itmo352

При D	> d		:	d ≤ 0,3d		l	0,05	+	dгл	.
					гл fок′
вых. зр.		гл							l′

3. Пузырь в любом месте оптической системы.

В этом случае для определения предельно допустимого размера пузыря следует выполнить следующие действия:

−найти положение изображения пузыря, образованного последующей оптической системой;

−найти расстояние от выходного зрачка оптической системы до изображения пузыря;

−вычислить значение угла ψ и отношение EE ;

−

вычислить d

из

= D

E

или d

из

= d

гл

E

при D

> d

гл

;

вых. зр.

E

E

вых. зр.

−определить величину поперечного увеличения V изображения пузыря последующей системой;

−вычислить d = dVиз .

Рассмотренный на примере зрительной трубы подход к определению предельного размера пузыря (или любого другого непрозрачного включения) легко распространить на все возможные оптические системы визуальных оптических приборов. Изложенные соображения позволяют сделать вывод о возможности определения не только угловой (и, соответственно, линейной) величины тени, но и характера изменения освещенности в ее пределах, что может позволить оценить допустимость влияния пузыря (или любого другого непрозрачного включения) на распределение освещенности в изображении, воспринимаемой, например, фотоэлектрическим приемником излучения.

4.11.6. Требования к свильности оптического стекла

Свили представляют собой стеклообразные прозрачные включения, отличающиеся по показателю преломления от окружающего их стекла. По своей форме они бывают в виде нитей и полос. В заготовках стекла наблюдаются одиночные свили и потоки свилей. Одиночные свили различаются резкостью, длиной и наличием в отдельных случаях узлов. Бессвильность характеризует химическую однородность стекла.

Оптическое стекло в процессе производства контролируется по бессвильности теневым методом, специально разработанным для этой

161

цели. Этот метод дает возможность визуально обнаружить большинство свилей, находящихся в оптической детали в заданном направлении просмотра. Поэтому бессвильность стекла, испытанного теневым методом, гарантируется с большой надежностью.

Таким образом, бессвильность оптического стекла характеризуется отсутствием свилей, обнаруживаемых в определенных условиях просмотра.

При теневом методе обнаружения действие свили (или непрозрачного свилеподобного включения) уподобим действию пузыря, диаметр которого равен диаметру (ширине) поперечного сечения свили, при этом при определении допустимого диаметра свили будем исходить из соотношения (4.142) в виде:

Sсв	≤	E	,	(4.153)
		E
Sp

где Sсв – площадь сечения свили в пределах поперечного сечения светового пучка лучей, Sp – площадь поперечного сечения пучка.

Представим себе схему установки для просмотра свилей в виде, показанном на рис. 4.24.

D	Dсв	Глаз

DT ψ

l1	l2	L
Рис. 4.24. Схема установки для просмотра свилей
На этом рисунке	D – диаметр	диафрагмы; Dсв – диаметр

поперечного сечения свили. В соответствии с рисунком диаметр поперечного сечения светового пучка лучей в месте расположения свили равен

Dp	=		l2	D .	(4.154)
		l1
			+l2

Будем считать, что площадь свили равна

Sсв = DсвDp .

162

При этом при Sp = π4 Dp2 соотношение (4.153) принимает вид:

	4		Dсв	≤	E .
	π Dp				E
Отсюда, учитывая соотношение (4.154), находим, что
	Dсв ≤			π	E	l2	D.	(4.155)
				4	E	l1 +l2

Из рисунка следует, что диаметр тени, обусловленной наличием свили, равен

DT = ll2 D .

1

При расстоянии от экрана до глаза наблюдателя, равном L , угловой размер тени можно определить приближенным соотношением вида:

ψ= l2 D 57,3°. При этом l1 L

	π	l2					l2		D
Dсв ≤
					0,0045	+ 0,0016 l			L
	4 l +l									57,3° D
	1		2			1

или
		l2					l2		D
Dсв ≈ 0,072					0,05	+				D .
	l	+l					l		L
1			2			1

Если свили мало отличаются по показателю преломления от общей массы стекла, но занимают вполне конечную площадь, то при отсутствии заметной тени от них могут влиять на деформацию волнового фронта, а, следовательно, на качество изображения.

В соответствии с выражением (4.126) световое возмущение в гауссовой плоскости изображения определяется преобразованием Фурье от светового возмущения на сфере в пределах выходного зрачка, которое может быть записано в виде:

ik

′ ′

+

′

′

′

′

)= −

′

′

−ik

m x

M y

′

′

, (4.156)

2

u(x ,

y

2πR′

∫∫F(m , M

)exp

R′

dm dM

′

0

S0

0

где S0′ – площадь выходного зрачка.

′

′

) – зрачковая функция;

В этом выражении F(m ,

M

′

′

′

′

′

′

′

′

)],

F(m , M

)= P(m

, M

)u(m

, M

)exp[−ikW (m , M

163

где	′		M	′	) – амплитуда светового возмущения на выходной сфере;
	u(m ,
	′	′	) – функция волновой аберрации;			′	′	) – единично-
W (m , M						P(m , M

нулевая функция, определяющая область выходного зрачка, причем
1,	(m′, M ′) S0′
P(m′, M ′)=	′	′	′
0,	(m , M		) S0.
Будем считать,	что		за исключением местных деформаций

волнового фронта, обусловленных свилями, волновые аберрации в изображении, образованном оптической системой, отсутствуют. При этом зрачковую функцию можно записать в виде:

j=k
F(m′, M ′)= P0 (m′, M ′)u(m′, M ′)− ∑Pj (m′, M ′)u(m′, M ′)+	(4.157)
j=1
j=k
+ ∑Pj (m′, M ′)u(m′, M ′)exp[−ikW (m′, M ′)].

j=1

Характер деформации волнового фронта, вызванной изменением показателя преломления стекла в пределах свили, удобно определить

~′

~ ′

), смещенной относительно системы осей

в системе координат (m , M

(m′, M ′) в точку с координатами

(m0′, M0′),

расположенную в зоне

′

M

′

)= u0 ,

зрачковую функцию

свили. В этом случае, положив u(m ,

можно определить выражением вида:

′

′

′

′

)

j=k

′

′

′

% ′

)+

%

F (m , M

)= u0 P0 (m , M

−u0 ∑Pj (m0

+ m , M

0

+ M

j=1

(4.158)

j=k

′

%′

′

%

′

′

′

%′

%

′

+ M

)u

) .

+u0 ∑Pj (m0 + m , M0

(m , M

)exp −ikW (m , M

j=1

При этом выражение (4.156) принимает вид:

iku0

′ ′

+

′

′

′

′

)= −

−ik

m x

M y

′

′

+

u(x , y

R′

2 ∫∫exp

R′

dm dM

′

j=k

0

S0

0

~′ ′

~ ′ ′

iku0

m′

x′+ M ′

y′

~

~

+

−ik

0 j

0 j

−ik

m x

+ M y

′

′

−

2

R′

∑ exp

R′

∫∫exp

R′

dm dM

j=1

S′

0

0

0

m′

x′+ M ′

y′

j

(4.159)

iku0

j=k

0 j

0 j

−

∑ exp

−ik

×

R′

2

R′

j=1

0

0

~′

~ ′ ′

~

~

′

~

~

m x

+ M y

× ∫∫exp −ikWj (m′, M ′)

−ik

dm′dM ′ ,

R0′

S′

j

где S′j – площадь j -ой свили.

164

Вполне очевидно, что свили в стекле допустимой величины не должны заметно влиять на качество образованного оптической системой изображения. Поэтому допустимую величину свилей вполне можно определить по их влиянию на число Штреля.

Распределение освещенности в изображении точки определяется произведением комплексно-сопряженных функций

E(x′, y′)= u(x′, y′)u* (x′, y′).

В

точке

параксиального

изображения

(т.е.

при

x′ = 0 , y′ = 0 )

имеем

E(0, 0)= u(0, 0)u* (0, 0).

Положив в выражении (4.159) x′ = 0 и y′ = 0 , получаем

u(0, 0)= −

iku0

iku0

j=k

~

~

∫∫dm′dM ′+

∑

∫∫dm′dM ′−

R′

2

R′

2

′

j=1

′

iku0

j=k

0

S0

0

S j

~

~

~

~

−

∑ ∫∫exp[−ikWj (m′, M

′)]dm′dM ′ =

R′

2

j=1

′

0

S j

iku0

iku0

j=k

iku0

j=k

~

~

~

~

= −

′

+

′

−

∑

′

′

′

′

2

2

R′

2 S0

R′

∑S j

R′

∫∫exp[−ikWj (m , M

)]dm dM .

j=1

j=1

′

0

0

0

S j

~

~

iku0

При Wj (m′, M

′)≡ 0: u0 (0, 0)= −

S0′.

R0′2

При этом число Штреля

i(0, 0)= E((0, 0)) = u((0, 0))u**((0, 0)).

E0 0, 0 u0 0, 0 u0 0, 0

Подставив в это соотношение соответствующие выражения и преобразовав его, получаем

j=k

2

j

=k

∑S′j

S0′

− ∑S′j j=k

~

~

~

~

j=1

j=1

i(0, 0)=

1−

+

∑

∫∫exp[−ikWj (m′, M

′)]dm′dM

′+

S0′

S0′

2

j=1

S′

j

~

~

~

~

+

(4.160)

+ ∫∫exp[ikWj (m′, M

′)]dm′dM

′

S′

j

+

1

j=k

~′

~ ′

~′

~ ′j=k

~′

~ ′

~′

~

′

2

S

′

∑ ∫∫exp[−ikWj (m , M

)]dm dM ∑

∫∫exp[ikWj (m , M

)]dm dM .

j=1

′

j=1

′

0

S j

S j

В этом выражении произведение

165

∫∫exp −ikWj

(m , M ) dm dM

∫∫exp ikWj (m , M ) dm dM

< S j

.

%′

%

′

%′

%

′

%′

%

′

%′

%

′

′

2

S′j

S′j

Если площадь

всех

свилей

мала

по

сравнению

с

площадью

1

j=k

выходного зрачка, т.е. если

∑S′j <<1, то пренебрегая отношением

S0′

j=1

площадей в степени, выше первой, получаем

2

j=k

1

j=k

~

~

~

~

i(0, 0)≈1−

∑S′j +

∑

∫∫exp[−ikWj (m′, M

′)]dm′dM ′+

S′

S

′

j=1

j=1

′

0

0

S j

(4.161)

~

~

~

~

+ ∫∫exp[ikWj (m′, M

′)]dm′dM ′ .

S′

j

Используя

формулу

Эйлера,

согласно

которой

exp(±ix)

= cos x ±isin x , формулу (4.161) можно преобразовать к виду:

2

j=k

~

~

~

~

i(0, 0)≈1−

∑

∫∫[1−cos kWj (m′,

M

′)]dm′dM

′.

(4.162)

S′

j=1

′

0

S j

Формула Эйлера позволяет формулу (4.160) преобразовать к

виду:

2

2

i(0, 0)=

j=k

+

j=k

(4.163)

1− ∑Aj

∑Bj

,

S′j

j=1

j=1

где Aj =

−

1

∫∫′

~

~

~

~

S′

S′

0

0 S j

[cos kWj (m′, M ′)]dm′dM ′,

1

~

~

~

~

Bj =

∫∫′

[sin kWj (m′, M ′)]dm′dM ′.

S′

0 S j

Деформация волнового фронта, обусловленная наличием в массе стекла свили, характеризуется величиной и формой.

Нитевидная свиль может представлять собой прозрачное включение с резко отличающимся показателем преломления от показателя преломления основной массы стекла или с плавным изменением в поперечном сечении его. Для конкретизации анализа влияния свили на деформацию волнового фронта будем считать, что все многообразие форм деформации заключено между полосой постоянной деформации и полосой плавного изменения деформации

волнового фронта от края к середине поперечного сечения свили [45].

− ≤ ~′ ≤

При постоянной деформации волнового фронта при bj m bj и

166

при − hj

~

~

~

′)=W0 j .

≤ M ′ ≤ hj

(4hjbj = S′j ) величина деформации Wj (m′, M

При этом из выражения (4.163) следует, что число Штреля

i(0, 0)=

j=k

2

j=k

2

1− ∑Aj +

∑Bj ,

j=1

j=1

где A =

S′j

(1−cos kW

),

B =

S′j

sin kW .

S0′

S0′

j

0 j

j

0 j

Пусть

W

= 1 λ.

В

этом

случае

число

Штреля

0 j

4

2

j=k

1

j=k

= 1

i(0, 0)=1−

∑S

′j 1

−

∑S

′j

.

При

W0 j

λ

число

Штреля

S0′

S0′

j=1

j=1

2

= 1−

2

j=k

2

j=k

1 S0′ : i(0, 0)= 0 .

i(0, 0)

∑S′j

. При ∑S′j

=

S0′

j=1

j=1

2

Определим форму плавной деформации волнового фронта в

пределах свили функцией вида:

~

~

1

π

~

W

(m′, M ′)

=

W

1

+ cos

b

m′ .

2

j

0 j

~′

≤ b, − h

~

′

≤ h .

Здесь −b ≤ m

≤ M

Подставив это выражение в формулу (4.163), получаем

S′j

1

1

1

π ~

′

~

′

~

′

Aj

=

−

cos

kW0 j

∫∫cos

kW0 j cos

+

S0′

S0′

2

b

m

dm dM

1

1

1

S′j

2

π ~

~

~

′

′

′

+

kW0 j

∫∫sin

kW0 j cos

sin

S0′

2

2

b

m

dm dM

,

S′j

1

1

1

π ~

~

~

Bj

=

sin

kW0 j ∫∫cos

kW0 j

cos

′

′

′

+

S0′

2

2

b

m

dm dM

S′j

1

1

1

π ~

~

~

′

′

′

+

cos

kW0 j ∫∫sin

kW0 j

cos

S0′

2

b

m

dm dM .

S′j

2

Известно [27], что

ν π

Jν (z)=

1

z

2ν

θcos(z cos θ)dθ.

∫sin

1

2

πΓ ν +

0

При ν = 0 :

2

1

π

J0

=

∫cos(z cos θ)dθ.

π

0

167

	1			π ~
Обозначим		kW0 j = z , а			′	= θ. При этом,	учитывая, что
	2			b	m
π
∫sin2νθsin(z cos θ)dθ = 0 ,			выражения, определяющие				коэффициенты
0

Aj

Aj

и Bj , можно преобразовать к виду:

S′j

2

b

h π

~

S′j

[1−cos zJ0 (z)],

Aj

=

−

cos z ∫∫cos(z cos θ)dθdM

′ =

S0′

S0′

π

S0′

−h0

S′j

2 b

h π

~

Bj

=

sin z ∫∫cos(z cos θ)dθdM

′ =

sin zJ0 (z).

S0′ π

S0′

−h0

Переобозначив величины z и θ, получаем

S′j

1

1

S′j

1

1

=

1

−cos

kW0 j J0

kW0 j ,

Bj

=

sin

kW0 j J0

kW0 j .

S0′

2

S0′

2

2

2

При линейном изменении свили от края к середине деформацию волнового фронта можно определить выражением вида:

~′

m

~′

W0 j 1

+

~

~

′)=

b

Wj (m′,

M

~′

~

m

W0 j 1

′

≤ b,

−

при 0 ≤ m

b

)=W0 j .

При−h ≤

% ′

%

′

%

′

М

≤ h: Wj (m , M

В этом случае число Штреля определяется формулой (4.163) при

S

′

(1−sinc kW0 j ), Bj

S

′

kW

kW

Aj =

j

=

j

0 j

sinc2

0 j

,

S0′

S0′

2

2

1

где sinc kW

=

sin kW

.

0 j

kW0 j

0 j

S1′

Пусть,

например,

имеется

одна свиль,

при

этом

= 0,01 и

S0′

W01 = 0,5λ. Если деформация волнового фронта в пределах свили

постоянна,

то число Штреля i(0, 0)= 0,96, а если изменяется от края к

середине

линейно,

то

i(0, 0)= 0,98.

Полученные

соотношения

позволяют оценить влияние формы и величины деформации волнового фронта, обусловленной наличием свили, на качество изображения.

Рассмотренный подход к оценке влияния свилей на качество изображения вполне можно распространить и на оценку влияния

168

локальных включений, отличающихся по показателю преломления от общей массы стекла [29]. Предположим, что границы таких включений имеют вид окружности. Для анализа влияния включений на качество изображения распределение светового возмущения в дифракционной картине изображения осевой точки в параксиальной плоскости удобно определить в полярной системе координат выражением (4.127) в виде:

	′	ika′2				a′	′
	u(r , ϕ)= −		∫∫F(ρ, θ)exp −ik				r ρcos(θ−ϕ)		ρdρdθ.	(4.164)
		2πR′2				R0′
			S	′
		0

η′

Qj

ρρj

θ	ρ0 j				θj
			C
	θ0 j	r	′		′
O′					A
		ϕ				ξ′

Рис. 4.25. Координаты включения стекла круглой формы

Обратимся к рис. 4.25, на котором показана точка Qj зоны j -го включения в полярных координатах (ρ, θ) и (ρj , θj ). Полюсы системы

координат (ρ, θ)	′
	и (r , ϕ) лежат на одной прямой , принятой в качестве
оси, в точке O ,	а полюс C системы координат (ρj , θj )	совмещен с
центром зоны	j -го включения, положение которого	в системе

координат (ρ, θ) определено координатами (ρ0 j , θ0 j ), причем полярные оси обеих систем координат параллельны друг другу.

На этом же рисунке показана точка A′ плоскости изображения, положение которой определяется координатами (r′, ϕ). Из рисунка

следует, что

ρcos(θ−ϕ)= ρ0 j cos(θ0 j −ϕ)+ρj cos(θj −ϕ).

Обозначим θ−ϕ = ψ, θ0 j −ϕ = ψ0 j , θj −ϕ = ψ j . При этом зрачковую функцию в выражении (4.164) можно записать в виде

j=k

F(ρ,ψ) = P0 (ρ,ψ)u′(ρ,ψ) −∑Pj (ρj ,ψj )u′(ρj ,ψj ) +

j=1

169

j=k

′

(4.165)

+∑Pj (ρj ,ψj )u j

(ρj ,ψj ) exp −ikWj (ρj ,ψj )

,

j=1

′

– функция

зрачка

при

отсутствии прозрачных

где P0 (ρ,ψ)u (ρ,ψ)

включений,

Pj (ρj ,ψj )u′(ρj ,ψj )

– функция

экрана, помещенного

на

место

j -ой

зоны

деформации

волнового

фронта,

′

– функция

j -ой

зоны

Pj (ρj ,ψj )u j

(ρj ,ψj ) exp −ikWj (ρj ,ψj )

деформации

волнового

фронта.

Полученные

соотношения

при

u′(ρ,ψ) = u′j (ρj ,ψj ) = u0′ позволяют

выражение (4.164) представить в

виде

ika′2u0′ 1 2π

′

a′

′

u (r

, ϕ)

= −

∫0

P0 (ρ,ψ) exp

−ik

r

ρcos

ψ ρdρdψ +

2πR0′

2

R0′

∫0

iku0′

j

=k

′2

a′

′

+

∑aj

exp

−ik

r ρ0 j cos ψ0 j

×

2πR′

2

R′

j=1

0

0

′

1 2π

a′j

×∫∫

Pj (ρj ,ψj ) exp −ik

r ρj

cos ψj ρj dρj dψj

−

(4.166)

R0′

0 0

iku0′

j

=k

′2

a′

′

1 2π

−

∑j=1 aj

exp

−ik

r

ρ0 j

cos ψ0 j

×

∫∫ Pj (ρj ,ψj ) ×

2πR′2

R′

0

0

0 0

−ikWj (ρj ,ψj ) −ik

a′j

′

ρj dρj dψj .

×exp

R0′

r

ρj cos ψj

Напомним, что

1 2π

d

exp (−iz cos θ)dθ = J0 (z), а

[zJ1(z)] = zJ0 (z).

dz

2π ∫0

Учитывая это, выражение (4.166) можно преобразовать к виду:

%′

j=k

J

(r%′)

′

′ ′2

J1 (r )

′

′2

1

j

%′

%′

u(r ,ϕ) = −iku0 A

%′

+iku0 ∑Aj

exp −ir ρ0 j cos(θ0 j −ϕ) −

r

j=1

rj

iku0′

j=k

′2

%′

−

∑Aj

exp

−ir ρ0 j cos(θ0 j

−ϕ) ×

2π

j=1

1 2π

~′

×∫ ∫Pj (ρj , ψ j ) exp[−ikWj (ρj , ψ j ) −ir

ρj cos ψ j ]ρj dρj dψ j ,

0

0

a′j

′

=

a′

′

=

,

.

где A

R0′

Aj

R0′

В осевой точке параксиального изображения имеем

170