Раздел 2. Векторная алгебра

§ 1. Векторы. Основные понятия

1.1. Геометрические векторы. Линейные операции

рис Вектор – отрезок с указанным на нем направлением. Обозначается или. Дина вектора (модуль) обозначаетсяили.

Два вектора равны, если они имеют одинаковые длину и направление (т.е. при параллельном переносе вектор не меняется).

Вектор единичной длины называется ортом. Очевидно, на плоскости и в пространстве существует бесконечно ортов.

Мы изучим следующие операции над векторами:

линейные операции (сложение, вычитание, умножение вектора на число); скалярное произведение; векторное произведение; смешанное произведение векторов.

Линейные операции над векторами

Пусть начало вектора совпадает с концом вектора.Суммой векторов ибудем называть вектор, соединяющий начало векторас концом вектора.
Разностью векторов иназывается вектортакой, что.
Правило параллелограмма. Сумма векторов и– диагональ построенного на них параллелограмма, идущая из их общего начала. Разность– вторая диагональ, идущая к уменьшаемому

При умножении вектора

-на положительное числоего длина увеличивается враз, направление не меняется;

- на отрицательное число его длинаувеличивается в раз, направление меняется на противоположное;

- на ноль – получаем нуль-вектор (направление не определено).

Свойства линейных операций

1.2. Проекция вектора на ось

Числовая ось – прямая с указанным на ней направлением, началом отсчета и единицей масштаба.

Проекция точки M на числовую ось – основание перпендикуляра (точка ), опущенного на эту ось.

Проекцией вектора на числовую ось называется число

,

где – координаты начала и конца вектора соответственно.

Свойства проекции

§2. Координатное представление вектора

2.1. Разложение вектора по декартову базису. Координаты вектора

Декартовой системой координат (ДСК) в пространстве называется тройка попарно перпендикулярных числовых осей с общим началом и одинаковой единицей масштаба. Обозначим – орты координатных осей (координатные орты). Декартовым базисом в пространстве будем называть тройку попарно перпендикулярных ортов. Задание ДСК равносильно заданию декартова базиса

рис

Пусть в пространстве задана ДСК и произвольный вектор, причем его начало совпадает с началом координат.

–проекции вектора на оси координат.

Из рисунка имеем:

или

Таким образом доказано: если в пространстве задан декартов базис, то любой вектор может быть представлен в виде суммы , где – проекции вектора на координатные оси. Формула называется разложением вектора по базису , числа–координаты вектора в данном базисе.

Замечание. На плоскости справедливо представление вектора в виде

или .

Пример 2.1. Найти координаты вектора приведенного на рисунке.

Решение. I способ. Найдем проекции вектора на координатные оси: . Следовательно,.
II способ. Параллельным переносом вектора совмести его начало с началом координат. Нетрудно убедиться, что согласно правилу параллелограмма, вектор равен сумме векторов.

Теорема. Линейные операции над векторами сводятся к таким же операциям над их одноименными координатами:

Доказательство. Пусть – координаты векторав данном базисе. Тогда:

Остальное () доказывается аналогично.

В частности, .

Правило «конец - начало»

рисРадиус-вектором точки называется вектор, идущий из начала координат в данную точку: . Координаты точки будем называть координаты ее радиус-вектора.

Справедливо утверждение

Доказательство.

Пример 2.2. Даны координаты концов отрезка :и некоторое число.

На отрезке найти: координаты точки такой, что .

Решение.

Обозначим координаты искомой точки . Тогда

Таким образом .

В частном случае, при (деление отрезка пополам), имеем

.

Модуль вектора. Направляющие косинусы. Орт вектора

Зная координаты вектора в ДСК , можно найти его модуль как длину диагонали прямоугольного параллелепипеда: . Пусть углы вектора с осями соответственно равны. По свойству проекции имеем: , или

Из приведенных выражений нетрудно получить:

.

Обозначим орт вектора (вектор, имеющий то же направление и единичную длину) через. Очевидно

или .