- •Предварительные сведения
- •I. Символы и обозначения
- •III. Основные алгебраические соотношения
- •IV. Основные тригонометрические соотношения рис
- •Раздел 1. Линейная алгебра
- •§1. Матрицы
- •1.1. Основные понятия. Сложение, вычитание, произведение матрицы на число, произведение матриц
- •1.3. Определитель. Действия над квадратными матрицами
- •1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, 3 2 1.
- •§ 2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Методы решения слау
- •Раздел 2. Векторная алгебра
- •§ 1. Векторы. Основные понятия
- •1.1. Геометрические векторы. Линейные операции
- •1.2. Проекция вектора на ось
- •§2. Координатное представление вектора
- •2.1. Разложение вектора по декартову базису. Координаты вектора
- •2.2. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное произведение векторов
- •2.4. Смешанное произведение векторов
- •2.5. Пространство .
- •Раздел 3. Аналитическая геометрия Уравнение линии на плоскости
- •Угловой коэффициент прямой на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Практические приемы отыскания уравнения прямой
- •Кривые второго порядка
- •Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •Поверхности второго порядка
1.3. Определитель. Действия над квадратными матрицами
Введем необходимые для дальнейшего изложения определения четных и нечетных перестановок..
Расположение чисел в каком-либо порядке называютсяперестановкой. Число перестановок из чисел равно(читается «эн-факто-риал» – произведение первыхнатуральных чисел).
Рассмотрим перестановку . Если, то говорят, что параобразуетинверсию. Перестановка называется четной, если она содержит четное число перестановок, и нечетной – в противном случае.
Из чисел 1, 2, 3 , например, существует перестановок:
1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, 3 2 1.
При этом 1 2 3 – четная, т.к. в ней нет (ноль) инверсий, 2 1 3 – нечетная, т.к. содержит одну инверсию (2,1).
Определитель.
Каждой квадратной матрице по определенному правилу можно поставить в соответствие некоторое число – определитель (или детерминант) матрицы.
Пусть дана квадратная матрица порядка
. (1.1)
Рассмотрим произведения элементов этой матрицы таких, что каждая строка и каждый столбец имеют в них по одному представителю:
и т.д.
Такие произведения в общем виде могут быть записаны
. (1.2)
Здесь первые индексы (номера строк) расположены по возрастанию, вторые (номера столбцов)
(1.3)
образуют перестановку из чисел.
Определителем матрицы -го порядка (1.1) называется сумма произведений вида (1.2), взятых со знаком «+», если перестановка (1.3) четная, и со знаком «–» – в противном случае. (Определитель будем обозначатьилиили.)Порядком определителя будем считать порядок соответствующей ему матрицы.
Приведем формулы для вычисления определителей 1, 2, и 3 –го порядков:
Пример 1.3. Вычислить определитель матрицы .
Решение.
Алгебраическое дополнение.
Поставим в соответствие каждому элементу матрицы (1.1) некоторое число – его алгебраическое дополнение.
Алгебраическим дополнением элементаматрицыназывается определитель-го порядка, получаемый из вычеркиванием-й строки и-го столбца, взятый со знаком «+», если суммачетная, и со знаком «–», если эта сумма нечетная.
Пример 1.4а. Найти алгебраические дополнения к элементам матрицы второго порядка.
Решение. Запишем матрицу в общем виде: . Тогда
Пример 1.4б. Найти алгебраические дополнения к элементам первой строки матрицы .
Решение.
Свойства определителей. (Здесь и далее строки и столбцы в общем будем называть рядами.)
. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.
. Определитель, содержащий два пропорциональных ряда, равен нулю.
. Общий множитель элементов какого-либо ряда можно вынести за знак определителя.
. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число.
. (Правило своих дополнений.) Определитель равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения.
. (Правило чужих дополнений.) Сумма произведений элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
. .
. .
Пример 1.5а. Используя правило своих дополнений, вычислить определитель матрицы .
Решение. Применим свойство , например, к первой строке:. С учетом результатов примера 1.4б, получим:
.
Пример 1.5б. Вычислить определитель 4-го порядка .
Решение.
Вычисление определителя 4 порядка по определению довольно трудоемко (формула содержит слагаемых вида (1.2)), поэтому удобнее применить правило своих дополнений. По свойство , применённому к первой строке, имеем:
Здесь первый и второй определители 3-го порядка были вычислены в примерах 1.4б , 1.3 , третий и четвертый равны нулю, т.к. содержат пропорциональные столбцы (см. свойство определителей).
Обратная матрица.
Матрицы иназываютсявзаимно обратными, если . При этом будем обозначать.
Теорема. Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда– квадратная и(так называемаяневырожденная матрица). При этом
.
Доказательство. 1. Чтобы выполнялось равенство , матрицадолжна быть квадратной (см. замечание к пункту).
2. Пусть и при этом существует. Тогда, и, очевидно, должно выполняться равенство. Используя свойстваиопределителей, получим:
.
Пришли к противоречию, значит, если , тоне существует.
3. Формулу для нахождения обратной матрицы докажем на примере матрицы 2-го порядка (см. пример 1.4 а).
.
Аналогично доказывается равенство .
Пример 1.6. Найти матрицу, обратную матрице .
Решение. Согласно теореме для матрицы 3-го порядка .
Из результатов примеров 1.5а, 1.4б имеем:
.
Алгебраические дополнения к остальным элементам матрицы равны: .
Ответ: .