. 8.11. 4. 8.12. ¡2. 8.13. ¡5. 8.14. 3. 8.15. 3. 8.16. 5.

8.17. 54. 8.18. ¡401 . 8.19. 0. 8.20. 12. 8.21. 0. 8.22. 12. 8.23. 0. 8.24. 1.

8.25. ¡3. 8.26. 72. 8.27. 0. 8.28. 1. 8.29. 3. 8.30. 3. 8.31. 53. 8.32. 14.

8.33. 59. 8.34. 32. 8.35. ¡1. 8.36. 53. 8.37. 325 . 8.38. 34. 8.39. ¡12. 8.40. 1.

9. Первый и второй замечательные пределы

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, достаточно часто используется первый замечательный предел

lim	sin a		= lim	a	= 1:
a!0	a		a!0 sin a

60