itmo352

Соединим точку B с точками A0 и A0′ линиями, которые с осевой

линией, принятой за оптическую ось, образуют углы α и α′ соответственно. При этом

	h						h		′
	s0
		= tgα,		а			s0′ = tgα			.
В вычислительной оптике тангенсы углов принято обозначать
просто углами. Тогда формулу (4.10) можно записать в виде:
					′	− n
	′	′	− nα = h		n			,		(4.11)
n α						r

где h = s0α = s0′α′.

Положение и величину предмета определим произвольной длины отрезком A0 Al = −l , проведенным через точку A0 перпендикулярно к

оси. Проведем линию (луч) из точки Al через центр кривизны C

сферической преломляющей поверхности до пересечения с линией, проходящей через точку A0′ перпендикулярно к оси, в точке Al′′ , как

показано на рис. 4.2б. Отрезок A0′Al′′ = l′ определяет положение и величину изображения предмета A0 Al , образованного преломляющей поверхностью. В соответствии с рисунком из подобия треугольников

A СA и A′СA′′

следует, что

0

l

0

l

l′

=

s0′ − r

=V ,

(4.12)

l

s0 − r

0

где

V0

– поперечное увеличение изображения. Используя

формулу

(4.10), соотношение (4.12) легко преобразовать к виду:

V =

ns0′

=

nα

.

(4.13)

n′s0

n′α′

0

Реальный световой луч, выходящий из осевой точки A0

предмета

под углом −σ к оси пересекает сферическую поверхность в точке N ,

′

после преломления в которой пересекает осевую линию в точке A

под углом

′

′

s

′

определяет продольную

σ

к оси. Отрезок A0 A = −

сферическую аберрацию в изображении точки. Первый член в разложении функциональной зависимости продольной сферической аберрации от задней числовой апертуры n′sin σ′ в степенной ряд (первичная сферическая аберрация) при α′ =1 определяется выражением вида [25]:

	′	1		2 ′
		′hPsin			(4.14)
	sIII = −			σ ,
		2n

71

							2
где h = s′α′ = s′		; P =		α′−α				α′	−	α
				1		1				.
0	0				−			n′		n
				′		n
			n
Пусть центр входного зрачка расположен в точке Cp . Проведем
из точки	Al	через		точку				Cp	линию, образующую угол −β с

оптической осью, до пересечения в точке T с линией, касательной к вершине Осферической поверхности, на высоте H от оси. Линия TAl′′

проходит через центр C′p выходного зрачка (на рисунке не показан), образуя угол β′ с осью. Осевая линия внеосевого светового пучка

лучей, исходящего из произвольной точки предмета, проходящая через центр Cp входного зрачка, называется главным лучом пучка.

Крайние лучи внеосевого пучка, проходящие через края входного зрачка, пересекаются в некоторой точке в пространстве изображений, как правило, не лежащей на главном луче. Расстояние от главного луча до точки пересечения крайних лучей определяет аберрацию, называемую меридиональной комой, первичная величина которой при α′ =1 и β =1 равна

δgk′III

= −

3

(HP − JW )tgw sin2 σ′,

(4.15)

2n′

α′−α α′

α

где H = sР β = sР

;

W =

−

J

– инвариант

Лагранжа-

1

1 ′

;

−

n

n

′

n

n

y

′

′

′

tgw

y – линейная величина

Гельмгольца:

;

= s

− s

,

J = nαl = n α l

Р

предмета.

0

при P = 0

Из выражения (4.14) следует,

что

поперечная

сферическая

аберрация

s′III

= 0 .

Но

при

P = 0 , как

следует из

выражения (4.15),

и W = 0,

′

а, следовательно, при этом и δgkIII = 0 .

Вполне очевидно, что P = 0 и W = 0 в двух случаях. Рассмотрим их.

1. Пусть

α′

α

= 0 .

В

этом

случае

поперечное

увеличение

′ −

n

изображения

n

n2

ns0′

V =

nα

=

=

.

(4.16)

′ ′

0

′2

′

n α

n

n s0

72

Отсюда находим, что ns0 = n′s0′ . Используя при этом формулу Аббе, получаем

s

=

n′+ n

r .

(4.17)

0

n

2.

′

α = 0 . В этом случае

Пусть α −

V

=

nα

=

n

=

ns0′

.

(4.18)

n′α′

n′

0

n′s0

При этом s0 = s0′ = r .

(4.19)

Итак, в изображении предметов, положение осевых точек

которых

относительно сферической поверхности

определяется

′

= 0

′

формулами (4.17) и (4.19), первичные аберрации sIII

и δgkIII = 0 .

Такие точки принято называть апланатическими точками сферической поверхности первого и второго типа [18, 19] соответственно.

Заметим, что s′III = 0 и при h = 0 . Из выражения (4.15) следует,

что

HP − JW =W α′−α H − J .

1′ − 1 n n

Но при h = 0 инвариант

J = nαl = nα(sР − s0 )β = nαH −nhβ = nαH .

Тогда

HP − JW = HW α′−α − nα = − n′α′− nα nHW .

1′ − 1 n′− n n n

Следует обратить внимание, что при h = 0 угол α равен углу падения луча на поверхность. При этом в соответствии с законом преломления n′α′ = nα. Следовательно, при h = 0 выражение

HP − JW = 0

и, следовательно, δg′kIII = 0 .

При h = 0 положение осевой точки предмета относительно сферической поверхности определяется отрезком s0 = s0′ = 0 . Такую

точку называют апланатической точкой третьего типа. Сферические поверхности, формирующие апланатическое изображение точки, называют апланатическими поверхностями соответствующего типа.

73

		−ε	N
			−ε′
			γ				′	′
A	−σ							A
		O		C	σ	′	A	0
	− s0		r				−	s′
			q0			−q0′

s0′

Рис. 4.3. Сферическая аберрация в изображении точки, образованной сферической поверхностью

На рис. 4.3 показан ход луча из осевой точки A в пространстве предметов через сферическую поверхность радиуса r , разделяющую среды с показателями преломления n и n′, в осевую точку A′ в пространстве изображений. Применив теорему синусов к треугольникам ANC и CNA′, имеем

r sin ε = q0 sin σ,						(4.20)
	′ ′			′		(4.21)
r sin ε = q		sin σ .			′
			′
Но nsin ε = n sin					ε . Тогда
			′ ′		′	(4.22)
nq0 sin σ = n q				sin σ .
Отсюда находим, что
q′ =	nsin σ
			q0	=Vq0 ,
	′	′
	n sin σ
где V – поперечное увеличение изображения предмета.
При этом величина продольной сферической аберрации в
изображении точки A равна
s′ = s′− s0′ = q0′ − q′ = (V0 −V )q0 .						(4.23)

В соответствии с рисунком имеем σ′ = γ + ε′ = σ+ε′−ε. Тогда sin σ′ = sin σcosεcosε′+sin σsin εsin ε′−cos σsin εcosε′+

+ cosσcosεsin ε′.

Соотношение (4.20) с учетом закона преломления позволяет преобразовать полученное выражение к виду

~	ψ	−1		,																						(4.24)
V = n
%%2			sin		2	σ+ 1		%2	sin			2	σ			%2 %2	sin			2	σ +
где ψ = nq0								−q0							1−n q0								σ), n =
						2	σ(n			2				2				2		2		2		n			q0
+ q0	1	−sin						1−q0			sin				σ −	1−n			q0		sin				,	q0 =		.
%							%		%								%		%				%	n′		%	r

74

Разложив выражение (4.24) в ряд Маклорена и подставив его в формулу (4.23), получаем

s′ = q0 (a3 sin2 σ + a5 sin4 σ+ a7 sin6 σ+ a9 sin8 σ+K),

(4.25)

1

~

~

~

~~

1− n

где a3

=

V0

q0

(1− q0 )(1+ nq0 ),

2

~

n

a

=

1

αa

− a

2 ,

5

4

3

3

a =

1

βa −

1

αa2

+ a3 ,

7

8

3

2

3

3

(4β+ α2 )a

3

a =

1

γa −

1

2

+

αa3

− a4

,

9

64

3

16

3

4

3

3

a11 =K;

~3

~

~

~2

1− n

α =1+(1− n )q0

+

q0

,

1

~

− n

~5

~~2

~3

~3

~4

1− n

β = α − nq0 + (1− n

)q0

+

q0 ,

~

1− n

~3

~5

~5

~7

~6

~~2

~

~

~4

1− n

1− n

γ = 5

β+

(1− n

)q

+

q

− nq

α + n

2n

−3

q

+

0

~

~

0

0

0

1− n

1− n

~

~

~

~3

~5

1− n

+ n(1− n ) n

+

q0

;

1

~

− n

~

V0

=

n

.

~

~

1+(n

−1)q0

Важно отметить, что выражения, определяющие коэффициенты степенного ряда, зависят не только от положения предмета относительно преломляющей сферической поверхности, но и от показателей преломления разделяемых преломляющей поверхностью сред. Заметим, что при a3 = 0 (например, для апланатических точек),

обращаются в ноль и все остальные коэффициенты выражения (4.25). Сочетание двух преломляющих поверхностей сферической формы образует простейшую оптическую систему в виде линзы.

Оптическая сила отдельной линзы в воздухе равна:

								2
ϕ =	1		1	−	1		+	(n −1)	d	,	(4.26)
	f ′	= (n −1)						nr1r2
		r1			r2

где f ′ – фокусное	расстояние линзы; n – показатель преломления
материала линзы;	r1, r2 – радиусы кривизны первой и второй

75

преломляющей поверхности соответственно; d – расстояние между поверхностями вдоль линии, проходящей через центры кривизны поверхностей и называемой оптической осью линзы.

Обычно d <<					f ′			.	Поэтому в первом приближении принимаем
d ≈ 0. При этом формула (4.20) принимает вид:
				1
	1
		− r							(4.27)
ϕ = (n −1) r						.
1				2

Пусть расстояние от тонкой линзы до осевой точки предмета равно a , а от линзы до осевой точки изображения равно a′. При этом положение предмета и изображения относительно тонкой линзы (или до некоторой оптической системы любой сложности, представленной главными плоскостями) определяется формулой отрезков в виде:

1	−	1	=	1	.	(4.28)
a′		a
				f ′

Вполне очевидно, что в случае тонкой линзы, образованной апланатическими поверхностями (т.е. в случае апланатического мениска), отрезки a и a′ определяются величинами одного знака. Следовательно, апланатический мениск образует мнимое изображение действительного предмета или действительное изображение мнимого предмета, сформированного предыдущей системой. В общем случае надо иметь действительное изображение действительного предмета. Поэтому в любой оптической системе хотя бы одна из поверхностей не должна удовлетворять условию апланатической коррекции аберраций в образованном изображении.

Для тонкой линзы, заданной углами α1 =V0 , α2 = α, α3 = α′ =1,

радиусы кривизны поверхностей определяются формулой (4.11) при

h1 = h2 = h =V0 s0 = s0′ (при d = 0), т.е., по сути дела, форма поверхностей (или «прогиб» линзы) определяется углом α.

Первичная сферическая аберрация и первичная кома в изображении, образованном тонкой линзой в воздухе, при α′ =1 равны

′	= −	1		hPsin	2	′	(4.29)
sIII		2				σ ,
δgk′III	= −	3		(HP − JW )tgw sin2 σ′,			(4.30)
		2

где P = P1 + P2 , W =W1 +W2 ,

76

2

α

i+1

−α

i

α

i+1

α

i

α

i+1

−α

α

i+1

α

Pi =

− n

Wi =

i

− n

i

1

1

n

;

1

1

n

;

−

i+1

i

−

i+1

i

n

+1

n

n

n

i

i

i+1

i

′ ′ ′

′

′

′

J = n α l

=1 1 (sР

− s0 )β .

При α1 = 0, α2

= α и α3 = α′ =1 имеем:

h = f ′;

(1−α)2

P =

α2

α

+

−

α

=

1

1

2 n

1 2

−

n

1

1−

(4.31)

n

n

= n

2 + n

α

2

−

1+ 2n

α +

n

.

2

+ n

2

(n −1)2

+ n

Найдем значение угла α, при котором величина P принимает минимальное значение Pmin . Для этого возьмем первую производную

по α от выражения (4.31) и приравняет ее нулю. В результате получаем

∂P	= n	2 + n		1+ 2n
			2α −			= 0 .
∂α		(n −1)2
				2 + n

Отсюда находим, что значение угла α, при котором величина P принимает экспериментальное (минимальное) значение, равно

	αextr	=		1+ 2n
					.
				2(2 + n)
	Подставив это значение угла α в выражение (4.31) и
	преобразовав его, получаем
	P	=		n(4n −1)			.	(4.32)
			4(2 + n)(n −			1)2
	min

Используя выражения (4.31) и (4.32), преобразуем правую часть тождестваP = Pmin + P − Pmin к виду [43]:

P = P

+

n(2 + n)

α −

1+ 2n

2

(n −1)2

min

2(

2 + n)

или P = P

+ q(α −α

)2 ,

(4.33)

где P

=

min

n(4n −1)exh

, α

=

1+ 2n

, q =

n(2 + n)

.

4(2 + n)(n −1)2

2(2 + n)

min

exh

(n −1)2

77

Отсюда следует, что при α = αexh величина P = Pmin . При этом выражение (4.29) для этого случая можно записать в виде:

s′III min = −12 f ′Pmin sin2 σ′,

где Pmin > 0. Таким образом, изображение, образованное тонкой

положительной линзой, всегда обладает отрицательной сферической аберрацией. В свою очередь, величина Pmin достаточно сильно

зависит от показателя преломления материала линзы. Так, например,

при	n =1,5 Pmin ≈ 2,143, при n = 2	Pmin = 0,875 , а при n = 4 (для
излучения в ИК области спектра)		Pmin ≈ 0,278. Кривая зависимости
Pmin	= Pmin (n) показана на рис. 4.4.

Pmin

2,0

1,0

												n
	1,5	2,0		2,5		3,0		3,5		4,0

Рис. 4.4. Кривая зависимости Pmin = Pmin (n)

Заметим, что при β =1 инвариант J в выражении (4.23) равен:

J = n′α′l′ =1 1 (−β f ′)= − f ′.

Будем считать, что входной зрачок расположен непосредственно

на тонкой линзе,						т.е. будем считать, что H = 0. При этом выражение
(4.30) принимает вид:
′	= −		3			′			2	′
δgkIII			2		Wf tgw sin				σ
или
		3
′	=				′		2	′		(4.34)
δgkIII		2		Wy sin				σ ,

где y′ – величина изображения в фокальной плоскости тонкой линзы.

78

Здесь W

=W1

+W2

α α

1−α

α

n

n +1

=

+

1−

=

−

α. (4.35)

1

n

1

n −1

n −1

−1

1−

n

n

n

Отсюда следует, что

α =

n

−

n −1

W .

(4.36)

n +1

n +1

n

При W = 0 получаем α =

. Если вторая поверхность линзы –

n +1

1

′

плоская,

то при

α

=1 угол

α = n ;

при этом получаем уравнение

n2 −n −1 = 0, решив которое находим, что n =1,61803. Таким образом, при n <1,61803 будем иметь двояковыпуклую линзу, а при n >1,61803 – положительный мениск.

Заменив угол α в выражении (4.33) соотношением (4.36), в

	результате последующих преобразований получаем
	P = P	+	n(2 + n)	W −	1 2		(4.37)
					2(2 + n)
	min		(n +1)2
	или		n(2 + n)
	P = P	+		(W −W )2 ,			(4.38)
	min		(n +1)2		0

где W0 – значение W при P = Pmin . Отсюда следует, что чем больше n, тем меньше W0 и тем меньше Pmin .

Однако, на качество изображения влияют не только сферическая аберрация и кома, но и астигматизм световых пучков лучей, формирующих изображение, кривизна поверхности изображения и дисторсия, которая формально на качество изображения не влияет, но определяет искажение формы изображения предмета.

79

Aω

		A0ω
y0					−q0′
	A0	O		ω			A0′
		− s0	r	C
			q0				− y0′
					′
					Aω0
				s0′	A0′ω
							′
							Aω

Рис. 4.5. Пецвалева кривизна поверхности изображения, образованного сферической поверхностью

Обратимся к рис. 4.5, на котором показана сферическая

поверхности, разделяющая среды с показателями преломления n и n .

′

′

осевой точки A0 предмета

Положение идеального изображения A0

определяется формулой Аббе

1

1

′

1

1

− r

− r

n s0′

= n s0

.

(4.39)

Вполне

очевидно,

что

при смещении

точки A0 в плоскости

рисунка

по

окружности,

концентричной

центру кривизны

C

сферической

поверхности,

в положение

A0 ω ее изображение

′

A0ω

будет расположено в точке пересечения продолжения линии A0ωC с окружностью, концентричной точке C и проходящей через точку A0′. Линия, проходящая через точки A0′ω и C , пересекает плоскость, перпендикулярную оптической оси и проходящую через точку A0 , в

точке		Aω		на		расстоянии, равном				y0 от оси, а плоскость,
										′
перпендикулярную оптической оси и проходящую через точку A0 ,
								′		′
пересекает в точке Aω									на расстоянии, равном − y0 от оси. Из рисунка
следует, что					y0′	=	q0′	,	где q0 = r − s0 , а q0′	= r − s0′ . Применив формулу
					y0
							q0
Аббе, получаем
	q0′	=	ns0′		=V .					(4.40)
	q0		n′s0			0

80