§ 2. Системы линейных алгебраических уравнений

2.1. Основные понятия

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида

(1.4)

где числа – коэффициенты системы,– свободные члены,– неизвестные (подлежат нахождению).

Решением системы (1.4) называется значений неизвестных, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства.

Известно, что СЛАУ может

-не иметь решений (система называется несовместной);

-иметь единственное решение (система называется определенной);

-иметь бесконечное множество решений (система называется неопределенной).

Решить систему – значит найти все ее решения или доказать, что она несовместна.

Систему (4) можно записать в виде

.

Здесь -основная матрица системы,

–столбец неизвестных, – столбец свободных членов.

Приведем некоторые метода решения СЛАУ.

Эквивалентные СЛАУ

Напомним следующее свойство СЛАУ. Если

- переставить местами уравнения,

- умножить любое уравнение системы на ненулевое число,

- заменить какое-либо уравнение суммой этого уравнения с другим уравнением системы,

- внести в систему или вычеркнуть из системы уравнение, представляющее собой тождество,

- вычеркнуть из системы одно из пропорциональных уравнений,

то полученная после одного или нескольких таких преобразований система будет иметь то же решение, что и исходная или являться несовместной, как и исходная.

Системы, множество решений которых совпадает, называются эквивалентными.

2.2. Методы решения слау

Матричный метод

Рассмотрим квадратную (число уравнений равно числу неизвестных), невырожденную () СЛАУ. При указанных условиях существует матрица, обратная к. Чтобы найти неизвестную, умножим обе части слева на. Тогда

Отсюда получим формулу для отыскания :

Пример 1.7. Решить СЛАУ

Решение. Обозначим

.

Для отыскания можно применить полученную выше формулу, т.к. основная матрица системы– квадратная, и ее определитель –основной определитель – (см. пример 1.6). Таким образом

(матрица была найдена в примере 1.6).

Ответ: .

Убедимся в правильности результата – подставим в каждое уравнение системы:

.

Все уравнения обратились в тождества, что и требовалось доказать.

Замечание. Ответ к задаче можно дать в другом виде: или просто

Формулы Крамера

Из системы найдем в общем виде, например,. Здесь

.

,

.

Это равенство можно записать в виде , где обозначено

.

Вообще, при , для решений СЛАУ справедливыформулы Крамера:

где – определитель основной матрицы системы,получается иззаменой-го столбца столбцом свободных членов.

Например, систему можно решить по формулам Крамера, т.к. это система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, и.

Вычислим вспомогательные определители.

Отсюда .

Ответ: .

Метод подстановки

Проиллюстрируем этот метод на простом примере «треугольной» системы.

Пример 1.8. Решить СЛАУ методом подстановки

Решение. Из третьего уравнения найдем неизвестную и подставим ее значение во второе уравнение, откуда вычислим:

.

Далее подставим значения ив первое уравнение, откуда найдем:

.

Ответ: .

Метод Гаусса

Рассмотрим систему (1.4)

,

где ,не обязательно равно, а в случаене обязательно отличен от нуля.

Суть метода Гаусса – последовательный переход от исходной системы к эквивалентной ей «треугольной » системе

,

которая без труда решатся методом подстановки .

Всю информацию о системе содержит так называемая расширенная матрица СЛАУ, она имеет вид:

.

Будем выделять прямой и обратный ход метода Гаусса.

I. Прямой ход. Элементарными преобразованиями над строками приводим расширенную матрицу системы к «трапециевидной».

II. Обратный ход. По последней матрице восстанавливаем СЛАУ, которая, очевидно, эквивалентна исходной, и приводим ее к треугольному виду. Решаем ее методом подстановки «снизу вверх».

Пример 1.9. Решить СЛАУ методом Гаусса

1.9а.

Решение.

I. Прямой ход.

II. Обратный ход.

Эта система была решена в (см. пример 1.8).

Ответ:

1.9б.

Решение.

I. Прямой ход.

II. Обратный ход.

Третье и четвертое уравнения одинаковые, и мы вычеркнули одно из них:

Последнее уравнение не имеет решений, значит, и вся система не имеет решения.

Ответ: система несовместна.

1.9в.

Решение.

I. Прямой ход.

II. Обратный ход.

Последнему уравнению удовлетворяет любое действительное число, обозначим . Выражая последовательно из второго уравнения:

а затем из третьего – :

,

получим бесконечное множество решений.

Ответ: .

1.9г.

Решение.

I. Прямой ход.

II. Обратный ход.

Чтобы привести систему к треугольной, внесем в нее два тождества :

Ответ:

Замечания:

- Однородная система, т.е. система (1.4), где , всегда совместна. Она имеет как минимум одно решение, так называемоетривиальное решение. В частности, при и– однородная СЛАУ имеет нетривиальные решения.

- При решении однородных систем столбец свободных членов после элементарных преобразований не меняется, поэтому достаточно преобразовывать основную матрицу системы.