matem

= sin2 x + 2x sin x cos x + x2 cos2 x ¡ 2x sin x cos x + x2 sin2 x = (sin x + x cos x)2

x2 + sin2 x

= (sin x + x cos x)2 :

Задачи для практических занятий

11.1. y = x ctg x.

11.3. y = x7 ex.

ex

11.5. y = 2x¡2 .

11.7. y = x3 ln x ¡ x3 .

3

x

11.9. y = x log2 x ¡ ln 2.

11.11. y = (x4 + 1) ex cos x.

11.13. y =

11.15. y =

11.17. y =

11.19. y =

2x + 1. cos x

3x5

1 + ex .

1 + x ¡ x2

1 ¡ x + x2 .

x sin x . 1 + sin x

11.2. y = x arcsin x.

11.4. y = (x2 ¡ 3x ¡ 1)2x.

11.6. y = ex cos x.

11.8. y = (1 + x2) arctg x ¡ x.

2

11.10. y = 2x sin x ¡ x2 cos x.

11.12. y = (x2 + 1) cos x arcctg x.

11.14. y = 5x2 . ln x

11.16. y = 10tgxx.

11.18. y = sin x + cos x. sin x ¡ cos x

xex

11.20.y = 1 + ex .

71

Домашнее задание

11.21. y = x2 sin x.

11.23. y = 6x ln x.

11.22. y = x2 log6 x.

11.24. y = (x2 + 1) arcctg x.

11.25.y = x3(arccos x + arcsin x).

11.26.y = ex( arctg x + arcctg x).

11.27. y = x( tg x ¡ ctg x).
11.29. y = x3 ex arcctg x.
11.31. y =	x3 + 1
					.
	x3 ¡ 1
11.33. y =		3 cos x
						.
		1	+ sin x
11.35. y =	(x2 + 1) arctg x							.
					x3
11.37. y =	2		+ ex		.
	2		¡ ex
11.39. y =			2x
				.
		1	+ 2x

11.28. y = x2 sin x tg x.

11.30. y = x cos x arcsin x.

11.32. y = 2lncosxx. p

11.34.y = px +x 1. x ln x

11.36.y = 2(1 + x2).

11.38. y = 32tgxx.

x2 ctg x

11.40. y = x2 + 1 .

Ответы

x

x

11.1. ctg x ¡

. 11.2. arcsin x +

p

. 11.3. ex(x7 + 7x6).

sin2 x

2

1 ¡ x

ex

11.4.

2x (x2 ln 2 + (2 ¡ 3 ln 2) x ¡ ln 2 ¡ 3).

11.5.

(x2 + 2x).

2

11.6.

e

x (cos x

¡

sin x)

.

11.7.

3x2 ln x

. 11.8.

x arctg x.

11.9.

2

e

x

4

+

log2 x.

11.10.

(x

+ 2) sin x.

11.11.

((x

+ 4x3 + 1) cos x ¡ (x4

+

1) sin x).

11.12.

(2x cos x ¡ (x2

+

72

+

1) sin x) arcctg x

¡

cos x.

11.13.

2 cos x + (2x + 1) sin x

.

cos2 x

11.14. 5

2x ln x ¡ x

. 11.15. 3

5x4 + ex(5x4 ¡ x5)

.

11.16.

2x ¡ sin 2x

.

ln2 x

(1 + ex)2

20x2 cos2 x

11.17.

2(1 ¡ 2x)

. 11.18.

2

. 11.19.

sin2 x + sin x + x cos x

.

sin 2x ¡ 1

(1x¡ x + x2)2 x

)

(1 + sin x)2

11.20.

e

(1 + x + e

. 11.21. 2x sin x + x2 cos x. 11.22. 2x log6 x +

(1 + ex)2

x

+

6 (ln x

+

1).

2x arcctg x

1.

.

11.23.

11.24.

¡

ln 6

11.25.

3x2 (arccos x

+

arcsin x).

11.26.

ex ( arctg x

+

+

arcctg x). 11.27.

4x

¡ 2 ctg 2x.

11.28.

x

(2 sin2 x

+

sin2 2x

cos x

+

x sin x cos x +

x tg x).

11.29.

x2 ex µ(x + 3) arcctg x ¡ 1 + x2

¶.

x

(cos x

x sin x) arcsin x

+

x cos x

¡6x2

11.30.

¡

p1

¡

x2 .

11.31.

(x3 ¡ 1)2 .

11.32.

cos x + x sin x ln x

. 11.33. ¡

3

. 11.34.

1

.

2p

(p

+ 1)2

2x cos2 x

1 + sin x

x

x

x

¡ x x4

2

µ

1 + x2

(1 + xx )

¶

11.35.

1

x2

+ 3

arctg x.

11.36.

1

1

+

(1 ¡ x2) ln x

.

3

2

2

11.37.

4 e

.

11.38.

3(2x ¡ sin 2x)

.

11.39.

2

ln 2

.

(1 + 2x)2

(2 ¡ e

x 2

4x2 cos2 x

)

4

2

2

11.40.

2x ctg x ¡ (x + x )(1 + ctg

x)

.

(x2 + 1)2

12. Дифференцирование сложной функции

Формула дифференцирования сложной функции имеет вид

¡f(u(x)¢0 = fu0 ¢ u0:

В частности, если u = u(x), то

73

1)

(un)0 = nun¡1

¢

u0

,

9)

( ctg u)0 = ¡

1

¢ u0,

sin2 u

2)

(au)0 = au ln a ¢ u0,

1

3)

( eu)0 = eu

¢

u0,

10)

(arcsin u)0

=

u0

,

p1 ¡ u2

¢

1

4)

(loga u)0

=

¢ u0,

u ln a

11)

(arccos u)0

= ¡

p

1

¢ u0

,

1

2

5)

(ln u)0 =

¢ u0,

1 ¡ u

u

6)

(sin u)0

= cos u

¢

u0

,

12)

( arctg u)0 =

1

¢ u0,

(cos u)0

1 + u2

7)

= ¡ sin u ¢ u0,

1

8)

( tg u)0

=

1

¢ u0,

13)

( arcctg u)0

= ¡

¢ u0.

cos2 u

1 + u2

П р и м е р

1.

Найти производную функции

y= (x2 ¡ 2x + 3)5:

Ре ш е н и е. Полагая y = u5, где u = x2 ¡2x+3, имеем, согласно 1-й формуле из таблицы производных

y0 = 5u4 ¢ u0 = 5(x2 ¡ 2x + 3)4(2x ¡ 2):

П р и м е р 2. Найти производную функции

y= sin3 4x:

Ре ш е н и е. Применяем дважды правило дифференцирования сложной функции

y0 = (sin3 4x) = 3 sin2 4x(sin 4x)0 = 3 sin2 4x cos 4x(4x)0 =

= 12 sin2 4x cos 4x:

Дифференцирование степенно-показательной функции y = u(x)v(x)

74

сводится к дифференцированию сложной показательной функции по формуле

y= u(x)v(x) = ev(x) ln u(x):

Пр и м е р 3. Найти производную функции

y= (cos x)sin x:

Ре ш е н и е. Преобразуем функцию, используя определение логарифма и его свойства

y = (cos x)sin x = eln(cos x)sin x = esin x ln cos x:

Вычисляем производную

y0 = ¡(cos x)sin x¢0 = ¡esin x ln cos x¢0 =

= esin x ln cos x µcos x ln cos x + sin x µ¡ sin x ¶¶ = cos x

= (cos x)sin x(cos x ln cos x ¡ sin x tg x):

Задачи для практических занятий

Вычислить первую производную следующих функций:

1

2

3

12.1. y =

(1 + 3x ¡ 7x2)20.

12.2. y = µ

3x + 4

¶

.

20

5

4

12.3. y = p1 ¡ 3x + x2.

12.4. y = p1 + 3x2.

12.5. y = (2x + 3 cos x)5.

12.6. y = sin2 x

12.7. y = p

.

12.8. y = p

2 ctg x

2x + 2x

75

12.26. y =

12.28. y =

1

12.9. y = tg 2x.

12.11. y = arcsin ex.

12.13. y = (x2 + 1) e2x.

15

12.15. y = ex3 .

12.17. y = (x5 + 2) cos 5x.

12.19. y = arccos px + 1.

12.21. y = arcctg (3 ln x).

12.23. y = earccos x.

cos 7x

12.25. y = e¡5x .

12.27. y = e5x . cos 4x

1

12.10. y = arctg 2x.

12.12. y = x3 cos 3x.

12.14. y = arccos(5x).

12.16. y = ln(sin x).

12.18. y = (sin x)x.

12.20. y = p3 ln x + 5x2.

12.22. y = (x2 + 1) arctg 2x.

12.24. y = ln(x2 ¡ ctg x).

x + sin 2x.

e15x

sin3 x ln3 x .

Домашнее задание

12.29. y = sin 2x.				12.30. y =	tg p3x.
12.31. y = ln(ln x).				12.32. y =	ctg ( tg x).
12.33. y = 10 e¡x.	+ px + x			12.34. y =	83x+5.
12.35. y = cos µx				¶. 12.36. y =	µ3 + 1 + 8x¶		.
3			1			x2	10

76

12.37. y = cos2 x.

12.38. y = tg (x2 + 1).

1

x

12.40. y = ln tg x.

12.39. y =

arctg

.

2

2

12.41. y = e2x(cos 3x + sin 3x). 12.42. y = ex3 sin x3.

12.43. y = p

arcsin x ¡ x. 12.44. y = arcctg (x ln x).

1 ¡ x2

1

12.46. y = µ

x2

+

1

¶

2

12.45. y = xx .

.

x2

¡

1

Ответы

12.1.		(1				+ 3x						¡ 7x2)19(3													¡ 14x).							12.2.							18x				µ	3x2 + 4												¶	2	.
																																							5										5
12.3.		p			2x ¡ 3								. 12.4.													3x						. 12.5. 5(2x + 3 cos x)4(2 ¡
																						4
											2																		2	3
		2 1 ¡ 3x + x																		2					(1 + 3x )											.	12.8.							2 + 2								x		ln 2 .
	3 sin x)										sin 2x							12.7.											1
		.			12.6.												.					p
¡																									¡sin2 x p							2 ctg x												2p2x + 2x
				2 cos x																									2																						ex
12.9.		¡						.			12.10.									¡													.				12.11.								p													.
					sin3 x																		(1 + x2) arctg 3x
																																																			1x¡ e2x
12.12. 3x2(cos 3x¡x sin 3x). 12.13. 2 e2x(x2+x+1). 12.14. ¡																																														p5						ln 5 x						.
12.15. ¡45x2 e¡x										3																																							1 ¡ 25
											. 12.16. ctg x. 12.17. 5(x4 cos 5x ¡ (x5 + 2) sin 5x).
12.18.					(sin x)x (ln sin x +																			x ctg x).								12.19.					¡						p						1			p						.
											10x			2		+ 3																									2			x + 1											¡x
12.20.																						.							12.21.																				3									.
							2xp																																¡
																																										x(1 + 9 ln2 x)
												3 ln x + 5x2
12.22.					2 (x arctg 2x												+			arctg x).									12.23.								¡	p			1									e arccos x.
																																												2
					2x + 1 + ctg												2x																							1 ¡ x
12.24.																			.			12.25.									e5x (5 cos 7x												¡						7 sin 7x).
						x2			¡ ctg						x
																																		e	5x		(5 cos 4x + 4 sin 4x)
12.26.			2 cos 2x ¡ 15(x + sin 2x) + 1																									.	12.27.																													.
												e15x																											cos2 4x
12.28.		3 sin2 x(x cos x ln x ¡ sin x)																								. 12.29.						2 cos 2x.12.30.																				p						.
											x ln4 x																																				3 cos						2 px
																																																								3
																																																								77

12.31.		1				. 12.32.					¡		1								.				12.33.		¡10 e¡x.
		x ln x										sin2( tg x) cos2 x
12.34. 9 ¢83x+5 ¢ln 2. 12.35. ¡ µ3x2 + 2px																		¡ x2				¶sin µx3 + px + x¶.
													1					1											1
12.36.					20x(x2 + 24x + 3)9(4x + 1)									.								12.37.					¡ sin 2x.
									(1 + 8x)11
12.38.						2x				.	12.39.							1	.						12.40.		2						.
			cos2(x2 + 1)												x2 + 4									x3						sin 2x
12.41.	e	2x		(5 cos 3x ¡ sin 3x). 12.42.														3x		2		e			(sin x	3	+ cos x					3
																																1).
				x				arcsin x					ln x + 1														1 ¡ ln x				xx
12.43. ¡p1				¡		x2					. 12.44. ¡		1 + x2 ln2 x. 12.45.														x2						.
12.46. ¡	8x(x				2	+ 1)			.
		(x ¡ 1)3

13. Повторное дифференцирование

Производная n-го порядка функции f(x) в точке x 2 (a; b) при любом n ¸ 1 определяется по индукции

³ ´0 f(n)(x) = f(n¡1)(x) ;

где f(0)(x) ´ f(x).

Прежде, чем перейти к вычислению следующей производной, рекомендуется максимально упростить предыдущую производную.

П р и м е р 1. Найти вторую производную от функции

p

y = ln(x + 1 + x2):

Р е ш е н и е. Вычислим вначале первую производную

y0 = x + p11 + x2 (x + p1 + x2)0 =

µ ¶

= x + p11 + x2 1 + 2p11+ x2 (1 + x2)0 =

78

1

1

p

+ x

x

1 + x2

=

x + p

µ1 + p

¶ =

x + p

p

=

1 + x2

1 + x2

1 + x2

1 + x2

= p

1

= (1 + x2)¡31 :

2

1 + x

Затем вычисляем вторую производную

1

0

4

y00 = Ã(1 + x2)¡3

! = ¡2(1 + x2)¡3 (1 + x2)0 = ¡ (1 + x2)3 :

1

x

p

Иногда при вычислении последующих производных используют вычисленные ранее предыдущие производные.

П р и м е р 2. Найти вторую производную от функции

	y = xx:
Р е ш е н и е
y0	= (xx)0 = ( ex ln x)0 = ex ln x(x ln x)0		= xx(ln x + 1);
y00	= (xx(ln x + 1))0 = (xx)0(ln x + 1) + xx(ln x + 1)0 =
= xx(ln x + 1)(ln x + 1) + xx x = xx µ(ln x + 1)2 + x¶					:
	1		1

Задачи для практических занятий

Найти производные второго порядка от следующих функций:

13.1. y = cos2 3x.

13.3. y = (1 + 9x2) arcctg 3x.

13.2. y = arctg 2x.

13.4. y = arcsin 2x.

79

13.5. y = 2x2 .

13.7. y = ln tg x2 .

13.9. y = (sin x)sin x.

13.11. y = arctg (cos 2x).

13.6. y = ecos 5x.

13.8. y = lg cos 2x.

13.10. y = p1 + sin 2x.

13.12. y = ctg 3x.

Домашнее задание

Найти производные второго порядка от следующих функций:

13.13. y = sin2 5x.

13.15. y = (1 + 4x2) arctg 2x.

13.17. y = 3x3 .

13.19. y = ln ctg x2 .

13.21. y = (cos x)cos x.

13.23. y = arctg (sin 3x).

13.14. y = arcctg 3x.

13.16. y = arccos 4x.

13.18. y = esin 3x.

13.20. y = lg sin 2x.

13.22. y = p1 + cos 2x.

13.24. y = tg 2x.

Ответы

13.1. ¡18 cos 6x. 13.2. ¡

16x

. 13.3. 18

µarcctg 3x ¡

3x

¶.

(1 + 4x2)2

1 + 9x2

13.4.

8x

.

13.5.

2 ln 2 ¢

2x

2

(1 +

2x2 ln 2).

(1 ¡ 4x2)3

cos 5x

2

cos x

4

13.6. 25 ep

(sin

5x ¡ cos 5x). 13.7. ¡

sin2 x

. 13.8. ¡

cos2 2x ln 10

.

sin x

2

2

sin x +

13.9.

(sin x)

(cos x ctg x + cos

x(ln sin x + 1)

¡ sin x(ln

2

p

4 cos 2x(2 + sin

2x)

+ 1)).

13.10.

¡ 1 + sin 2x.

13.11.

¡

.

(1 + cos2 2x)2

80