itmo352

По сути дела, точка

Aω′

определяет положение идеального

изображения точки Aω .

Однако,

при

смещении

точки A0ω в

положение точки

Aω

параксиальное изображение ее смещается из

точки

′

в

точку

′

положение которой определим отрезком

A0ω

Aω0 ,

′

′

Aω0C = −qω0 .

Aω в точке

Aω′ определим

Расфокусировку изображения точки

проекцией

′

отрезка

′

′

на

оптическую ось.

При этом в

ω0

AωAω0

соответствии с рисунком

′ω = q0′ − qω′0 cos ω.

(4.41)

Из формулы Аббе следует, что

q0

= r

n′q0′

,

(4.42)

nr +(n′− n)q0′

q0′

= r

nq0

.

(4.43)

′

′

n r

−(n − n)q0

Но q

=

q0

. Тогда

ω0

cos

ω

nq0

qω′0

= r

.

′

′

n r cos ω−(n

− n)q0

При этом

nq0 cos ω

′ω0

= q0′ − r

.

′

′

n r cos ω−(n − n)q0

Заменив в этом выражении отрезок q0 соотношением (4.42) и

преобразовав его, получаем

′

− n

1

−tg2 ω

n

2

2

′ω0

= −

y0′

.

(4.44)

2nr

1−

n′− n

y0′tg ω

nr

2

При малой величине угла ω можно принять

′ω0

≈ −

n′− n

y0′2 .

(4.45)

2nr

′ω0

определяет кривизну поверхности изображения,

Величина

которую называют первичной (или пецвалевой) кривизной, равной Z′p , причем Z′p = ′ω0 .

Пусть рассматриваемая поверхность – одна из k поверхностей, образующих оптическую систему. Кривизна поверхности изображения Z′pν , образованного ν-ой сферической поверхностью,

81

соответствует кривизне поверхности изображения Z′p0ν , образованного всей системой поверхностей, равной

Z′p0ν = Z′pν n′′ ∏k Vs2 ,

nν s=ν+1

где Vs – поперечное увеличение изображения, образованного s -ой поверхностью. Положив в соответствии с формулой (4.45) величину

Z′pν = −	nν′ − nν		y0′2ν , получаем
	2nνrν				n′ y0′2ν ∏Vs2		= − n′ nν′ −nν y0′2 .
Z′p0ν = − nν′ −nν
						k
							2
		2nνrν			nν′	s=ν+1		2nν′nνrν

При этом кривизна поверхности изображения, образованного оптической системой в целом, равна

k

′

k

′

k

1

1

Z′p = ∑Z′p0ν

= − n

y0′2 ∑

nν −nν

= −

1 n′y0′2

∑

1

−

=

n′

ν=1

2

ν=1

n′n r

2

ν=1

r n

ν ν ν

ν

ν

ν

= 1 n′y0′2

k

1 1

∑

r

n

2

ν=

или

1

ν

ν

1

′

= −

′

′2

SIV

,

(4.46)

Z p

2

n y0

где SIV

– коэффициент пецвалевой кривизны (или четвертая сумма

k

1

Зейделя), равный

SIV

= −∑

1

.

Здесь

– символ

Аббе для

ν=1 r

n

ν

ν

разности двух одинакового вида выражений, различающихся только тем, что первое (со штрихом) относится к пространству изображений (к преломленному лучу), а второе – к пространству предметов. Так, например, применяя символ Аббе, закон преломления можно записать в виде: nsin ε = 0 , где nsin ε = n′sin ε′− nsin ε.

Для оптической системы, состоящей из двух преломляющих поверхностей, т.е. для простой линзы, имеем

		1			1 1							1			1 1				1			1		n1		1		1			1 1
SIV = − r								− n				− r				− n			= n				− n r					− n				− r
			n											n							r									r				.
	1				2			1				2			3	2			1			1	3			2		2			1	2
При n1 = n3 =1, n2											= n (для линзы в воздухе)
	n −1							1
SIV =						1
	n							− r
					r						.
					1			2

82

Следовательно, кривизна поверхности изображения, образованного отдельной тонкой линзой в воздухе, в соответствии с выражениями (4.27) и (4.46) равна

Z′p = −12 y0′2SIV при SIV = ϕn .

Кривизна поверхности изображения, образованного оптической системой, состоящей из q тонких линз, определяется коэффициентом

q	ϕ	ν .	(4.47)
SIV = ∑	n
ν=1
	ν

Заметим, что чем больше величина показателя преломления материала линзы, тем меньше кривизна образованного ею изображения.

								′
							′	Aω
						As′	Aω0	′
					′			A
		n			Am	n′		y0′
			−ε	N	σ′ω
	A0			−ε′	C −ω			A0′
			P	O
				γ
− y0
		−σω		r
		− s0			s0′
	A
Рис. 4.6. Схема хода лучей через сферическую поверхность
Будем считать,			что	точка предмета A0 и		ее	параксиальное
изображение		′	образованное		сферической		преломляющей
		A0 ,

поверхностью, определяют положение оптической оси, как показано на рис. 4.6. На следе предметной плоскости, перпендикулярной к оптической оси, на произвольном расстоянии − y0 от точки A0

выберем предметную точку A . Из точки A через точку C проведем прямую линию до пересечения в точке Aω′ со следом плоскости

изображения,	параллельной предметной плоскости		и проходящей
через точку	′	′
	A0 .	Назовем луч AAω , проходящий под углом −ω к
оптической	оси	через центр C сферической	поверхности,

83

центральным главным лучом (ЦГЛ). Точка Aω′0 представляет собой

точку пересечения ЦГЛ с пецвалевой поверхностью изображения. Определим центр входного зрачка преломляющей поверхности

точкой P на оси A0 A0′. При этом главный луч из точки A под углом −σω к ЦГЛ проходит через точку P в точку N сферической

преломляющей поверхности, после преломления в которой направляется в точку A′ плоскости изображения, пересекает ЦГЛ в точке As′, образуя с ним угол σ′ω в пространстве изображений.

Отрезок Aω′0 As′ определяет продольную сферическую аберрацию в изображении точки Aω′0 на линии ЦГЛ.

Качнув главный луч ANA′ вокруг ЦГЛ ACAω′ на бесконечно

малый угол в противоположные стороны, образуем узкий пучок лучей в саггитальной плоскости (в плоскости, содержащей главный луч и нормальной к плоскости рисунка), исходящий из точки A и собирающийся после преломления на сферической поверхности в точке пересечения главного луча с ЦГЛ, т.е. в точке As′. При этом

сагиттальная

составляющая

кривизны

поверхности

изображения

равна проекции отрезка

′

′

′

A As главного луча на оптическую ось

A0 A0 :

′

′

′

′

′

′

′

(4.48)

Zs

= −A As

cos(−ω−σω )= −A As cos(ω+ σω ).

N2

~

′

δgk′

B2

Am

N

′

′

A

Am2

Am1

0

P

N1

C

A

B1

Рис. 4.7. Структура внеосевого пучка лучей

Из внеосевой точки

A предмета через крайние точки входного

зрачка B1 и B2 проведем лучи, падающие на сферическую

поверхность

в

точках

N1

и

N2 , как

показано на рис. 4.7.

После

преломления в этих точках лучи пересекают главный луч в точках

′

Am1

и

′

соответственно

и

пересекаются

в некоторой

точке

~′

на

Am2

Am

расстоянии

′

от главного

луча.

Это

расстояние

определяет

δgk

меридиональную кому в изображении точки A . Вполне очевидно, что

если точки

B1

и

B2 устремить к точке

P ,

то величина

′

будет

δgk

стремиться к нулю, а точки пересечения лучей с главным лучом, т.е.

84

точки	′	и	′	, и точка	~′	сливаются в одну точку	′
	Am1		Am2		Am		Am ,

расположенную на главном луче, как показано на рис. 4.6. При этом проекция отрезка A′Am′ на оптическую ось A0 A0′ равна

меридиональной составляющей кривизны поверхности изображения:

′

′ ′

′

′

(4.49)

Zm

= −A Am cos(ω + σω ).

Величину относительной дисторсии определим отношением

вида:

y′− y0′

δ =

.

y0

′ ′ ′

на рис. 4.6 находим, что

Из треугольника

A AωAs

′ ′

′ ′

y0′ − y′ =

A As

sin σ′ω = −

sin σωZs

.

sin(90°+ ω)

cos ωcos(ω+ σ′ω )

При этом y0′ = q0′tgω. Тогда

δ =

Zs′

sin σ′ω

.

(4.50)

q0′

sin ωcos(ω+ σ′ω )

Итак, в результате изложенного установлена весьма сложная нелинейная зависимость аберраций изображения, образованного сферической преломляющей поверхностью, от положения предмета относительно поверхности, от ее кривизны и показателей преломления разделяемых поверхностью сред, при этом различные виды аберраций взаимосвязаны между собой и эта зависимость также сложна. За исключением редких частных случаев выразить аналитически эту зависимость практически невозможно, а, следовательно, и невозможно теоретически решить задачу коррекции аберраций изображения, образованного оптической системой преломляющих поверхностей. Этим определяется тот факт, что успех решения задачи разработки конструкции и расчета оптической системы достигается благодаря профессиональным знаниям, опыту специалиста, а иногда и счастливому случаю, поскольку сам процесс создания оптической системы носит творческий характер, при этом нередко трудно провести границу между инженерным решением задачи и искусством. Важно отметить, что подбор показателя преломления материала линз разрабатываемой системы нередко является решающим фактором в достижении успеха. А для этого надо располагать достаточным набором применяемых материалов, отличающихся друг от друга значениями оптических параметров в пределах допустимо широкого диапазона при малом различии оптических параметров для конкретной пары материалов.

85

4.2.2. Дисперсия света. Хроматические аберрации

Зависимость показателя преломления n вещества от длины волны света или зависимость фазовой скорости световых волн от их частоты называется дисперсией света [48].

Положение изображения внеосевой точки предмета, лежащей в меридиональной плоскости (в плоскости, содержащей оптическую ось), в параксиальной области определяется двумя координатами: абсциссой (задним отрезком) s0′ и ординатой (линейной величиной

изображения предмета) l0′. Поэтому изображение точки обладает двумя хроматическими аберрациями:

−хроматической аберрацией положения, определяемой различной величиной абсциссы s0′ для различных длин волн излучения точки;

−хроматической аберрацией увеличения, определяемой различной величиной ординаты l0′ для различных длин волн излучения точки.

Для оценки количественной величины хроматических аберраций расчет хода лучей выполняют для двух длин волн λ1 и λ3 ,

определяющих границы спектрального диапазона используемого излучения, при этом основной расчет оптической системы выполняют для излучения принятой длины волны λ2 («средней» длины волны),

удовлетворяющей условию							λ1 < λ2 < λ3 . Так,		например,	в видимой
области спектра от						λ1 = 479,99 нм (линия F′			излучения кадмия) до
λ3 = 643,85 нм					(линия C′		излучения	кадмия)	значение	показателя
преломления при λ2						= 546,07 нм (линия e излучения ртути)					принято
считать		средним.				Разность показателей			преломления		среды
n(λ1 )− n(λ3 )					называется		средней	дисперсией, а		отношение
	n(λ2 )−1			называется коэффициентом дисперсии или числом Аббе.
	n(λ )− n(λ	3	)
1

Для видимой области спектра средняя дисперсия равна разности nF′ −nC′ , а коэффициент дисперсии определяется отношением:

νe = ne−−1 . nF′ nC′

Хроматическая аберрация положения определяется расстоянием δs′хр между двумя изображениями одной и той же осевой точки

предмета, образованными излучением двух длин волн λ1 и λ3 .

Рассмотрим величину хроматической аберрации положения в изображении, образованном отдельной тонкой линзой в воздухе. Дифференцируя формулу отрезков (4.28), получаем

86

	a′2	2
da′ =		da − a′	dϕ.	(4.51)
	a2

Оптическая сила бесконечно тонкой линзы определяется формулой (4.27). Вполне очевидно, что при изменении показателя преломления материала линзы изменяется и ее оптическая сила. Дифференцируя формулу (4.27), получаем

df

′

1

1

dn

dϕ = −

= dn

−

=

ϕ.

(4.52)

f ′

2

n −1

r1

r2

Средняя дисперсия применяемых материалов линз, как правило, невелика. Так, например, для подавляющего большинства оптических материалов в спектральном диапазоне видимого излучения отношение средней дисперсии к показателю преломления для излучения основной, расчетной, длины волны не превышает 1 %, для тяжелых флинтовых стекол – не превышает 2 % и лишь для сверхтяжелых флинтов составляет около 3 %. Это позволяет среднюю дисперсию оптических материалов считать величиной малой. При этом при n = n(λ2 ) и при dn = n(λ1 )− n(λ3 ) имеем

dϕ=	ϕ	,	(4.53)
	ν

где для излучения видимого диапазона спектра коэффициент

дисперсии νe =	ne −1	. Будем считать, что положение предмета
	nF′ −nC′

остается неизменным во всем рассматриваемом спектральном диапазоне излучения, т.е. будем считать, что da = 0 . Если при этом величину dϕ в выражении (4.51) определим соотношением (4.53), то

приращение отрезка a′ (отрезок da′) будет определять хроматическую аберрацию положения. Тогда, заменив в выражении (4.51) дифференциалы конечными разностями, получаем

δs′	= s′	′ − s′	′ = −a′2	ϕ	.	(4.54)
хр	F	C		νe

Оптическая сила оптической системы из двух тонких линз, расстояние между которыми d ≈ 0, равна ϕ = ϕ1 + ϕ2 . При этом

dϕ = dϕ1 + dϕ2 . Учитывая формулу (4.53), это выражение можно

представить в виде: dϕ = ϕ1 + ϕ2 . В этом случае

νe1 νe2

′		′2		ϕ1		ϕ2
δsхр	= −a				+		.	(4.55)
				νe1		νe2

87

Из выражения (4.55) следует, что δs′хр = 0 при a′ = 0, т.е. в том

случае, когда осевая точка предмета (а, соответственно, и осевая точка изображения) совпадает с осевой точкой тонкой системы.

Пусть

ϕ1

+

ϕ2

= 0 .

(4.56)

νe1

νe2

Тогда δs′хр = 0

независимо от величины a′. При этом, учитывая,

что ϕ = ϕ1 + ϕ2 , получаем

ϕ =

ν

e1

ϕ,

1

νe1 −νe2

(4.57)

νe2

ϕ2 = −

ϕ.

νe1 −νe2

Таким

образом,

чем больше абсолютная величина

разности

νe1 −νe2 , тем меньше абсолютная величина оптических сил ϕ1 и ϕ2 .

Итак, пусть хроматическая аберрация положения в изображении, образованном рассматриваемой тонкой системой, исправлена для излучения спектральных линий F′ и C′. При этом кривая зависимости a′ от длины волны λ имеет вид, показанный на рис. 4.8. Такую коррекцию хроматической аберрации положения принято называть ахроматической.

λ

λC′

λe

λF′

a′	δs′ ′	, e	= δs′	′	a′
e	F		e, C

a′F′ = aC′′

Рис. 4.8. Ахроматическая коррекция хроматической аберрации положения

88

При δs′F′, C′ = 0 величину δs′F′, e = δse′, C′ называют вторичным спектром изображения. Определим величину вторичного спектра в случае тонкой оптической системы из двух тонких линз. Для этого применим формулу (4.55) в виде:

	δsF′′, e	= −a′2		ϕ1	+	ϕ2		,	(4.58)
				*		*
				νe1		νe2

где ν*e =	ne −1	.
	nF′ −ne
При	δs′хр = 0 оптические силы линз определяются формулами

(4.57). Выполнив соответствующую этим формулам замену величин ϕ1 и ϕ2 в выражении (4.58), получаем

δsF′′, e

= −a′2ϕ

PF′, e1

− PF′, e2

,

(4.59)

νe1

−νe2

nx − ny

P ′

n

F

′ − n

P

где

, e

=

e

.

В общем случае отношение

=

при

F

nF′ − nC′

x, y

nF′ − nC′

(λx −λy ) (λC′ −λF′

) называется относительной частной дисперсией.

Еще Э. Аббе заметил, что параметры обычных оптических стекол на координатном поле νe , PF′, e располагаются вблизи к некоторой

прямой, называемой «нормальной». В отечественном каталоге бесцветных оптических стекол в качестве нормальной принята прямая, определяемая параметрами PF′, e и νe стекол марок К18,

(изъято из номенклатуры), и Ф13, представленными в табл. 4.1.

		Таблица 4.1. Параметры стекол К18 и Ф13
				PF′, e
Марка стекла	ne		νe
К18	1,521230		60,15	0,5086
Ф13	1,624083		36,09	0,5223

При этом тангенс угла наклона нормальной прямой, показанной на рис. 4.9, равен

	tgγ =	PF′, e2	− PF′, e1	=	0,5223	−0,5086	≈ −0,00057.
		νe2	−νe1		36,09 −60,15

В этом случае вторичный спектр в изображении точки равен

δs′F′, e ~= 17601 a′2ϕ.

89

PF′,e

0,53

Φ13

0,52

OΦ4

0,51				OK1	OK 4
			K18		CaF2
0,50						νe
20	50				100

Рис. 4.9. «Нормальная» прямая для оптических стекол в видимой области спектра

Из выражения (4.59), определяющего величину вторичного спектра изображения, образованного двухлинзовой тонкой системой, следует, что δs′F′, e = 0 при PF′, e1 = PF′, e2 , т.е. в том случае, если параметры νe и PF′, e одного из стекол не лежат на «нормальной»

прямой. Таким свойством обладают специально разработанные стекла, которые называют стеклами с особым ходом дисперсии. Выдающимся достижением в области разработок новых стекол является особый крон ОК4, производство которого освоено Лыткаринским заводом оптического стекла. Обычное стекло К8 образует с ним идеальную апохроматическую пару, причем стекло К8 принимается в качестве материала линзы с отрицательной оптической

силой. При этом остаточный вторичный спектр δs′xp = −4 10−6 a′2ϕ.

Кроме особых оптических стекол с особым ходом дисперсии задачу апохроматизации изображения решают путем применения в качестве материала одной из линз кристаллического фтористого кальция CaF2 , называемого флюоритом. Параметры флюорита

νe = 94,97 и PF′,e = 0,5087 на рис. 4.9 определяют точку, весьма

далеко расположенную от «нормальной» прямой.

Для стекла БК13 имеем: ne =1,56167 , νe = 60,90 и PF′,e = 0,5086 . Из сопоставления величин PF′, e стекла БК13 и флюорита следует, что

применив их в качестве материала линз, получим тонкую двухлинзовую систему, формирующую изображение без вторичного

90