1.3. Вычисление корней уравнений

1.3.1. Графическое определение корней

Эта процедура обычно выполняется для нахождения начальных приближений перед точным определением искомых величин.

Найдите значения корней уравнения, имеющего несколько решений. Для этого задайте диапазон изменения от –10 до 10 с шагом 0.1. Введите функциюи постройте график в плоскостиX–Y. По осиYкроме переменнойвведите константу, равную 0, чтобы на графике была линия с нулевым значением функции для облегчения оценки значений корней. Определите ориентировочные значения корней (значения аргументах) в точках пересечения построенного графика с прямой линией, проведенной для значенияY(x) = 0.

Вопросы

1. Как повысить точность определения корней графическим методом?

2. Почему приходится определять корни графически перед их вычислением с помощью функции root?

1.3.2. Определение значения корня

с помощью функции root

Определение корня с помощью функции root [П3.4.1.] имеет следующий формат записи: <корень> := root (<функция>, <аргумент_функции>). Перед выражением, составленным по этому формату, задается начальное значение переменной, с которого начнется поиск корня. Если корней несколько, то, изменяя начальные приближения, последовательно находят каждый корень в отдельности.

1.3.2.1.Корни скалярные

Введите найденное из графика в п. 1.3.1 начальное значение первого корня, например , убедитесь, что на экране сохранилось записанное в п. 1.3.1 выражение для, определите первый корень каки вычислите его.

В функции root вместо переменной h(x) можно записать само уравнение.

Повторите расчеты для остальных корней, т. е. для х2 и х3 при соответствующих других начальных приближениях.

1.3.2.2. Корни комплексные

Система MathCAD будет искать комплексные [П1.9, П2.3] значения корней, если задать начальное приближение комплексным числом.

Вычислить с помощью функции root комплексные корни, обращающие в нуль выражение , задав по очереди начальные значения корней 0 + 2iи 0 – 2i.

Повторить вычисление корня этого уравнения при задании начального приближения скалярным числом (например, ) и сделать вывод о влиянии типа числа в этом начальном приближении на результат.

Вопросы

1. Почему заданное с большой ошибкой начальное приближение может привести к определению соседнего значения корня или к появлению сообщения “did not find solution” (не найдено решение)?

2. Расскажите приближенно, какие, по Вашему мнению, должны выполняться в системе действия при вычислении корня по функции root.

1.3.2.3. Поиск экстремума функции

Запишите функцию, имеющую экстремум или экстремумы, например w(x): = sin(x). Задайте начальное значение для аргументах(если используется тригонометрическая функция, тохнеобходимо указывать в радианах). Введите выражениеи вычислите значение.

Знаки для ввода производной можно получить с помощью пиктограммы “Производная” панели инструментов “Математика” или нажатием клавиши “?”.

Если использовали для вычисления функцию sin(x), то после получения решения добавьте к начальному значениюхчисло, кратное, повторите поиск экстремума и объясните результат.