itmo352

спектра, т.е. в этом случае δs′F′, e = 0 . При этом кривая зависимости a′

от длины волны λ излучения будет иметь вид, показанный на рис. 4.10. Такую коррекцию хроматической аберрации положения принято называть апохроматической.

Радиус кривизны поверхности раздела двух сред можно определить с помощью углов α в соответствии с формулой (4.11) соотношением вида:

ri = hi	ni+1 − ni				.						(4.60)
	n α	i+1	− n α
	i+1		i	i
					λ
				λC′
			0,6
				λe
			0,5
			λF′
			0,4				a′	′ = a′	= a′		a′
										′
							F	e	C

Рис. 4.10. Апохроматическая коррекция хроматической аберрации положения

Это позволяет тонкую двухлинзовую систему записать в виде:

α1 =				n1 =1
α2	=	d1 = 0		n2	=
α3 =		d2	= 0	n3 =1
α4	=	d3	= 0	n4	=
α5	=			n5	=1.

Первичные сферическая аберрация и меридиональная кома

изображения,				образованного такой системой, при					α′ = α5 =1
определяются соответственно выражениями вида:
′	= −	1		SI sin	2	′			(4.61)
sIII		2				σ ,
′	= −	3		SII tgw sin			2	′	(4.62)
δgkIII		2						σ ,

91

i=4

i=4

i=4

где SI

= ∑hi Pi ,

SII

= ∑Hi Pi − J ∑Wi . Для тонкой системы имеем:

i=1

i=1

i=1

h1 = h2 = h3 = h4

= h ,

H1 = H2

= H3 = H4 = H .

Пусть

α1 = 0 , а

β1 =1.

Тогда при α′ =1: h = f ′,

J = − f ′. При этом

SI = h(P1 + P2 + P3 + P4 )= hP ,

SII = H (P1 + P2 + P3 + P4 )+ f ′(W1 +W2 +W3 +W4 )= HP + f ′W .

Используя формулы

2

αi+1

αi

Pi

(αi+1 −αi )

,

=

n

− n

2

1

1

i+1

i

−

n

n

i+1

i

α

i

+1

−α

i

α

i+1

α

i

Wi =

−

, получаем

1

1

−

ni+1

ni

n

n

i+1

i

P = n

n + 2

α

α

2

− n

2n +1

α

2

α

+

n2

α

3

+

2

2

2

(n2

−1)2

(n2

1)2

2

3

2

2 (n2

−1)2

3

2

−

3

+ n

n4 + 2

(1−α

)α2 − n

2n4 +1

(1−α2 )α

+

(4.63)

(n4 −1)2

(n4 −1)2

4

3

4

4

3

4

+

n42

(1−α33 ),

(n4 −1)2

W =

n2

α2

−

n2 +1

α

α

+

n4

(1−α2 )−

n4 +1

(1−α

)α

.

(4.64)

n

1

n −1

−

3

n −1

3

2

3

n −1

3

4

2

2

4

4

Умножив формулу отрезков (4.28) на высоту h, получаем соотношение вида: α′−α = hϕ. Применительно к рассматриваемому

случаю имеем:	′	, 1−α3	′	Значения
	α3 = hϕ1 = f ϕ1		= hϕ2 = f ϕ2 .
оптических сил ϕ1	и ϕ2 , а, следовательно,		и угла α3 ,	находим из

условия ахроматизации (апохроматизации) изображения, используя формулы (4.57). При найденном значении угла α3 формулы (4.63) и

(4.64) представляют собой систему двух уравнений относительно углов α2 и α4 . Решив эту систему уравнений, будем иметь значения

всех углов α, определяющих радиусы кривизны всех поверхностей линз рассматриваемой оптической системы. Полученную оптическую систему можно представить себе склеенной из двух линз, если r2 = r3 .

Но это возможно, лишь при соответствующем соотношении оптических постоянных материала линз. Так, например, при P = 0 и W = 0 склейка линз возможна для таких пар марок оптического

92

стекла, как ТК1Ф1, ТК23БФ12, БФ7ТФ5, К8ТФ2, К14ТФ3, ТК1Ф4, ТК1Ф13, ТК1Ф2 для комбинации марок стекло «крон впереди» и Ф2БК8, ТФ1К8, Ф1ТК1, Ф4ТК1, ТФ2БК4, ЛФ6БК8, ТФ1ТК2, Ф13БФ7, Ф1БК8, ТФ2БК6, Ф13БК8 для комбинации марок стекол «флинт впереди» [44]. Из приведенного перечня пар марок стекол, оптические постоянные которых формально удовлетворяют требуемым условиям, лишь некоторые из них приводят к удовлетворительной коррекции действительных аберраций изображения, образованного склеенным из двух линз оптическим компонентом.

Если угол α1 ≠ 0 , то для получения «склейки» при P = 0 и W = 0

нужны другие сочетания оптических постоянных сред, что обеспечивается другими марками стекол. В общем случае в составе более сложной оптической системы требуется, чтобы склеенный из двух линз оптический компонент обладал значениями P ≠ 0 и W ≠ 0 . Это достигается подбором соответствующих сочетаний оптических постоянных материала линз, для чего необходимо располагать соответствующим набором марок оптического стекла.

Таким образом, при разработке конструкции и расчете оптических систем различного назначения успешная компенсация аберраций, вносимых преломляющими поверхностями раздела среды от воздуха, раздела двух сред (поверхностями склейки линз), отдельными тонкими и толстыми линзами достигается не только в результате оптимального сочетания кривизны поверхностей и расстояний между ними, но и удачным подбором в разумных пределах оптических постоянных сред, нередко определяющим успех окончательного решения задачи расчета, для чего необходим широкий набор доступных марок стекол с различающимися значениями оптических постоянных в весьма широких пределах. Этим объясняется тот факт, что современные каталоги предлагаемого для продажи оптического стекла насчитывают более сотни марок.

4.3.Коэффициент пропускания

Спектральный коэффициент внутреннего пропускания τλ для

монохроматического излучения длины волны λ определяется как отношение потока излучения Φλ , прошедшего слой стекла толщиной

l , к вошедшему в него потоку Φ0λ . Пусть на плоскую поверхность раздела двух сред падает световой поток ΦλΣ , как показано на

93

рис. 4.11. После прохождения поверхности раздела световой поток становится равным

Φ0λ = (1−ρ)ΦλΣ , (4.65)

где ρ – коэффициент отражения света от поверхности раздела (от преломляющей поверхности) двух сред. Световой поток Φλ , прошедший путь l внутри стекла, становится меньше Φ0λ вследствие поглощения и рассеяния света в стекле.

ΦλΣ Φ0λ

Φλ Φλ + dΦλ

l dl

Рис. 4.11. Распространение светового потока в стекле

Придадим расстоянию l бесконечно малое приращение dl . световой поток Φλ при этом уменьшится на величину dΦλ .

Естественно принять [49], что
dΦλ = −αΦλdl ,	(4.66)
где α – натуральный показатель поглощения	рассматриваемого

стекла для излучения, длина волны которого равна λ. Это дифференциальное уравнение можно решить путем разделения переменных:

	dΦλ	= −αdl .	(4.67)
	Φλ
Выполняя интегрирование, получаем ln Φλ = −αl + c или
Φλ = e−αl+c ,			(4.68)
где c – постоянная интегрирования. Положив l = 0 , получаем
Φ0λ = ec . Тогда
Φλ = Φ0λe−αl .			(4.69)

Отсюда следует, что спектральный коэффициент пропускания слоя стекла толщиной l равен

	τλ =	Φλ		= e−αl .	(4.70)
		Φ	λ
		0

94

В практических расчетах чаще пользуются не натуральным, а десятичным показателем поглощения μλ , выражая коэффициент

пропускания соотношением вида: τλ = e−αl =10−μλl . Отсюда находим, что −αl = −μλl ln10 = −2,3026μλl . При этом

τλ =10−0,434αl	=10−μλl .							(4.71)
Величину D		= lg	1		= −lg τ	λ	= μ	l принято называть оптической
λ			τλ				λ

плотностью слоя поглощающего вещества. Отсюда следует, что десятичный показатель поглощения равен оптической плотности слоя вещества, толщина которого равна единице. Итак,

τλ =10−μλl ,

(4.72)

где μλ – показатель ослабления стекла для излучения длины волны λ

при толщине его слоя, равной 1 см.

Интегральный коэффициент внутреннего пропускания τA для белого света стандартного источника A (T = 2856 K ) вычисляется по формуле:

				λ2
				∫Φ0λVλτλdλ
	τ	A	=	λ1		,	(4.73)
				λ2
				∫	Φ0λVλdλ
				λ1
	где Vλ – относительная						спектральная эффективность монохромати-

ческого излучения при адаптации к дневному свету (относительная спектральная чувствительность глаза); λ1 = 380нм, λ2 = 760нм.

Спектральный коэффициент пропускания оптического стекла измеряется на спектрофотометре с приставкой, позволяющей проводить измерения на образцах длиной до 2,5 см при двукратном прохождении светового пучка лучей через образец. Погрешность измерения коэффициента пропускания образца стекла τλ равна 0,01

(1 %).

Коэффициент внутреннего пропускания стекла как для монохроматического света, так и для белого зависит от поглощения матрицы стекла (т.е. его бесцветной основы), рассеяния (молекулярного и связанного с микроскопическими частицами) и поглощения растворенных в стекле примесей. Первые два фактора определяются химическим составом стекла, а последний – и условиями производства.

95

4.4. Термические свойства

4.4.1. Термооптические свойства оптического стекла

При изменении температуры изменяется показатель преломления оптических сред, изменяются и значения конструктивных параметров оптической системы: радиусов кривизны поверхностей линз и зеркал, толщин линз; изменяются линейные размеры корпусных деталей и прокладных колец, определяющих величину воздушных промежутков между оптическими элементами. Изменение размеров оправ линз и зеркал может привести к их пережатию, а, следовательно, к появлению внутренних напряжений в материале линз и зеркал и деформаций формы поверхностей деталей или к децентрировке оптических поверхностей. В результате всех перечисленных изменений смещается плоскость изображения, образованного оптической системой, изменяется ее фокусное расстояние, а, следовательно, и увеличение или масштаб изображения; изменяются также и остаточные аберрации.

Если оптическая система предназначена для визуальных наблюдений (зрительные и астрономические трубы), эти изменения могут быть скомпенсированы соответствующим перемещением окуляра при условии, что в оптических средах не появляется заметного градиента температуры. Если рассматриваемая система представляет собой объектив с фиксированным положением плоскости изображения (например, фотографический объектив), то здесь необходимо принимать специальные меры, чтобы положение и размер изображения оставались неизменными. С этой целью необходимо исследовать изменение положения и увеличения изображения, образованного оптической системой, при изменении температуры. При этом будем считать, что градиент температуры отсутствует.

При изменении температуры показатель преломления оптической

среды изменяется по закону
n = n0 +β(t −t0 ),	(4.74)
где n0 – показатель преломления при температуре	t = t0 , а β –

коэффициент приращения показателя преломления. Эта формула справедлива лишь при небольших изменениях температуры, не превышающих нескольких десятков градусов Цельсия.

Температурные коэффициенты абсолютного показателя преломления βабс(t, λ), средние в пределах температур от минус 60 до

96

плюс 20°С, для линий спектра F′, e и C′ должны соответствовать значениям, приведенным в табл. П1 (в приложении).

Термооптические постоянные V (t, λ)= βотн (t, λ) −α(t ), средние в nλ −1

пределах температур от минус 60 до плюс 20°С, для линий спектра F′, e и C′ должны соответствовать значениям, приведенным в табл. П2. Здесь βотн – температурный коэффициент относительного показателя преломления, °С−1 ; α(t) – температурный коэффициент

линейного расширения, °С−1 .

Линейные параметры оптических деталей (толщины, радиусы

кривизны поверхностей) изменяются по закону:
d = d0 [1+ α(t −t0 )],		(4.75)
r = r0 [1+ α(t −t0 )],		(4.76)
где d0	и r0 – значения толщины и радиуса кривизны при температуре
t = t0 ,	α – температурный коэффициент линейного	расширения

материала линзы. Эти формулы верны также только при небольших изменениях t , не превышающих одного-двух десятков градусов.

В простейшем случае оптическая система состоит из одной тонкой линзы, оптическая сила которой определяется выражением

1

1

1

ϕ =

−

f ′

= (n −1)

.

r1

r2

Дифференцируя это выражение по n, r1 и r2 , получаем

df

′

1

1

dr2

= dn

−

+(n −1)

dr1

−

.

2

2

2

f ′

r2

r1

r1

r2

Заменяя dn через β

t, dr1 через r1α t и dr2 через r2α t , полученное

выражение приводим к виду:

df ′

1

1

β

t . При этом

2

−

α −

f ′

= (n −1)

n −1

r1

r2

df ′

β

t .

(4.77)

=

α −

f ′

n −

1

Напомним, что хроматическая аберрация положения и хроматическая аберрация увеличения в изображении, образованном

тонкой линзой, определяется соответственно формулами:
δs′хр	= −s′2 ϕ	,	(4.78)
	ν

97

δL

′

′

′

хр

= −

s x

ϕ .

l′

x′− s′ ν

Будем считать, что

расстояние от

оптической

′

оси

до точки

пересечения

главного

луча с линзой

′

, а

величина

my ≈ x tgw

′

′

изображения

y′ ≈ (x′− s′)tgw′. Тогда, полагая, что

δLхр

≈

δyхр

, получаем

l′

y′

ϕ

′

′

(4.79)

δyхр ≈ −s my ν .

1

1

Дифференцируя формулу отрезков

−

= ϕ, находим, что при

s′

ds = 0 :

s

s′2

ds′ =

df ′.

f ′2

Учитывая формулу (4.77), найденное соотношение можно

представить в виде:

2

β

st′ = s′

ϕ α −

t .

(4.80)

n −1

Соотношение (4.80), по сути дела, определяет величину смещения плоскости изображения, образованного тонкой линзой, при изменении температуры на t .

Из сопоставления формул (4.80) и (4.78) следует, что влияние

	величины V			t , где
	V =	β		−α,	(4.81)
		n −1

на смещение плоскости изображения, вызванное изменением температуры t , аналогично влиянию величины ν1 на хроматические

аберрации изображения. При этом смещение точки пересечения главного луча с плоскостью изображения, вызванное изменением температуры t , в соответствии с формулой (4.79) определится выражением вида

′	′		β
					−α .	(4.82)
δyt	= −s myϕ
		n −1

Вполне очевидно, что для тонкого компонента в воздухе, состоящего из k тонких линз, справедливы соотношения:

i=k
st′ = −s′2 t∑ϕiVi ,	(4.83)

i=1

98

99

Рис. 4.12. График значений коэффициента V для наиболее применяемых марок оптического стекла

′		′		i=k		(4.84)
δyt	= −s my ∑ϕiVi ,
		βi		i=1
где V =				−α	.
i		ni −1		i
						коэффициента V для
На		рис. 4.12 приведен график значений

наиболее применяемых марок оптического стекла [43]. Значения коэффициента V , представленные в виде табл. П.2, заимствованы из ГОСТа 13659-78 [8]. На графике по оси абсцисс отложены значения

коэффициента	дисперсии	ν =	nD −1			,	а по	оси ординат –
			n	F	−n
					C
усредненные значения коэффициента V							для диапазона изменения
температур от	−60° до	40°C ,			для		основной	длины волны

λD = 589,3нм. При выполнении расчетов следует иметь в виду, что

значение коэффициента V довольно заметно зависит от длины волны излучения. Поэтому при изменении температуры может произойти не только смещение плоскости изображения, но может измениться и состояние коррекции хроматических аберраций.

Из вида графика следует, что выпускаемые отечественной промышленностью оптические стекла обладают большим разнообразием значений коэффициента V , что, несомненно, является благоприятным фактором, облегчающим расчет оптических систем, не расстраивающихся при изменениях температуры.

Если две или более линз, обладающих разными значениями коэффициента теплового линейного расширения α, склеены, то изменение радиуса кривизны поверхности склейки не может быть вычислено по формуле (4.76), так как слой клея препятствует свободному расширению. В этом случае точное значение температурного эффекта экспериментальных исследований определить невозможно.

Рассмотрим тонкую систему из двух отдельных линз в воздухе. В этом случае хроматические аберрации изображения определяются коэффициентом C , равным

C = −	ϕ1	−	ϕ2 .		(4.85)
	ν		ν	2
	1

Эффект теплового влияния определяется коэффициентом T , причем

T = −V1ϕ1 −V2ϕ2 .

(4.86)

100