Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matem

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

1.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 207 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

П р и м е р

lim

sin 5x

¶ =

lim

sin 5x

5 = [

Замена

5x = a ] =

x!0

3 x!0

lim

sin a

3 a!0

Такого типа замены, как это сделано в последнем примере, обычно производят устно.

П р и м е р 2

lim

cos 3x ¡ cos 7x

= lim

2 sin 5x sin 2x

x!0

µ0

x!0

= lim 2

sin 5x

sin 2x

2 = 20:

x!0

П р и м е р 3

cos x

2 sin2

sin

= lim

lim

= lim

µ0¶

x!0

¡x2

x!0

x!0 2 0

П р и м е р 4

¶ = x!0

x!0 sin 3x

sin 3x 3

lim

tg 2x

lim cos 2x

sin 2x

;

так как lim cos 2x = cos 0 = 1.

x!0

Второй замечательный предел

lim(1 + a)a = e a!0

используется для вычисления пределов

lim [f(x)]y(x);

x!a

представляющих из себя неопределенность (11).

П р и м е р

x!1 µ

"µ

x!1

x ¡ 1

x(x+1)

lim

1 +

x2¡1

= (11) = lim

1 +

x¡1

lim

= ex!1 x(x+1)

= e2 :

П р и м е р

x2 + 1

= (11) = x!1 µ1 + x2

x!1 µx2 ¡ 1¶

¡ 1¶

lim

= xlim

1 + x2 2

2x2

= ex!1 x2

¡1

= e2:

x2¡1

lim

2x2

П р и м е р

lim xp2

= lim (1 + 1

cos 2x)

= (11) =

cos 2x

2 sin2 x

= x!0

x!0

= lim

(1 + 2 sin

2 sin2 x

lim (1 + 2 sin x)

lim

2 sin2 x

= e2:

= ex!0

Задачи для практических занятий

9.1. lim	sin 7x	.	9.2. lim	sin 9x ¡ sin 3x	.

x!0	x		x!0	sin 2x

9.3. lim sin 7x + sin 5x. x!0 sin 3x + sin 2x

9.5. lim

sin2 5x

x!0

9.7. lim

1 ¡ cos 6x

x!0

9.9. lim (1 + x2)x .

x!0

3x + 1

2x¡1

9.11.

lim

¶ .

3x + 5

x!1 µ

lim

2x ¡ 1

9.13.

3x + 5

x!+1 µ

9.15. lim

ln(1 + x)

x!0

9.17. lim p1 + sin x.

x!0

³tg

4 ¡ x´´

9.19. x!0

ctg x

lim

9.4. lim

x!0

9.6. lim

x!0

tg 2x. tg 3x

cos 3x ¡ cos 9x. x2

9.8. lim 1 ¡ cos 4x. x!0 1 ¡ cos 8x

lim

3x+5

9.10.

µ1 + x¶ .

x!1

1 + x

lim

9.12.

1 ¡ x¶ .

x!0

x2 + 4

x¡2

9.14.

lim

¶ .

2x2 ¡ 1

x!2+0

9.16. lim

log2(1 + x2)

x!0

9.18. lim xp2 cos 4x.

x!0

.9.20. lim (cos x)sin x .

x!0

Домашнее задание

9.21. lim sin 5x ¡ sin 3x.

x!0 x

9.23. lim sin 7x ¡ sin 5x. x!0 sin 3x ¡ sin 2x

9.22. lim sin 3x. x!0 sin 5x

9.24. lim x . x!0 tg 5x

9.25. lim		sin2 3x		.
		x2
	x!0
9.27. lim		1 ¡ cos 3x				.
	x!0		7x2
	lim		x ¡	1	¶	2x
9.29.				1		.
	x!1 µx +

9.31. lim (1 +			3 sin x)5 ctg x.
	x!0
			5x2	+ 2	3x
9.33.	lim	µ			¶ .
	lim		4x2	¡ 1
	x!+1		4x2	¡ 1

9.26. lim sin2 x .

x!0 tg 27x

9.28. lim

cos 5x ¡ cos 2x

x!0

5x + 2

3¡7x

9.30.

lim

¶ .

5x + 6

x!1

9.32. lim

xp2

cos 2x

x!0

2x +

9.34.

lim

¶ .

3x +

x!+1

Ответы

				12					2									1
9.1. 7. 9.2. 3. 9.3.						. 9.4.					. 9.5. 25. 9.6. 36. 9.7. 18. 9.8.									. 9.9. 1.
9.1. 7. 9.2. 3. 9.3.					5	. 9.4.			3		. 9.5. 25. 9.6. 36. 9.7. 18. 9.8.								4	. 9.9. 1.
		6	¡	38						2								1
9.10. e			. 9.11. e		. 9.12. e							. 9.13. 0. 9.14. +1. 9.15. 1. 9.16.										.
9.10. e			. 9.11. e		. 9.12. e							. 9.13. 0. 9.14. +1. 9.15. 1. 9.16.									ln 2	.
															3
9.17. e. 9.18. e¡8. 9.19. e¡2. 9.20. 1. 9.21. 2. 9.22.																		. 9.23. 2.
9.17. e. 9.18. e¡8. 9.19. e¡2. 9.20. 1. 9.21. 2. 9.22.																	5	. 9.23. 2.
1				1								9			21			28
1				1								9			21
9.24.		. 9.25. 9. 9.26.						. 9.27.						. 9.28. ¡		. 9.29. e¡4. 9.30. e 5 .
9.24.	5	. 9.25. 9. 9.26.					49	. 9.27.					14	. 9.28. ¡	2	. 9.29. e¡4. 9.30. e 5 .
9.31. e15. 9.32. e¡2. 9.33. +1. 9.34. 0.

10. Дифференцирование суммы

При решении представленных далее задач используем следующие правила дифференцирования:

(u § v)0 = u0 § v0; (cu)0 = cu0;

где u(x), v(x) дифференцируемые функции; c постоянная, и таблицу производных основных функций.

Таблица производных

1.(c)0 = 0, где c – постоянная

2.(x)0 = 1

3.(xn)0 = nxn¡1

)0 =

2px

= ¡

(loga x)0

x ln a

7.(ln jxj)0 = x1

8.(ax)0 = ax ln a

9.( ex)0 = ex

10.(sin x)0 = cos x

11.(cos x)0 = ¡ sin x

12. ( tg x)0 =	1
12. ( tg x)0 =	cos2 x

13.( ctg x)0 = ¡sin12 x

14.(arcsin x)0 = p1 1¡ x2

15.(arccos x)0 = ¡ p1 1¡ x2


16.	( arctg x)0 =		1
		1 + x2
17.	( arcctg x)0 = ¡		1

				1 + x2

П р и м е р 1. Найти производную функции

y = 3 tg x + 5 cos x + arcsin x + 2x:

Р е ш е н и е
y0 = 3( tg x)0		+ 5(cos x)0 + (arcsin x)0 + (5x)0 =
	3	1
=		¡ 5 sin x +	p		+ 5x ln 5:
	cos2 x
				1 ¡ x2

При нахождении производных некоторых функций рекомендуется их преобразовать, т. е. привести к виду, более удобному для дифференцирования.

П р и м е р 2. Найти производную функции y = 32x + 5 tg3 x ¡ 2px:

Р е ш е н и е. Приведем функцию к виду, удобному для диффе-

ренцирования:

y = 23 x1 + 35 ctg x ¡ 2px:

Используя правила дифференцирования и таблицу производных,

вычисляем производную:

( ctg x)0 ¡ 2(px)0

µ¡

¶ +

µ¡

¡ 2

= ¡

¡ p

sin2 x

3x2

5 sin2 x

П р и м е р 3.

Найти производную функции

y =

Р е ш е н и е. Приведем функцию к виду удобному для дифференцирования:

y = x2 ¡

¡ x¡

+ x1 + 2

¡ x2 ¡ 1

= x2 + x6

2 :

Ищем производную:

y0 =

x23 ¡ 1

x67 ¡ 1

x¡21 ¡ 1

x21

x61

x¡23

7 p6

x +

2xp

Задачи для практических занятий

Найти производные от следующих функций:

10.1. y = x

¡ 4x + 2x ¡ 3.

10.2. y =

+ 5x + ln 3.

10.3. y = x + 2p

+ 3p3

10.4. y =

y =

¡ 2p3

+ 1

10.5. y =

10.6.

10.7. y = 5 sin x + 3 cos x.

10.8. y = tg x ¡ ctg x.

10.9. y = 3p

+ 4 cos x ¡ ln x. 10.10. y = log2 x + 3 log3 x.

10.11. y = 3 + 4x2 + p5 x3 + x12 + sin2 x + 2 cos x + ln x.

10.12. y = 8 x3 ¡ 4x6 + 5 lg x ¡ 7 cos x + 3 ctg x + 2 tg x.

10.13. y = arctg x + arcctg x + 2 cos x.

10.14. y = arcsin x + arccos x + 3 sin x.

10.15. y = 5x + 6x + ex.

10.16. y =

10.17. y = 3x + log3 x.

10.18. y = 3 ln x+2 log2 x+ln 3¢log3 x.

10.19. y = 3x +

10.20. y =

+ 2 ln x + 3 ctg x.

2 ¢ 5x

10.21. y =

(a 6= 0).

2xa

tg x

10.22. y =

+ ln a loga x (a > 1).

Домашнее задание

10.23. y = x4 + 5x2 ¡ 2x + 3.

10.25. y = 5x5 + 3x4 ¡ x3 .

4 3

p p

10.27. y = x + x + 3 x.

10.24. y = 7x7 + 3x3 ¡ 4x + 1.

10.26. y = xpx.

p1 3

10.28.y = 3 x2 + 2x ¡ x3 + 8.

	4			3	5				5
	4			3	5				5
10.29. y = px3				+ 3xpx2 +			. 10.30. y = 4x			¡ 3 sin x + 5 tg x.
10.29. y = px3				+ 3xpx2 +	x	2	. 10.30. y = 4x			¡ 3 sin x + 5 tg x.
					x
	x5						3				4
10.31. y =			+ 3 cos x + ctg x. 10.32. y =					p3		+ 2 cos x +		.
											ctg x
		5							x		ctg x

10.33. y = tg x + ctg x.

10.35. y = 7 x5 + ln x + 2x.

10.37. y = ex ¡	tg x	+	x4
				.
	2		4

10.39. y = 5x + 3x + 61x .

10.34. y = 2 tg x ¡ ctg x.

10.36. y = 2 log2 x + ln 5 ¢ log5 x.

10.38. y = e¡x + arctg x + arccos x.

10.40. y = ln 4 ¢ log2 x + ln 27 ¢ log3 x.

	2x
10.41. y =		+ 2 arcctg x + 3 arcsin x.
	ln 2
10.42. y = arcsin x + arccos x + arctg x + arcctg x.

Ответы

									x3				2x					1				1							3
10.1. 5x4¡12x2							+2. 10.2.				¡			+5. 10.3. 1+					p		+	p3				. 10.4. ¡					¡
										2			3																	x4
										2			3							x				x2						x4
2					1	. 10.5.		1				1			1		.	10.6.				1							5
						. 10.5.											.	10.6.
¡ x3		¡ x2						¡x2	¡ 4xpx ¡						9xp3 x							4p4 x3					¡	6	px7		¡
																													12
		1													4							3									1
¡	4xp4			. 10.7.			5 cos x ¡ 3 sin x. 10.8.											. 10.9.					2p			¡ 4 sin x ¡							.
																sin2 2x																x
			x													sin2 2x									x							x
68

ln 3 + 3 ln 2

10.11. 8x +

cos x

¡ 2 sin x +

10.10.

5p5

x ln 2 ln 3

10.12.

8p8

¡24x5

+7 sin x¡

. 10.13. ¡2 sin x.

x ln 10

sin2 x

cos2 x

ln 3

ln 7

10.14. 3 cos x.

10.15. 5x ln 5 + 6x ln 6 + ex.

10.16. ¡ µ

¶.

3x ln 3 +

4 ln 2 + 2

10.19. 3x ln 3 ¡

ln 5

10.17.

10.18.

x ln 3

x ln 2

ln a

10.20. ¡

. 10.21. ¡

. 10.22. ¡

7x2

sin2 x

2xa+1

sin2 x

10.23. 4x3 + 10x ¡ 2. 10.24. 49x6 + 9x2 ¡ 4. 10.25. 25x4 + 3x3 ¡ x2.

10.26.

3px

10.27. 1 +

. 10.28.

3p3

2x2

10.29.

4p4

+ 5

x ¡ ¡

. 10.30. 20x ¡3 cos x +

. 10.31. x ¡

cos2 x

¡ 3 sin x ¡

¡ 2 sin x +

4 cos 2x

. 10.32. ¡

xp3

. 10.33. ¡

sin2 x

cos2 x

sin2 2x

4(1 + sin2 x)

10.34.

. 10.35.

7p7

+ 2x ln 2. 10.36.

(2 + ln 2).

sin2 2x

x ln 2

10.37. ex¡

+x3. 10.38. 8 ex+

. 10.39. 5x ln 5 +

2 cos2 x

1 + x2

1 ¡ x2

ln 6

+ 3x ln 3 ¡

. 10.40.

. 10.41. 2x

. 10.42. 0.

1 + x2

1 ¡ x

11.Дифференцирование произведения

ичастного функций

При дифференцировании произведения и частного функций, кроме таблицы производных, применяются правила дифференцирования произведения и частного:

(uv)0 = u0v + uv0; (uvw)0 = u0vw + uv0w + uvw0;

³u´0 = u0v ¡ v0u: v v2

П р и м е р 1. Найти производную функции

y= x2 sin x + x3 cos x:

Ре ш е н и е. При решении вначале используем правило дифференцирования суммы, а затем правило дифференцирования произведения.

y0 = (x2 sin x + x3 cos x)0 = (x2 sin x)0 + (x3 cos x)0 =

=(x2)0 sin x + x2(sin x)0 + (x3)0 cos x + x3(cos x)0 =

=2x sin x + x2 cos x + 3x2 cos x ¡ x3 sin x =

=(2x ¡ x3) sin x + 4x2 cos x:

Пр и м е р 2. Найти производную функции

y = (x2 + 1) sin x arctg x:

Р е ш е н и е

y0 = (x2 + 1)0 sin x arctg x +

+(x2 + 1)(sin x)0 arctg x + (x2 + 1) sin x( arctg x)0 =

=2x sin x arctg x + (x2 + 1) cos x arctg x + sin x:

Пр и м е р 3. Найти производную функции

x sin x

y = sin x + x cos x:

Р е ш е н и е. В этом примере одновременно применяются правила дифференцирования дроби и произведения функций.

		y0 =	µsin x + x cos x¶		=
				x sin x	0
=	(x sin x)0(sin x + x cos x) ¡ (sin x + x cos x)0x sin x						=
			(sin x + x cos x)2
	=	(sin x + x cos x)2 ¡ (2 cos x ¡ x sin x)x sin x				=
			(sin x + x cos x)2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 207 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.11.201972.7 Кб2Marketingovyy_plan_PR-team.doc
#
19.09.201923.82 Кб2MARKET_RESEARCH.docx
#
27.03.201526.18 Кб28Marriage and the Family.docx
#
28.04.20191.07 Mб35matan (1).doc
#
27.03.2015523.74 Кб365MATAN.docx
#
27.03.20151.17 Mб23matem.pdf
#
06.11.2018517.63 Кб4Matematichesky_analiz_dlya_ekonomistov_rabo.doc
#
13.09.2019726.02 Кб4materialy_k_kursovoy.doc
#
19.08.2019211.46 Кб3material_po_strategich_menedzhmentu-1.doc
#
21.09.20191.59 Mб4MChP_1-12_otvety.doc
#
24.12.2018885.27 Кб2Mehanika_zh_i_g.docx