itmo352

n′

1

2

n′

) −

1

1+ 2

)

(y − y

ds =

(y

− y

0

2

0

2 dy ≈

n0

n0

1

1

n′

) 2

n′

) −

≈

+

(y − y

0

(y

− y

0

2 dy.

n0

n0

В соответствии с формулой (4.113) имеем

n= n0 1+ n′ (y − y0 ) .

n0

Тогда

				1				n′					)	2 2			n′				) −	1
	nds = n					+			(y − y			0						(y	− y			2 dy ≈
			0					n0												0
															n0
		1			n′						) 2				n′				) −		1
	≈ n		+	2			(y − y			0						(y − y					2 dy.
	0				n0										n0				0

При этом

	s		y	2	n′
	∫l	nds = n0	∫l			(y −
					n
	0		y		0
			0
					1

=n0 2 n0′ (yl − y0 ) 2

n

−1

y

n′

1

y0 )

2 dy + n0

∫l

2

(y − y0 ) 2 dy =

n

y

0

0

1

+

2 n

(y

− y

0

)

2

n′

(y

− y

) 2 .

3

0

l

l

0

n0

Используя		соотношение (4.116), это
преобразовать к виду:
sl	1		n′			2		3
∫nds = n0l +		n0					l		.
	3		n2
0			0
Согласно соотношению (4.117) имеем:
получаем
s				1
W = ∫l nds − n0l =					n0lyl′2 .
0			3

выражение можно

yl′ = n′ l . В результате n0

(4.119)

Вполне очевидно, что если луч входит в среду под некоторым углом, как, например, в расходящемся или сходящемся пучке, т.е. если y0′ ≠ 0 , то вывод расчетных формул будет аналогичен

приведенному. При сильно меняющемся распределении показателя

141

преломления n(y) в уравнение (4.113) следует ввести члены более

высокого порядка.

Если предположить, что показатель преломления плавно изменяется от центра заготовки к краю, то в первом приближении его

	можно описать выражением
		n = n +			1	D2 Aρ2 ,	(4.120)
		0		4
		1
	где		D2ρ2	= x2 + y2 , 0 ≤ ρ ≤1. Вполне очевидно, что при x = 0 и x0′ = 0
		4
							yz . При этом выражение
	траектория луча будет лежать в плоскости
	(4.120) удобно записать в виде:
		n = n + Ay2 .					(4.121)
		0

Для заготовок оптического стекла диаметром более 150 мм неоднородность показателя преломления, возникающая в процессе его отжига, характеризуется параметром Kф , а ассиметрия

неоднородности – параметром K . Положив Kфλ ≈ (n − n0 )d , где d –

толщина заготовки стекла, при y = 12 D получаем n = Kdфλ + n0 = n0 + 14 AD2 .

Отсюда находим, что A = D42 d Kфλ. При этом

n = n +	4λ	K		y2 .	(4.122)
	D2 d
0			ф

Как показали исследования В.С. Доладугиной [22], для большинства заготовок изменение показателя преломления стекла несимметрично относительно оси заготовки. Учитывая это обстоятельство, показатель преломления стекла заготовки определим уравнением вида:

n = n + Ay + By2 ,

(4.123)

0

где

B =

4λKф

. При

y =

1

D : n

= n +

1

AD +

1

BD

2

; при

y = −

1

D

:

D2 d

2

+

0

2

4

2

n = n −

1

AD +

1

BD2

. Положив

Kλ = (n − n

)d = ADd ,

находим,

−

0

2

4

+

−

что A =

Kλ

. В результате уравнение (4.123) принимает вид:

Dd

142

n = n

+

λ

Ky +

4λ

K

y2 .

(4.124)

Dd

D2d

0

ф

отрезок l = d , получаем:

Положив

в

формуле

(4.119)

yl′ =

n′

d

d

K λ

Kф λ

d =

( A +

2

Вy) =

+8

y

. При Kф = 0 имеем

n0

n0

Dd

2

d

n0

D

1 d λ

2

W K =

K .

3 n0 D

В общем случае естественно предположить, что распределение значений показателя преломления в массе стекла заготовки носит весьма произвольный характер. Однако, изменения показателя преломления достаточно малы, а, следовательно, малы и отклонения оптических путей световых лучей от номинального, т.е. малы деформации волнового фронта. Последнее обстоятельство определяет возможность интегральной оценки их влияния на качество изображения.

Рассмотрим центрированную оптическую систему, образующую изображение точечного источника монохроматического излучения P0 , как показано на рис. 4.18 [35]. Выберем начало декартовой

системы координат в месте параксиального изображения точки P0 , т.е. в точке P0′, при этом ось z′ направим вдоль луча C′P0′, где C′ – центр выходного зрачка. Ось y′ расположим в меридиональной плоскости, т.е. в плоскости, в которой расположена точка P0 и оптическая ось системы. Обозначим через y0 и y0′ расстояния от оси до точек P0 и P0′ соответственно. Деформацию волнового фронта (отклонение от сферы) в области выходного зрачка опишем функцией

аберраций или аберрационной функцией W . Пусть	~
	Q′ и Q′ – точки

пересечения луча в пространстве изображений с волновым фронтом, проходящим через точку C′, и с опорной сферой Гаусса соответственно. Если предположить, что показатель преломления

среды в	пространстве изображений равен		единице, то волновая
аберрация	W определяется расстоянием	~′	′	, измеренным вдоль
		Q Q

луча (на рисунке W > 0).

143

	Выходной			x′
	зрачок	y′
		R′		P′ z′
	Q′			P0′
y0	~	R0′		y0′
	Q′
	C′	Опорная		O′

	Волновой	сфера
	фронт
		Гаусса

Рис. 4.18. Аберрации в изображении точки

′

′ ′

,

Пусть R0 – радиус опорной сферы Гаусса,

равный отрезку C P0

R′

– расстояние

между

точкой

Q′ и произвольной точкой P′,

расположенной вблизи точки P0′. Возмущение в точке Q′

описывается величиной

Aexp[ik(W − R0′)]

,

R0′

где

A

′

R0′ – амплитуда светового

возмущения в

точке Q

. Согласно

принципу Гюйгенса-Френеля возмущение в точке P′ равно

u(P′)= −

i

Aexp(−ikR0′ )

∫∫exp[ik(W + R′)]dS ,

(4.125)

λ

R0′

S

R′

где интегрирование проводится по той части опорной сферы Гаусса, которая открыта выходным зрачком, при этом предполагается, что смещение точки P′ относительно точки P0′ невелико. Кроме того,

предполагается, что амплитуда световых колебаний на поверхности волнового фронта практически постоянна, т.е. коэффициент A можно вынести из-под знака интеграла.

Пусть

a

′

– радиус выходного зрачка, а

′ ′

′

и

′ ′

′

–

ξ , η

, ζ

x , y , z

координаты точек Q′

и P′ соответственно, при этом

′

′

′

′

sin ϕ,

ξ

= a

ρsin θ,

x

= r

′

′

y

′

′

cos ϕ.

η = a

ρcos θ;

= r

Можно показать [26], что в этом случае

144

′

′

′

1

′

2

R′

′

+

0

,

k(R

− R0 )= −v ρcos(θ−ϕ)−

2

u ρ

u

a′

где u′

и v′

– «оптические координаты» точки P′, т.е.

′

2π

a

′

2

′

′

2π

a

′

′2

′2

u

=

,

=

x

+ y

.

λ

R0′

z

v

λ

R0′

′

′

′

′

При z

′

= 0 : k(R

′

′

′

ξ x

+ η y

. При этом

− R0 )= −v ρcos(θ−ϕ)= −k

R0′

exp(ikW )

i

A

′

′

′

′

′

′

)= −

∫∫

ξ x

+ η y

′

′

(4.126)

u(x

, y

λ

R0′

R′

exp −ik

R0′

dξ dη .

S

Для выбранной точки y0′

величину W удобно рассматривать как

функцию ρ и θ: W =W (ρ, θ). Элемент поверхности опорной сферы

Гаусса dS = a′2ρdρdθ.

Интегрирование в этом случае выполняется в

пределах:

0 ≤ ρ ≤1,

0 ≤ θ ≤ 2π.

Кроме

того,

для

точек P′,

расположенных вблизи точки P0′, величину R′, стоящую в знаменателе подынтегрального выражения, можно заменить на R0′.

В результате изложенного получаем

u(P′)= u(u′, v′,

ϕ)= −

i Aa′2

R′

2

exp i

0

u′

×

λ

R′2

a′

0

(4.127)

1 2π

1

′

′ 2

×∫ ∫ exp i kW

(ρ, θ)− v ρcos(θ−ϕ)−

2

u ρ

ρdρdθ.

0 0

При этом интенсивность (освещенность) света в точке P′ равна

E (P′)= u (P′)u (P′)=

Aa′2 2

1 2π

′

1

′

2

θ

2

=

λR0′

2

∫∫exp i kW (ρ, θ)

− v ρcos(θ−ϕ)−

2

u ρ

ρdρd

.

0 0

′

′

= 0)

В

точке

параксиального

изображения

0, u

при

(v =

W (ρ, θ)= 0 имеем

E0 (0)=

Aa′2 2

1 2π

2

2

Aa′2

2

∫ ∫ρdρdθ

= π

2

2

λR0′

λR0′

.

0 0

Распределение интенсивности в изображении точки принято характеризовать нормированной величиной, равной отношению:

145

′

)=

E (P′)

1

1

2π

′

E

(P′) =

π2

i(P

∫∫exp{i kW (ρ, θ)− v ρcos(θ−ϕ) −

0

0

0

−

1

′ 2

ρdρdθ

2

.

2

u ρ

В отсутствие аберраций интенсивность света максимальна в точке параксиального изображения. При наличии же аберраций максимум интенсивности в общем случае может сместиться из точки параксиального изображения в другую точку. Практический интерес представляет максимальная величина нормированной интенсивности и ее положение в определенной плоскости наблюдения. Эту величину называют числом Штреля или определительной яркостью. В отсутствие аберраций число Штреля i (0,0)=1.

Предполагается, что допустимая оптическая неоднородность оптического стекла не приводит к заметному ухудшению качества изображения, образованного оптической системой, т.е. не вносит больших деформаций волнового фронта. Рассмотрим влияние малых волновых аберраций на число Штреля. Световое возмущение в

параксиальном

изображении

точки, т.е. при x′ = 0 и

y′ = 0 , в

соответствии с формулой (4.127) определяется выражением

i Aa′2

R′

2

1 2π

u(0, 0)= −

exp i

0

u′

∫ ∫exp(ikW )ρdρdθ.

(4.128)

λ

R′

2

a′

0 0

0

Как известно, показательную функцию можно представить

степенным рядом вида [5]:

xn

exp x =1+

x

+

x2

+K+

+K.

1!

2!

n!

При этом выражение (4.128) можно представить в виде:

	i Aa′2						R′	2		1 2π			1	2
u(0, 0)= −					exp i		0		u′	∫ ∫ 1		+ ikW +		(ikW )
	λ		R′	2			a′						2
										0 0
		0

Пусть W n – среднее значение n -й степени W , т.е.

1				2π
			∫ ∫W nρdρdθ				1	1 2π
		n =	0	0		=		∫ ∫W nρdρdθ. Тогда
	W
				1	2π		π
				∫ ∫ρdρdθ				0	0
				0	0

+K ρdρdθ.

146

u (0, 0)= −i

π Aa′2

R′

2

1

2 exp

i

0

u′

1

+ikW −

k2W 2

+K .

λ R′

a′

2

0

Освещенность в параксиальном изображении точки равна

E (0, 0)= u (0, 0)u (0, 0)=

π Aa′2 2

1

2

2

1

2

2

=

+ikW −

λ R0′

2

1

2

k W

+K 1−ikW −

2

k W

−K .

В том случае, когда волновые аберрации настолько малы, чтобы

можно было пренебречь величинами

в степени выше второй,

kW

получаем

π Aa′2 2

1

2

2

2

1

2

2

E (0, 0)≈

+ikW

−

−ikW

+(kW )

−

λ

R0′

2

1

2

k W

2

k W

=

′2

2

2

1

−k2W 2 +(kW )

.

=

π Aa2

λ

R0′

При

W ≡ 0:

E

(0, 0)=

π Aa′2 2 .

При

этом

нормированная

0

λ R0′

2

освещенность в параксиальном изображении точки равна

i(0, 0)=

E(0, 0)

=1 − k 2 [

2

−(

)2 ].

(4.129)

W

W

E0 (0, 0)

Определим среднеквадратическую деформацию волнового фронта

1 2π

1

2

∫ ∫

[W (ρ,

θ)−W ]2 ρdρdθ

W

=

0

0

=

1 2π

скв

∫ ∫ρdρdθ

0

0

1

1 2π

1 2π

1 2π

1

2

2

=

∫ ∫W 2 (ρ, θ)ρdρdθ− 2W ∫ ∫W (ρ, θ)ρdρdθ+ (W )

∫ ∫ρdρdθ

=

π

0

0

0 0

0 0

1

1

= [

2 − 2(

)2 + (

)2 ]2

= [

2 −(

)2 ]2

.

W

W

W

W

W

Полученный результат позволяет придать формуле (4.129) вид известной формулы Марешаля [34]

~			2π 2			2
i(0, 0)= E	(0, 0)≈1	−			W		.	(4.130)
			λ
					скв

147

Таким образом, в случае малой величины аберраций в соответствии с формулой Марешаля число Штреля определяется квадратом среднеквадратической деформации волнового фронта.

Согласно правилу четверти волны Рэлея качество изображения можно считать достаточно совершенным, если максимальная

деформация волнового фронта		W		max	≤ λ	. Следуя Марешалю,
					4

принято считать качество изображения достаточно совершенным, если нормированная освещенность (число Штреля) не менее 0,8. Из

формулы (4.130) следует, что в этом случае Wскв ≤14λ .

4.11.3. Требования к двойному лучепреломлению

Однородное по составу и структуре стекло представляет собой вполне изотропную среду. Однако, даже при весьма длительном отжиге стекла в нем наблюдаются остаточные напряжения, в результате чего от природы в оптически изотропном стекле возникает оптическая анизотропия, которая проявляется в двойном лучепреломлении. Двойное лучепреломление проявляется в том, что при падении световой волны на анизотропную среду в ней возникают две волны с взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации.

Скорость распространения одной волны не зависит от направления распространения и определяется показателем преломления n0 (обыкновенный луч), а скорость распространения

другой волны зависит от направления распространения и в некотором направлении определяется показателем преломления ne

(необыкновенный луч). Максимальная абсолютная величина разности показателей преломления ne − n0 служит числовой характеристикой

двойного лучепреломления. При прохождении светом расстояния l в рассматриваемой среде разность оптических путей δ = (ne − n0 )l .

Категория стекла по двойному лучепреломлению определяется

разностью оптических путей в нм						при прохождении светом пути
l =1 см. При этом	n − n = δ			нм	=10−7 δ(нм).
	e	0	l см
Известно, что	ортогональные					колебания не интерферируют.

Следовательно, при наложении изображений, образованных обыкновенными и необыкновенными лучами, складываются интенсивности. При разности показателей преломления, равной δn, расстояние между плоскостями изображений бесконечно удаленного

148

предмета, образованных тонкой линзой, в соответствии с формулой

(4.95) равно
= −		δn		f ′.
		n −1						=10−7 δ(нм), а n = n(λe), получаем
Положив δn = n −n
		n −n				e	0	10−7
= −						f	′ = −			δ(нм) f ′.
		e		0
		n(λe) −1						n(λe) −1

Плоскость наблюдения изображений естественно расположить между ними на равном расстоянии от каждого из них. При этом

	0	= −	1	=	5 10−8		δ(нм) f ′.
			2		n(λe) −1

Зная допустимую величину отрезка 0 , находим значение δ(нм),

по которому выбираем категорию стекла по двойному лучепреломлению.

4.11.4. Требования к показателю ослабления оптического стекла

Спектральный коэффициент пропускания τλ для монохромати-

ческого излучения длины волны λ определяется отношением потока излучения Φλ , прошедшего оптическую систему, к вошедшему в нее

потоку Φλ0 : τλ = Φλ . В общем случае

Φλ0

τλ = τλρRλτλl ,

(4.131)

где τλρ – коэффициент пропускания, обусловленный потерями потока

в результате отражения на k	просветленных и	непросветленных
		i=k
преломляющих поверхностях	раздела двух сред:	τλρ = ∏(1−ρλi );
		i=1
ρλi – коэффициент отражения	светового потока	от поверхности

раздела двух сред; коэффициент отражения потока от поверхности, разделяющей стекло и воздух, с достаточной точностью (без учета

						2
влияния угла падения) можно считать равным	ρ		=	nλq −1			, где
		λi	n		+1
			λq

nλq – показатель преломления стекла q -ой линзы для длины волны λ.

149

Если Rλj – коэффициент отражения зеркального покрытия j -ой отражающей поверхности, то для ρ отражающих поверхностей коэффициент отражения равен:

j=p
Rλ = ∏Rλj .
j=1
При этом выражение (4.131) можно представить в виде
j=p	i=k	−ρλi ).
τλ = τλl ∏Rλj ∏(1			(4.132)
j=1	i=1

В этом выражении τλl – коэффициент пропускания материала

q=m

линз оптической системы, причем для m линз имеем: τλl = ∏τλlq .

										q=1
Как было показано,
lg	1	= −lg τ	λlq	= μ	l	q	= D	,
	τλlq				λq		λq
где Dλq – оптическая					плотность				стекла	q -ой линзы толщиной
lq = dq	(в см); величину						μλq		принято	называть показателем

ослабления излучения длины волны λ при толщине его слоя 1 см. Используя формулу (4.132), общий коэффициент пропускания

оптической системы можно определить суммарной оптической

	плотностью системы в виде:
	Dλ = Dλl + DλR + Dλρ ,						(4.133)
	q=m	j=p					1
	где Dλl = ∑μλdq ; DλR = ∑DλRj ,					DλRj = lg		;
	q=1	j=1					Rλj
	i=k				1
	Dλρ = ∑Dλρj	, Dλρj = lg				.
			1		−ρλi
	i=1

В соответствии с ГОСТ 23136-93 [9] требования к стеклу по показателю ослабления излучения определяют восемь категорий, характеризуемых предельными значениями показателя ослабления μA для источника излучения A . Категорию стекла по показателю

ослабления выбирают, исходя из требований к пропусканию оптической системы, характеризуемому коэффициентом τ. В том случае, когда оптическая система состоит из малого количества сравнительно тонких линз, нет необходимости выбирать высокую категорию стекла по μA . Примером таких систем могут служить

объективы простых зрительных труб, фотообъективы. В случае

150