matem

Откуда получаем

sin

2

1

j sin xj <

1

p

+ k

p

p

p

; k 2 Z:

x < 4;

2;

¡6

< x < 6

+ k

На интервалах ¡

p

p

p

p

; k 2 Z ряд сходится. На границе

6

+k

< x <

6

+k

p

p

2

1

этих интервалов x = §

6 + k

имеем sin

x =

4

, и ряд принимает вид

1

1

X

(¡1)n n:

n=1

Он сходится по признаку Лейбница. Следовательно, ряд сходится на промежутках

¡	p	+ k	p	· x ·	p	p	; k 2 Z:
	6				6	+ k

Степенной ряд это частный случай функционального ряда. Он играет важную роль в приложениях.

Степенным рядом называется ряд вида

X1

an xn = a0 + a1x + a2x2 + ¢ ¢ ¢ + anxn + ¢ ¢ ¢ ;

n=0

где a0; a1; a2; : : : ; an; : : : – постоянные числа, называемые коэффициентами степенного ряда.

Часто рассматриваются степенные ряды более общего вида

X1

an (x¡x0)n = a0 +a1(x¡x0)+a2(x¡x0)2 +¢ ¢ ¢+an(x¡x0)n +¢ ¢ ¢ ;

n=0

где x0 фиксированная точка.

Для всякого степенного ряда существует интервал сходимости

jx ¡ x0j < R, иначе ¡R + x0				< x < R + x0, внутри которого ряд
сходится, а вне расходится. Число R называют радиусом сходимости.
Радиус сходимости может быть найден по формулам
	¯	an	¯				1
	¯		¯				p
lim	¯an+1		¯	или	R =
R = n!1						lim	n	j	an	:
	¯		¯		n!1					j
										181

П р и м е р 3. Найти радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда

1

5 ¢ 4n

xn

:

n=1 5n

¡

2

X

Р е ш е н и е. Найдем радиус сходимости

lim

an

= lim

4n(5n + 3)

=

1

lim

5n + 3

=

1

:

¯an+1

¯

(5n

2)4n+1

5n

2

4

R = n!1

n!1

¡

4 n!1

¡

¯

¯

¯

¯

Интервал сходимости¯ ¯

ряда есть

1

или

1

1

jxj <

¡

< x <

:

4

4

4

Проведем исследование на границе интервала сходимости.

1

Подставим в ряд x =

. Получится числовой знакоположитель-

4

ный ряд

1

5

. Сравним его с гармоническим рядом

1

1

, ко-

n=1

5n

¡

2

n=1

n

X

5

1

X

торый расходится (p = 1):

>

. Следовательно, данный ряд

5n ¡ 2

1

n

расходится, x =

не входит в область сходимости.

4

1

Подставим x = ¡

. Получится числовой знакочередующийся ряд

4

1

5

(¡1)n

, который сходится по признаку Лейбница.

5n

¡

2

n=1

1

1

X

Итак, область сходимости степенного ряда есть ¡4 · x < 4.

Если функция f(x) допускает в окрестности точки x = 0 разложение в степенной ряд по степеням x, то этот ряд имеет вид

f(x) = f(0) + f0(0)x +	f00(0)		x2 +	f000(0)	x3 + ¢ ¢ ¢ +	f(n)(0)	xn + ¢ ¢ ¢ :
	2!			3!		n!

Однако на практике при разложении функций в степенной ряд чаще используют основные разложения элементарных функций (в скобках указаны интервалы сходимости этих рядов):

182

x2

x3

xn

I. ex = 1 + x +

+

+ ¢ ¢ ¢ +

+ ¢ ¢ ¢

(¡1 < x < +1).

2!

3!

n!

x3

x5

x2n+1

II. sin x = x ¡

+

¡ ¢ ¢ ¢ + (¡1)n

+ ¢ ¢ ¢

3!

5!

(2n + 1)!

(¡1 < x < +1).

x2

x4

x2n

III. cos x = 1 ¡

+

¡ ¢ ¢ ¢ + (¡1)n

+ ¢ ¢ ¢

(¡1 < x < +1).

2!

4!

(2n)!

x2

x3

x4

xn

IV. ln(1 + x) = x ¡

+

¡

+ ¢ ¢ ¢ + (¡1)n¡1

+ ¢ ¢ ¢

2

3

4

n

a(a ¡ 1)

(¡1 < x · 1).

V.

(1 + x)a = 1 + ax +

x2 +

¢ ¢ ¢

+

2!

+a(a ¡ 1) ¢ ¢ ¢ (a ¡ n + 1)xn +

( 1 < x < 1)

.

n!

¢ ¢ ¢

¡

VI.

1

= 1 + x + x2 + x3 + ¢ ¢ ¢ + xn + ¢ ¢ ¢

(¡1 < x < 1).

1 ¡ x

VII.

1

= 1 ¡ x + x2 ¡ x3 + ¢ ¢ ¢ + (¡1)nxn + ¢ ¢ ¢

(¡1 < x < 1).

1 + x

П р и м е р

4. Разложить по степеням x функцию

f(x) =

3

:

(1 ¡ x)(1 + 2x)

Р е ш е н и е. Используя метод неопределенных коэффициентов

	разложим функцию на простейшие дроби:
		3		=	A		+	B	;
	(1 ¡ x)(1 + 2x)				1 ¡ x			1 + 2x
	A(1 + 2x) + B(1 ¡ x) = 3; (2A ¡ B)x + A + B = 3;
		2A ¡ B = 0;			A = 1; B = 2:
	( A + B = 3;

183

n=0

X1

Итак, разложение функции на простейшие дроби имеет вид

f(x) =	1	+	2	:
	1 ¡ x		1 + 2x

Используя разложения VI и VII геометрических прогрессий, получаем, что

		1	= 1 + x + x2 + ¢ ¢
		1 ¡ x
1		= 1 ¡ 2x + (2x)2 ¡ ¢ ¢ ¢
	1 + 2x
Окончательно
1			1

f(x) = X xn + 2 X(¡1)n2nxn =

¢ = X1 xn;

= (¡1)n2nxn:

n=0

X1

[1 + (¡1)n2n+1]xn:

n=0

n=0

n=0

Первая геометрическая прогрессия сходится при jxj < 1, вторая при jxj < 12. Следовательно, разложение функции f(x) в ряд спра-

ведливо при jxj < 12, т. е. при ¡12 < x < 12.

П р и м е р 5. Разложить по степеням x функцию

f(x) = 2x:
Р е ш е н и е. Используя разложение I, получаем
		(x ln 2)2				(x ln 2)3
f(x) = 2x = ex ln 2 = 1 + x ln 2 +					+			+ ¢ ¢ ¢ =
				2!			3!
X	lnn 2
1
=	n!			xn:
n=0

Разложение справедливо при любых x, ¡1 < x < +1.

П р и м е р 6. Разложить по степеням x функцию

f(x) = cos2 x:

184

Р е ш е н и е. Используем разложение III:

f(x) = cos2 x =

1

(1 + cos 2x) =

µ1 + 1 ¡

2

1

(2x)2

(2x)4

(2x)2n

=

+

¡ ¢ ¢ ¢ + (¡1)n

2

2!

4!

(2n)!

2x2

23x4

22n¡1x2n

= 1 ¡

+

¡ ¢ ¢ ¢ + (¡1)n

+

2!

4!

(2n)!

1

22n¡1x2n

= 1 +

X

(¡1)n

:

n=1

(2n)!

Ряд сходится при ¡1 < x < +1.

¶

+ ¢ ¢ ¢ =

¢ ¢ ¢ =

Задачи для практических занятий

Найти область сходимости функционального ряда

1	(¡1)n		1 ¡ 2x n		1	sinn x
X		µ		¶ .	X
30.1. n=1	2n + 1		1 + x		30.2. n=1	n	.

Найти радиус сходимости, интервал сходимости степенного ряда:

30.3. X1 10n xn. n=1 2n + 1

30.5. X1 3n + 1xn. n!

n=1

30.4. X1 (¡1)n xn . n ¢ 2n

n=1

30.6. X1 2nn! (x ¡ 2)n.

n=1

Пользуясь известными разложениями элементарных функций, написать разложение в степенной ряд относительно x следующих функций:

30.7. f(x) = ch x.

30.8. f(x) = sin2 x.

185

r

30.9. f(x) = ln 1 ¡ x. 1 + x

1

30.11. f(x) = x2 + x ¡ 2.

30.10. f(x) = p11+ x.

2x + 3 30.12. f(x) = x2 + 3x + 2.

Домашнее задание

Найти область сходимости функционального ряда

1

(¡1)n

1

+ x

n

1

cosn x

X

µ

¶ .

X

¡

1

1

¡

x

n .

30.13. n=1 2n

30.14. n=1

Найти радиус сходимости, интервал сходимости степенного ряда:

1		xn				1
X		¢				X	n ¢ 3nxn.
30.15.	n			10n	.	30.16.
n=1						n=1
1	5n					1		(n!)2
X			(x + 1)n.			X			xn.
30.17.	n					30.18.		(2n)!
n=1						n=1

Пользуясь известными разложениями элементарных функций, написать разложение в степенной ряд относительно x следующих функций:

30.19. f(x) = sh x.			30.20. f(x) = e¡x2 .
30.21. f(x) = 3x.			30.22. f(x) = sin 2x.
30.23. f(x) = ln(1 ¡ x2).			30.24. f(x) = p3			.
					1 + x
1					x + 5
30.25. f(x) =		.	30.26. f(x) =				.
	x2 ¡ 7x + 12			x2 + 4x + 3

186

Ответы

0 · x < 2. 30.2. x 6=

p

p

30.3. R =

1

30.1.

,

k

2 Z.

10,

2

+ 2k

1

1

.

30.4. R =

2, ¡2

< x · 2.

30.5. R =

+1,

¡

· x <

10

10

1

x2n

¡1 <

x

<

+1.

30.6.

R

=

0, x

=

2.

30.7.

X

,

n=0

(2n)!

( x < + )

1

( 1)n¡1 22n¡1x2n

( x < + )

j j

1 .

30.8.

X

¡

,

j j

1 .

n=1

(2n)!

1

1

x2n+1

( x

<

+

)

(

1)n

(2n ¡ 1)!!

xn

X

X

30.9.

j j

1 .

30.10.

¡

2n

¢

n!

,

n=0 2n + 1,

1

n=0

( x

( x

< 1)

1

1 + (¡1)n

xn

< 1)

X

j j

1

.

30.11.

¡

3

n=0 µ

2n+1

¶

,

j

j

.

µ1 +

¶xn

X

1

30.12. n=0(¡1)n

2n+1

(jxj < 1).

30.13. ¡1 < x · 0.

30.14. x

6=

2k¼,

k

2

N.

30.15. R =

10,

¡10

·

x

<

10.

30.16. R =

1

1

1

30.17. R =

1

6

4

,

¡

< x <

.

, ¡

· x < ¡

.

3

3

3

5

5

5

X

x2n+1

30.18. R =

4, ¡4 < x < 4.

1

< +1).

30.19. n=0

(2n + 1)!

, (jxj

1

x2n

1

xn lnn 3

X

X

30.20.

(¡1)n

n!

,

(jxj < +1). 30.21.

n!

,

(jxj < +1).

n=0

n=0

X

X

22n+1x2n+1

x2n

1

1

30.22.

(¡1)n

(2n + 1)!

,

(jxj

<

+1).

30.23.

(¡1)n

n

,

n=0

1 ( 1)n¡1

n=1

( x

1)

1 +

1 ¢ 2 ¢ 5 ¢ ¢ ¢ (3n ¡ 4)

xn

j j

·

.

30.24.

X

3n

¢

n!

,

¡

(jxj

<

1).

30.25.

n=1

(jxj

<

3).

n=0 µ3n1+1 ¡ 4n1+1 ¶xn,

1

X

1

µ2 ¡

¶xn.

X

1

30.26. n=0(¡1)n¡1

3n+1

187

Заключение

В учебном пособии авторами прежде всего изложены фундаментальные основы высшей математики, необходимые для экономистов. По мнению авторов, ценность настоящей книги заключается в том, что она ориентирована на изучение чисто математических задач без какого-либо экономического приложения. Это позволяет более качественно сконцентрировать внимание читателя на методах решения задач без естественной либо искусственной ориентации методов на решение соответствующих экономических задач. Тем не менее, учебное пособие в необходимом объеме излагает основные методы и подходы, которые при последующем изучении экономистами-инноваторами соответствующих дисциплин могут быть успешно применены ими в различных направлениях инвестиционного анализа инноваций.

Если же читатель захочет более широко развить применение указанных методов, а главное, изучить именно прикладные аспекты высшей математики к принятию инновационных решений, то с этой целью мы рекомендуем ориентироваться на следующих авторов.

Во-первых, первым необходимым экономическим приложением математических методов к решению различных экономических задач мы считаем математическое программирование, теорию игр и теорию голосований. При изучении математического программирования будущим специалистам-инноваторам следует прежде всего освоить методы линейного, динамического и частично целочисленного программирования. Для этого можно порекомендовать труды таких авторов, как, например, А. В. Кузнецов, В. А. Сакович и Н. И. Холод. Их же работы можно посоветовать и для предварительного изучения основ теории игр. Чтобы освоить азы теории голосований, лучше, на наш взгляд, ориентироваться в первую очередь на исследования такого автора, как Э. Мулен.

Во-вторых, есть достаточно важное практическое приложение высшей математики, именуемое финансовой математикой. По нашему мнению, для ее изучения подойдут прежде всего книги Е. М. Четыркина. Также с этой целью можно читать Б. Т. Кузнецова. Последний автор также примечателен тем, что написал достойные книги по финансовому менеджменту и инвестициям. Безусловно, такие

188

чисто финансовые приложения математики также важны в процессе обучения будущих специалистов в области инноватики.

Наконец, немаловажным направлением мы считаем также приложение математических методов к управлению ценными бумагами. Такой навык необходим студенту в первую очередь при разработке различных схем финансирования инновационный проектов. С этой целью мы бы рекомендовали начать изучение данной тематики с помощью книг А. Н. Буренина.

Предложенные здесь советы приведут будущего специалистаинноватора к более глубокому осмыслению проблем экономического внедрения инноваций и методов их решения. Искренне надеемся, что настоящее учебное пособие сможет занять достойное место в списке литературы, необходимой для становления студентов, обучающихся по направлению “Инноватика”, настоящими специалистами в данной области знаний.

189

Список литературы

1.Кузнецов, Б. Т. Математика: учебник / Б. Т. Кузнецов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

2.Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. для втузов. В 2-х т. / Н. С. Пискунов. М.: ИнтегралПресс, 2003.

3.Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный. М.: Айрис-пресс, 2005.

190