itmo352

сложных оптических систем, таких, например, как объективы переменного фокусного расстояния передающих камер цветного телевидения [36], следует выбирать предельно допустимые для данной марки стекла высокие категории по показателю μA .

4.11.5. Требования к пузырности оптического стекла

Устранить полностью во всей массе стекла в процессе его варки образовавшиеся пузыри газа и воздуха практически невозможно. Поэтому в заготовках стекла можно наблюдать оставшиеся маленькие и мельчайшие пузыри и непрозрачные включения. Рассмотрим их влияние на световые пучки лучей, формирующих изображение предмета.

На рис. 4.19а представлена оптическая система ϕ, в фокальной плоскости которой расположена полевая диафрагма диаметром Dp . Перед оптической системой ϕ расположена плоскопараллельная

пластина, внутри которой показан пузырь. На рис. 4.19б показан пузырь сферической формы в плоскопараллельной пластине в сильно увеличенном масштабе; в точку N1 поверхности пузыря падает

параллельный оптической оси луч на расстоянии m от нее. Учитывая закон преломления, в соответствии с рисунком имеем

sin ε1′ = nsin ε1 = − m ,					(4.134)
	r			получаем −sin ε1 = 1 .
где r – радиус пузыря.		Положив −sin ε1′	=1,
	1					n
Таким образом, при		≤ −sin ε ≤1 свет	полностью		отражается	от
	n	1
					−sin ε1 =1	луч
поверхности пузыря.	Вполне очевидно,		что	при

проходит пластинку без изменения направления. При некотором

значении угла ε			= ε			0	, удовлетворяющем условию	1 < −sin ε	0	<1 угол
		1						n
между отраженным лучом и оптической осью ω0								= −180°− 2ε0 . При
этом		= −90°− 1
ε	0		ω	0	.					(4.135)
		2

151

a)	Полевая
	диафрагма
	ϕ

0	−w	Dp
Пузырь		F′

f ′

б)				−ω′0
	−ε0	ε′0		−ω′
				−ω0 ε′2
	N0			−ω
	−ε1	ε		N2
	N1 r−ε1′
m			2	r

C

Рис. 4.19. Определение влияния пузыря на фоновую засветку изображения

В результате преломления луча на второй поверхности пластинки

		′			. В соответствии с рис. 4.19а тангенс полевого
имеем sin ω0 = nsin ω0
угла в пространстве предметов равен							tgw = −	Dp		′	= w ,
								2 f ′		. Положив ω0
получаем sin ω			= 1 sin w . При этом, учитывая соотношение (4.135),
		0w		n
находим, что
			1			1 arcsin sin w .
sin ε		= −cos		ω	= −cos					(4.136)
	0w		2	0w		2	n			отраженные	от
Таким		образом,			при	−sin ε0w ≤ −sin ε0 ≤1

поверхности пузыря лучи упадут на плоскость изображения в пределах полевой диафрагмы, образуя его фоновую засветку.

Площадь поперечного сечения светового пучка лучей, падающего на пузырь, равна δS = πr2 .

152

Площадь поперечного сечения пучка лучей, не претерпевающих полного внутреннего отражения, т.е. ограниченного углами падения

0 ≤ −sin ε	0	< −sin ε	0w	=	m0w	, равна	δS	0w	= πm2	. Следовательно,
					r				0w

рассматриваемую фоновую засветку изображения, ограниченного полевой диафрагмой, образует часть падающего на пузырь пучка лучей, относительная величина площади поперечного сечения которой равна

δS%ф0 =

δS −δS

0w

=1−

δS

0w =1−

m2

0w

δS

r2

или

δS

δS%ф0 =1−sin2 ε0w .

(4.137)

Так, например, положив в формуле (4.136) угол w = 30°, а n =1,5 ,

~

= 0,0286 .

находим, что sin ε0w = −0,9856 . При этом δSф0

При −sin ε1′ = −nsin ε1 <1 луч преломляется в точке N1

и падает на

поверхность пузыря в некоторую точку

N2 . Учитывая,

что

треугольник

N1CN2 – равнобедренный, замечаем,

что угол падения

луча в точку

N2 ,

т.е. угол ε2 , равен углу преломления луча в точке

N1 : ε2 = −ε1′.

Следовательно,

угол

преломления

ε′2 = −ε1 .

Преломленный в точке N2 луч образует с оптической осью угол −ω,

в соответствии с рис. 4.19б равный

−ω = −ε1′ + ε1 + ε2 −ε′2

= 2(ε1 −ε1′).

(4.138)

В результате преломления луча на второй поверхности

плоскопараллельной пластинки имеем

′

′

sin ω = nsin ω

= nsin 2(ε1 −ε1 ).

Отсюда находим, что

′

1

cos(ε1′ −ε1 )= cos

arcsin

sin ω

.

2

n

′

= w и

преобразовав

его,

Положив

в этом выражении

угол ω

получаем

sin 1 arcsin sin w

sin ε1 = sin εпw =

2

n

.

(4.139)

1−2ncos 1 arcsin sin w + n2

2

n

В этом случае при 0 ≤ −sin ε1 ≤ −sin εпw

лучи,

прошедшие сквозь

пузырь, рассеиваются им на поверхности изображения, ограниченной полевой диафрагмой. При этом площадь поперечного сечения пучка

153

таких лучей равна δSфп = πmп2w , где mпw = −r sin εпw . Следовательно, в

этом случае фоновую засветку изображения, ограниченного полевой диафрагмой, образует часть падающего на пузырь пучка лучей, относительная величина площади которой равна

δS%фп =	δSфп		m2	2
		=	пw	= sin εпw .	(4.140)
	δS		r2

Так, например, положив в формуле (4.139) угол w = 30°, а n =1,5 ,

ε = − δ~ =

получаем sin пw 0,3123. При этом Sфп 0,0975.

Выполненный анализ влияния пузыря на фоновую засветку изображения показал, что в засветке участвует не весь пучок лучей, падающих на пузырь, а только краевая зона (полное внутреннее отражение) и центральная часть пучка, рассеиваемая пузырем как отрицательной линзой Отношение величины светового потока засветки Φфз к потоку Φ, падающему на пузырь, определяется

суммой относительных величин площадей, определяемых формулами

		Φфз	~	~
	(4.137) и (4.140):		= δSф0	+δSфп .
		Φ
	Анализ выполнен на			частном примере расположения пузыря.

Однако, в общем случае характер фоновой засветки определяет и угловая величина выходного зрачка. При этом пузырь приобретает вид непрозрачного экрана.

В основу анализа влияния пузыря как непрозрачного экрана на распределение освещенности в плоскости изображения положены соображения, изложенные в сохранившихся выписках из конспекта лекций Ивана Алексеевича Шошина «Сто страниц молодому оптику», составленного Е.О. Шульц-Ивановой.

На рис. 4.20 показана оптическая система ϕ, из крайних точек B1 и B2 меридионального сечения выходного зрачка которой выходят

крайние лучи наклонных пучков, формирующих изображение, величина которого, в свою очередь, ограничена полевой диафрагмой.

154

			Выходной	Пузырь
			зрачок
ϕ				′
	B1			A
				A1′
O	C′			A0′

A2′

B2

Полевая

диафрагма

Рис. 4.20. Влияние пузыря на формирование полутени в плоскости изображения

В пучке лучей, сходящихся в точке A1′, крайний луч B2 A1′, а в пучке лучей, сходящихся в точке A2′ , крайний луч B1 A2′ касаются

пузыря, как показано на рисунке. При этом кольцевая зона изображения, ширина которой равна отрезку A′A1′, представляет

собой зону полного освещения, а на участке изображения диаметром A1′A2′ будет наблюдаться меняющаяся полутень. Весьма плавное

наступление полутени не позволяет практически однозначно определить ее границу. Поэтому для определенности можно считать,

что границу полутени определяют лучи	′	и	′	, проходящие
	B1 A2		B2 A1
через центр пузыря.

В пучках лучей, на пути которых оказался пузырь, поток света уменьшается, при этом световые потери равны отношению площади сечения пузыря к площади сечения светового пучка лучей плоскостью, перпендикулярной к оптической оси. Опытным путем установлена линейная зависимость предельного относительного изменения освещенности, еще замечаемого глазом, от угловой

	величины ψ тени, при этом при ψ = 0 :					E	= 0,45% , а при ψ = 50°:
						E
		E
			= 7,9% . Аналитически эту зависимость можно представить
		E
	уравнением
				E	= 0,0045 +0,0016ψ.		(4.141)
				E

155

Отношение площади сечения пузыря к площади сечения пучка лучей в этой плоскости не должно превосходить величины EE ,

соответствующей угловой величине тени этого пузыря, когда его влияние еще не заметно, т.е. должно соблюдаться условие:

	площадь сеченияпузыря		≤	E .	(4.142)
	площадь сеченияпучка лучей
				E

Приняв это условие за основу, рассмотрим определение требований к пузырности оптического стекла на примере телескопической системы (зрительной трубы).

Как следует из уравнения (4.141), чувствительность глаза к изменению освещенности весьма сильно зависит от угловой величины тени от пузыря в плоскости изображения, которая определяется не только положением пузыря в оптической системе, но и положением глаза наблюдателя. Определим угловую величину тени в возможных случаях расположения пузыря и глаза наблюдателя.

Определение величины угла ψ

Оптическую систему зрительной трубы будем считать состоящей из объектива и окуляра. Рассмотрим возможные случаи расположения пузыря в оптической системе трубы.

1. Пузырь между объективом и окуляром.

Этот случай расположения пузыря представлен на рис. 4.21. Не нарушая общности полученного результата, будем считать, что плоскость входного зрачка зрительной трубы совмещена с главной плоскостью объектива.

ϕоб
Вх. зр.			ϕок Вых. зр.
	Пузырь	′
		A1
Dвх.зр.		F′	ψ
	l	A2′	′
			fок
	′
	fоб

Рис. 4.21. Угловая величина тени от пузыря, расположенного между объективом и окуляром зрительной трубы

156

В соответствии с рисунком линейная величина (диаметр) тени равна

′

′

Dвх. зр.l

DT

= A1 A2 =

,

′

−l

где

l

fоб

– расстояние

от центра (плоскости сечения) пузыря до

фокальной плоскости объектива. При этом

tg

1

ψ =

DT

; ψ = 2arctg

DT

.

′

2

′

2 fок

2 fок

1

Однако,

даже

при

ψ = 50°

величина

tg

ψ = 0,4663, а

1

2

ψ рад = 0,4363. Поэтому с погрешностью, не превышающей 3% ,

2

принимаем

Dвх. зр.l

ψ =

D

рад

=

D

57,3° =

57,3°.

(4.143)

T

T

′

′

′

′

fок

fок

(fоб −l)fок

Это соотношение справедливо при Dвых. зр. < dгл , где dгл – диаметр

зрачка

глаза.

При

Dвых. зр.

> dгл диаметр

светового

пучка лучей

Dсв

′

′

D

< D

,

причем

=

fоб

. Отсюда D

=

fоб

d

гл

= −Γd

гл

, где Γ –

′

св

вх. зр.

dгл f

′

св

ок

fок

видимое (угловое) увеличение изображения предмета, наблюдаемого

спомощью зрительной трубы Γ = − fоб′ . В этом случае

fок′

ψ = −		l			dглΓ	57,3°.	(4.144)
		′
					′
2.		fоб	−l fок
	Пузырь в фокальной плоскости.
В	этом		случае l = 0 . При этом формально				ψ = 0 , что

соответствует максимальной чувствительности глаза к изменению освещенности. Однако, в действительности линейный размер тени равен диаметру сечения пузыря, при этом требование к пузырности стекла определяется требованием к чистоте поля изображения и (или) к чистоте сетки.

3. Пузырь за окуляром.

Такое расположение пузыря представлено на рис. 4.22, при этом предполагается, что зрачок глаза совмещен с выходным зрачком трубы. В этом случае угловой размер тени равен

157

ψ =	Dвых. зр.	57,3°.	(4.145)
	l′

ϕок

Вых. зр.

Пузырь

ψ Dвых.зр.

l′

Рис. 4.22. Угловая величина тени от пузыря, расположенного за окуляром

	ϕок
Вх. зр.			Вых. зр.
	Пузырь			Изображение
				пузыря
C	Fоб Oок	′	C′′
		Fок		ψ
	l
			′
′
			lзр	l′
fоб			′
			lпуз

Рис. 4.23. Определение угловой величины тени по изображению пузыря за окуляром

Обратимся вновь к случаю 1, как показано на рис. 4.23. Смысл обозначений на рисунке вполне очевиден и не требует

дополнительных пояснений. Используя формулу Ньютона zz′ = − f ′2 , с учетом знака величин, показанных на рисунке, имеем:

′

=

1

f

′

2

= −

1

f

′

′

1

′

2

. При этом l

′

′

−l

′

= f

′

2 1

−

1

lзр

fоб′

ок

Γ

ок

; lпуз =

l

fок

= lпуз

зр

ок

fоб′

или

l

′2

′

′

−l

l

=

fок

fоб

.

(4.146)

′

l

fоб

Подставив это соотношение в формулу (4.145), получаем

158

′

l

Γ

l

D

l

ψ = Dвых. зр.

fоб

= −Dвых. зр.

=

вх. зр.

′2

f

′

−l

′

′

−l

′

′

−l

или

fок

об

fок

fоб

fок

fоб

Dвх. зр.

l

ψ =

57,3°.

(4.147)

fок′

fоб′

−l

В результате выполненных преобразований формула (4.145) приняла вид формулы (4.143), что определяет возможность приведения случая 1 к случаю 3.

Если Dвых. зр. > dгл, то в формуле (4.145) величинуDвых. зр. следует заменить величиной dгл, представив ее в виде:

ψ= dlгл′ 57,3°,

аформула (4.147) примет вид формулы (4.144):

ψ = −	dглΓ		l		57,3°.
	′		′	−l
	fок		fоб

4. Пузырь перед объективом.

В этом случае следует определить положение изображения пузыря, образованного всей системой в целом и вычислить величину угла ψ как для пузыря за окуляром.

5. Пузырь во входном зрачке системы.

	Поскольку в	этом случае l =		′	′	= 0 ,	ψ = ∞ и,
				fоб , то	fоб −l
	соответственно,	E	= ∞. Следовательно,		тень	от	пузыря,
		E

расположенного во входном зрачке оптической системы, не оказывает мешающего влияния, что определяет возможность произвольного выбора категории стекла по пузырности, руководствуясь соображениями, связанными с рассеянным светом, эстетическим восприятием пузырей в изделии (товарный вид) и т.п.

Определение допустимого размера пузыря

1. Пузырь между объективом и окуляром.

При диаметре пузыря, равном d , площадь его сечения Sп = 14 πd 2 .

Диаметр светового пучка лучей в плоскости сечения пузыря

	D			1		D2		2
Dp =	св	l , при этом площадь сечения пучка	Sp =		π	св	l		. При
						′2
	′			4
	fоб					fоб

соблюдении условия (4.142) имеем

159

	Sп				d	2		′2
E =			=					fоб	.
					D2
E	S	p						l2
						св
Отсюда находим, что допустимый диаметр пузыря
d ≤ D			l			E .				(4.148)
			′
св						E
		fоб

Формула (4.141) позволяет представить это выражение в виде:

d ≤ 0,1Dсв		l		0,45 + 0,16ψ .				(4.149)
		′
		fоб
Выполнив замену угла ψ выражением (4.143), получаем
d ≤ 0,3Dсв		l		0,05 + Dсв		l
							.	(4.150)
		fоб′			( fоб′	−l ) fок′

Заметим, что при Dвых. зр. < dгл световой диаметр Dсв = Dвх. зр. . При этом

d ≤ 0,3Dвх. зр.	l	0,05 + Dвх. зр.	l
				.	(4.151)
	fоб′		( fоб′ −l ) fок′

2. Пузырь за окуляром.

В этом случае площадь сечения светового пучка лучей Sp = 14 πDвых2 . зр. . При этом

S

п

=

d 2

=

E

= 0,0045 + 0,0016ψ = 0,0045 + 0,0016

Dвых. зр.

57,3°.

Sp

Dвых2

. зр.

E

l′

Отсюда находим, что

d ≤ 0,3D

0,05 +

Dвых. зр.

.

(4.152)

вых. зр.

l′

Если D

> d

, то

d ≤ 0,3d

0,05 +

dгл

.

вых. зр.

гл

гл

l′

Как было показано, за окуляром можно рассматривать изображение пузыря, расположенного между объективом и окуляром. В этом случае диаметр изображения сечения пузыря равен dиз =Vd ,

где V – поперечное

увеличение

изображения;

в рассматриваемом

случае V =

f ′

d

из

l

Dвых. зр.

ок

. При этом d =

≤ 0,3D

0,05 +

.

V

l′

l

вых. зр. fок′

160