matem

21.3. z = xxy¡ y .

21.5. z = cos2(x ¡ y).

x3 + y3

21.7. z = x2 + y2 .

21.9. z = ln(x + px2 + y2).

21.11. z = (1 + xy)y.

21.4. z = arctg xy .

21.6. z = ln sin(x ¡ 2y).

21.8. z = xy sin(x2 + y2).

21.10. z = xy.

21.12. z = (x2y)x+y.

Домашнее задание

	Найти производные	@z		и	@z	от следующих функций:
		@x			@y
	21.13. z = x3y ¡ y3x.			21.14. z = (5x2y ¡ y3 + 7)3.

21.15. z = ln(x2 + y2). 21.17. z = xy + xy .

¡x

21.19.z = e y .

21.21. z = ln(x + ln y).

21.23. z = arccos px2 ¡ y2.

21.16. z = cos(ax ¡ by).

x

21.18. z = 3y ¡ 2x.

21.20. z = xy ln(x + y).

p y

21.22. z = x y + p .

3 x

21.24. z = (xy)xy.

Ответы

21.1.

@z

= 3x2 + 6xy;

@z

= 3x2

¡3y2

. 21.2.

@z

= ¡

2x

;

@x

@y

@x

1

¡

(x2

¡

y2)2

@z

2y

@z

2

@z

2

y

x

=

.

21.3.

= ¡

;

p

=

.

@y

p

@x

(x ¡ y)2

@y

(x ¡ y)2

1 ¡ (x2 ¡ y2)2

131

21.4.

@z

= ¡

y

;

@z

=

x

.

21.5.

@z

= ¡ sin 2(x ¡ y);

@x

x2 + y2

@y

x2 + y2

@x

@z

= sin 2(x ¡ y). 21.6.

@z

= ctg (x ¡ 2y);

@z

= ¡2 ctg (x ¡ 2y).

@y

@x

@y

21.7.

@z

=

x4 + 3x2y2 ¡ 2xy3

;

@z

y4 + 3y2x2 ¡ 2yx3

. 21.8.

@z

=

@x

@y

@x

(x2 + y2)2

(x2 + y2)2

= y sin(x2 + y2) + 2yx2 cos(x2 + y2);

@z

= x sin(x2 + y2) + 2xy2 cos(x2 +

@y

1

1

+ y2). 21.9.

@z

=

;

@z

=

y

.

@x

x2 + y2

@y

x2 + y2 x + x2 + y2

21.10.

@z

=

y xy¡1

@z

=

xy ln x

21.11.

@z

=

p

y2 (1

+

@x

@x

p; @y

.

p

+

xy)y¡1;

@z

=

(1 + xy)y µln(1 + xy) +

xy

¶.

21.12.

@z

=

@y

1 + xy

@x

= (x2y)x+y µln(x2y) +

+ y)

¶;

@z

= (x2y)x+y µln(x2y) +

+ y

¶.

2(x

x

x

@y

y

21.13.

@z

= 3x2y ¡ y3

;

@z

= x3

¡ 3y2x. 21.14.

@z

= 30xy(5x2y ¡

@x

@y

@x

@z

@z

¡ y3 + 7)2

;

=

3 (5x2

¡ 3y2) (5x2y ¡ y3

+ 7)2.

21.15.

=

@y

@x

=

2x

;

@z

=

2y

.

21.16.

@z

=

¡a sin(ax ¡ by);

@z

=

x2 + y2

@y

x2 + y2

@x

@y

@z

1

y

@z

1

x

@z

= b sin(ax ¡ by). 21.17.

=

¡

;

=

¡

.

21.18.

=

@x

y

x2

@y

x

y2

@x

3y

@z

3x

@z

1

¡xy

@z

=

;

=

¡

. 21.19.

= ¡

e

;

=

(3y

2x)2

@y

(3y

¡

2x)2

@x

y

@y

¡x

=

x

e¡y . 21.20.

@z

= y ln(x + y) +

xy

;

@z

= x ln(x + y) +

xy

.

@x

x + y

@y

x + y

y2

1

1

= p

21.21.

@z

=

;

@z

=

. 21.22.

@z

y

;

y

3

@x

x + ln y @y

y(x + ln y)

@x

¡ 3x px

@z

=

x

+

1

. 21.23.

@z

=

1

x

;

@z

=

3

¡ 1 ¡ x2 + y2

@y

2py

@x

x2 ¡ y2 @y

px

=

1

y

@z

xy(ln(xy) + 1)

@z

=

.

21.24.

p= y(xy)

p

;

1 x2

+ y2

x2

¡

y2

@x

@y

xy

¡

(ln(xy) + 1)

= x(xy)

.

p

p

132

22. Частные производные второго порядка

Частные производные второго порядка @2z , @2z , @2z от функ-

@x2 @y2 @x@y

ции z = f(x; y) находятся последовательным дифференцированием:

@2z

@ @z

@2z

@ @z

@2z

@ @z

=

µ

¶;

=

µ

¶;

=

µ

¶:

@x2

@x

@x

@y2

@y

@y

@x@y

@x

@y

П р и м е р 1. Найти производные @2z , @2z и @2z от много-

члена двух переменных

@x2 @y2 @x@y

z= x5y + 3x4y2 + 3x3y3 + xy4:

Ре ш е н и е. Последовательным дифференцированием находим

@z

= 5x4y + 12x3y2 + 9x2y3 + y4;

@x

@2z

=

@

(5x4y + 12x3y2 + 9x2y3 + y4) = 20x3y + 36x2y2 + 18xy3;

@x2

@x

@z

= x5 + 6x4y + 9x3y2 + 4xy3;

@y

@2z

=

@

(x5

+ 6x4y + 9x3y2 + 4xy3) = 6x4

+ 18x3y + 12xy2;

@y2

@y

@2z

=

@

(x5

+ 6x4y + 9x3y2 + 4xy3) = 5x4

+ 24x3y + 27x2y2 + 4y3:

@x@y

@x

П р и м е р

2. Найти производные

@2z

,

@2z

и

@2z

от сложной

@x2

@y2

@x@y

функции

z = ln(sin(x2 + xy)):

133

Р е ш е н и е

@z

=

1

¢ cos(x2 + xy) ¢ (2x + y) = (2x + y) ctg (x2 + xy);

@x

sin(x2 + xy)

@x2 =

@x

µ@x¶ =

@x ¡(2x + y) ctg (x2

+ xy)¢ =

@2z

@

@z

@

= 2 ctg (x2 + xy) + (2x + y) µ¡

1

¢ (2x + y)¶ =

sin(x2 + xy)

= 2 ctg (x2 + xy) ¡

(2x + y)2

:

sin2(x2 + xy)

@z

=

1

¢ cos(x2 + xy) ¢ x = x ctg (x2 + xy);

@y

sin(x2 + xy)

=

µ

¶

=

¡

x ctg (x2 + xy)

= x µ¡

¢ x¶ =

@y2

@y

@y

@y

sin2(x2 + xy)

@2z

@

@z

@

1

= ¡

;

sin2(x2 + xy)

@2z

@

@z

@

=

µ

¶ =

¡x ctg (x2 + xy)¢ =

@x@y

@x

@y

@x

= ctg (x2 + xy) + x

µ¡

1

¢ (2x + y)¶ =

sin(x2 + xy)

= ctg (x2 + xy) ¡

2x2 + xy

:

sin(x2 + xy)

Задачи для практических занятий

Найти производные @2z , @2z и @2z от следующих функций:

@x2 @y2 @x@y

22.1. z = sin x cos y.

22.2. z = x ey.

134

22.3. z = x3(x + y)2 + xy.	22.4. z = ex(cos y + sin x).
22.5. z = xy.	22.6. z = arctg		x + y
			1 ¡ xy		.
22.7. z = cos2(x2 + y2).	22.8. z = ln p			.
		x2 + y2

Домашнее задание

Найти производные @2z , @2z и @2z от следующих функций:

@x2 @y2 @x@y

22.9. z = x2y2 + xy3 + x3y.

22.10. z =

x2

.

1 ¡ 2y

22.11. z =

x ¡ y

.

22.12. z = x + y +

xy

.

x ¡ y

x + y

22.13. z = sin(x3 + y3).

22.14. z = cos(x2y2).

22.15. z = sin2(3x + 5y).

22.16. z = ex ey .

1

22.17. z = arctg x + arctg y.

22.18. z =

p(x2 + y2)3.

3

Ответы

@2z

@2z

@2z

22.1.

= ¡ sin x cos y;

= ¡ sin x cos y;

= ¡ cos x sin y.

@x2

@y2

@x@y

22.2.

@2z

= 0;

@2z

= x ey

;

@2z

= ey. 22.3.

@2z

= 20x3 + 24x2y +

@x

2

@y

2

@x@y

2

@x

+ 6xy2

;

@2z

= 2x3;

@2z

= 8x3 + 6x2y + 1. 22.4.

@2z

= ex(cos y +

@y2

@x@y

@x2

+ 2 cos x);

@2z

= ¡ ex cos y;

@2z

= ¡ ex sin y. 22.5.

@2z

= y(y ¡

@y2

@x@y

@x2

@2z

= xy ln2 x;

@2z

= xy¡1(y ln x + 1).

@2z

¡ 1)xy¡2;

22.6.

=

@y2

@x@y

@x2

135

= ¡

2x

;

@2z

= ¡

2y

;

@2z

= 0. 22.7.

@2z

= ¡2 sin 2(x2+

(1 + x2)2

@y2

(1 + y2)2

@x@y

@x2

+ y2) ¡ 8x2 cos 2(x2 + y2);

@2z

= ¡2 sin 2(x2 + y2) ¡ 8y2 cos 2(x2 + y2);

@y2

@2z

=

8xy cos 2(x2 + y2)

@2z

=

y2 ¡ x2

@2z

=

@x@y

¡

.

22.8.

@x2

(x2 + y2)2 ;

@y2

=

x2 ¡ y2

@2z

=

2xy

@2z

= 2y2 + 6xy

(x2 + y2)2 ;

@x@y

¡(x2 + y2)2

. 22.9.

@x2

;

2

@2z

= 2x2 + 6xy;

@2z

= 4xy + 3(x2

+ y2). 22.10.

@2z

=

;

@y2

@x@y

@x2

1

¡

2y

2

z

2

@

2

z

4x

@

2

z

@

=

8x

;

=

. 22.11.

= ¡

4y

;

@y2

(1

¡

2y)3

@x@y

(1

¡

2y)2

@x2

(x + y)3

2

z

@

2

z

2

z

2y

2

2

z

@

=

4x

;

= 2

x ¡ y

. 22.12.

@

=

;

@

=

@y

2

(x + y)3

@x@y

(x + y)3

@x2

(x

¡

y)3

@y2

2x2

@2z

2xy

@2z

=

;

=

¡

.

22.13.

=

6x cos(x3

+ y3) ¡

(x

¡

y)3

@x@y

(x

¡

y)3

@x2

@2z

@2z

¡ 9x4 sin(x3 + y3);

= 6y cos(x3 + y3) ¡ 9y4 sin(x3 + y3);

=

@y2

@x@y

= ¡9x2y2 sin(x3 + y3). 22.14.

@2z

= ¡2y2 sin(x2y2) ¡ 4x2y4 cos(x2y2);

@x2

@2z

=

¡2x2 sin(x2y2) ¡ 4y2x4 cos(x2y2);

@2z

=

¡4xy sin(x2y2) ¡

@y2

@x@y

¡ 4x3y3 cos(x2y2). 22.15.

@2z

= 18 cos(6x + 10y);

@2z

= 50 cos(6x +

@x2

@y2

+ 10y);

@2z

= 30 cos(6x+10y).

22.16.

@2z

= e2y ex ey ;

@2z

=

@x@y

@x2

@y2

=

x(x ey + 1) exey+y;

@2z

=

(1 + x ey) ex ey+y.

22.17.

@2z

=

@x@y

2

@x

= ¡

2x

@2z

= ¡

2y

@2z

= 0. 22.18.

@2z

=

2x2 + y2

;

;

;

(1 + x2)2

@y2

(1 + y2)2

@x@y

@x2

2

2

@2z

=

2y2 + x2

@2z

=

xy

px + y

@y2

p

;

@x@y

p

.

x2 + y2

x2 + y2

136

23. Дифференциал функции многих переменных

Функция u = f(x; y), заданная в области G плоскости R2, называется дифференцируемой в точке M(x; y) 2 G, если ее полное приращение (приращение по всем переменным)

¢f(x; y) = f(x + ¢x; y + ¢y) ¡ f(x; y)

может быть представлено в виде

¢f(x; y) = A ¢ ¢x + B ¢ ¢y + a(¢x; ¢y) ¢ ¢x + b(¢x; ¢y) ¢ ¢y;

где A, B некоторые постоянные, а

lim a(¢x; ¢y) = 0;	lim b(¢x; ¢y) = 0:
¢x!0	¢x!0
¢y!0	¢y!0

При этом A ¢ ¢x + B ¢ ¢y называется дифференциалом функции u = f(x; y) в точке (x; y) и обозначают

du = df(x; y) = A ¢ ¢x + B ¢ ¢y:

(12)

Имеет место следующая формула первого дифференциала.

Если функция u = f(x; y) дифференцируема в точке (x; y) области G, то ее дифференциал в этой точке представим по формуле

	df(x; y) =	@f	dx +	@f	dy:	(13)
		@x		@y

Напомним правила дифференцирования в дифференциалах.

Правила дифференцирования в дифференциалах

	1)	d(u + v) = du + dv;		2)	d(uv) = vdu + udv;
	3)	d(cu) = c du; c		4)	d	u			=	vdu ¡ udv	;
			– постоянная,			³v		´		v2
	5)	df(u(x; y)) = fu0 ¢ du(x; y):

137

П р и м е р 1. Найти дифференциал функции

u = arctg

x + y

:

1 + xy

Р е ш е н и е. Найдем сначала частные производные

@x = 1 +

(x + y)2

¢ @x µ

1 + xy ¶

=

@u

1

@

x + y

(1 + xy)2

=

(1 + xy)2

1 + xy ¡ y(x + y)

=

1 ¡ y2

:

(1 + xy)2 + (x + y)2 ¢

(1 + xy)2 + (x + y)2

(1 + xy)2

Функция u = arctg	x + y	симметрична по переменным x и y (не
	1 + xy

меняет вида, если поменять местами эти переменные). Но тогда и частная производная по переменной y получается из предыдущей производной перестановкой местами переменных x и y:

@u

=

1 ¡ x2

:

(1 + xy)2 + (x + y)2

@y

Окончательно имеем

du =

@u

dx+

@u

dy =

1 ¡ y2

dx+

1 ¡ x2

dy:

(1 + xy)2 + (x + y)2

(1 + xy)2 + (x + y)2

@x

@y

П р и м е р 2.

Вычислить дифференциал функции

u = ln

y

:

x

Р е ш е н и е. Вычисляем дифференциал по формуле (13), полу-

чаем, что

@x

x

¢ ³¡x2

´

¡x

@u

1

y

1

=

=

;

y

@u

1

1

1

=

¢

=

;

@y

y

x

y

x

du = @u@x dx + @u@y dy = ¡x1 dx + y1 dy:

138

Этот же дифференциал можно вычислить, используя правила дифференцирования в дифференциалах,

du = d ln

y

=

x

d

y

=

x

¢

xdy ¡ ydx

=

1

dx +

1

dy:

y

x2

x

y x

¡x

y

Дифференциалы высших порядков определяются с помощью следующих соотношений

d2u = d(du); d3u = d(d2u) и т. д.

П р и м е р 3. Вычислить второй дифференциал от функции

u = x3 + y3 ¡ 3x2y + 3xy2:

Заметим, что при вычислении дифференциалов высших порядков в случае независимых переменных x и y величины dx и dy считаются постоянными.

Р е ш е н и е. Вычислим вначале первый дифференциал

		@u	=	3x2 ¡ 6xy + 3y2;		@u	= 3y2 ¡ 3x2 + 6xy;
		@x				@y
	@u			@u
du =		dx +			dy = (3x2 ¡ 6xy + 3y2)dx + (3y2 ¡ 3x2 + 6xy)dy:
	@x			@y

Для вычисления второго дифференциала воспользуемся правилами дифференцирования в дифференциалах.

d2u = d(du) = d(3x2 ¡ 6xy + 3y2) ¢ dx + d(3y2 ¡ 3x2 + 6xy) ¢ dy = = ¡(6x ¡ 6y)dx + (6y ¡ 6x)dy¢dx + ¡(6y ¡ 6x)dx + (6y + 6x)dy¢dy = = (6x ¡ 6y)dx2 + 2(6y ¡ 6x)dxdy + (6y + 6x)dy2;

где dx2 = (dx)2 и dy2 = (dy)2.

Для вычисления второго дифференциала от функции u = f(x; y) независимых переменных x и y часто используют формулу

	d2u =	@2u	dx2	+ 2	@2u	dxdy +	@2u		dy2	:
		@x2			@x@y		@y2

139

Для функции u = x3 + y3 ¡ 3x2y + 3xy2 имеем

	@u		= 3x2 ¡ 6xy + 3y2;			@u			= 3y2 ¡ 3x2 + 6xy;
	@x						@y
@2u			= 6x ¡ 6y;	@2u		= 6y + 6x;				@2u	= 6y ¡ 6x;
@x2				@y2						@x@y

	d2u =	@2u		dx2	+ 2	@2u	dxdy +	@2u		dy2	=
		@x2				@x@y		@y2

= (6x ¡ 6y)dx2 + 2(6y ¡ 6x)dxdy + (6y + 6x)dy2:

Задачи для практических занятий

Применяя формулы

dz =

@z

dx +

@z

dy;

d2z =

@2z

dx2

+ 2

@2z

dxdy +

@2z

dy2

;

@x

@y

@x2

@x@y

@y2

найти дифференциалы dz и d2z от следующих функций (x и y независимые переменные):

23.1. z = 2x2 ¡ xy ¡ 5y2 + 2x.

23.3. z = cos(5x + 3y).

23.5. z = xx ++ y1 .

23.2. z = x5 + xy + y5.

23.4. z = x sin y + y cos x.

23.6. z = xxy+ y .

Дифференциалы dz и d2z от следующих функций (x и y независимые переменные) найти с помощью правил дифференцирования в дифференциалах:

23.7. z = sin(x2 + y2).	23.8. z = cos(y ex).
23.9. z = arctg (xy).	23.10. z = ln(xy).
140