Раздел 3. Аналитическая геометрия Уравнение линии на плоскости

Пусть задана ДСК на плоскости. Уравнением линии на плоскости называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координатыкаждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. Переменныев уравнении линии называются текущими координатами точек линии.

Пример 1.1. Доказать, что уравнение окружности радиуса с центром в начале координат имеет вид

. (*)

Решение. Рассмотрим 3 случая

а) точка лежит на окружности. Тогда по теореме Пифагора получаем:.

б) точка – вне круга. Тогда.

в) точка – внутри круга. Тогда.

а)	б)	в)

Равенство (*) выполняется для всех точек окружности и не выполняется для других точек плоскости. Т.о. (*) – искомое уравнение.

Уравнение линии зависит от выбора системы координат. Например, уравнение окружности радиуса с центром в точкеимеет вид

Угловой коэффициент прямой на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Угловым коэффициентом прямой на плоскости называется тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси:

.

Возможны следующие случаи:

	=

Рассмотрим две прямые с угловыми коэффициентамисоответственно. Тогда уголмежду прямыми можно найти по формуле

.

В частности:

Пример 1.2. рис Найти уравнение прямой с угловым коэффициентом , проходящей через точку

Решение. Из рисунка следует, что . Т.е.. Отсюда имеемили

.

Практические приемы отыскания уравнения прямой

	название	рисунок	уравнение
	По точке и нормальному вектору
	По точке и направляющему вектору
	По точке и угловому коэффициенту
	По двум точкам
ю	В отрезках на осях
	Вертикаль
	Горизонталь

Приведем выводы первых двух уравнений.

1. Выберем произвольно точку с текущими координатами на прямой. Тогда вектор перпендикулярен заданному вектору . По условию перпендикулярности (см. приложение 2а скалярного произведения) имеем:

,

т.е. .

Далее любой перпендикулярный прямой вектор будем называть нормалью прямой.

Полученное уравнение можно записать в общем виде , где обозначено .

2. Выберем произвольно точку с текущими координатами на прямой. Тогда вектор коллинеарен заданному вектору (см. замечание к теореме о соответствии мд. в-рами и их коорд-ми при линейных операциях), т.е. их координаты должны быть пропорциональны:

.

Далее любой параллельный прямой вектор будем называть направляющим прямую вектором, уравнение вида 2 – каноническим уравнением прямой.

Кривые второго порядка

Линии, определяемые уравнениями второй степени с двумя текущими координатами

называются кривыми второго порядка. Это уравнение на плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) определяет окружность, эллипс, гиперболу, параболу.

Окружность – множество точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки этой плоскости, называемой ее центром. Расстояние от точки окружности до центра называется радиусом окружности.

Напомним, уравнение окружности радиуса с центром в точкеимеет вид

,

уравнение окружности радиуса с центром в точке:

.

Рис Эллипс – множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через , расстояние между ними через, сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов через. По определению. Выберем ДСК так, чтобы фокусы лежали на оси, а начало координат совпадало с серединой отрезка. Тогда фокусы имеют координаты. Пусть– произвольная точка эллипса. По определению имеем, т.е.

.

Отсюда

.

Возведем обе части в квадрат, а затем уединим корень:

Возведем еще раз в квадрат и перегруппируем:

Обозначив , получим

– каноническое уравнение эллипса.

Числаназываютсяполуосями эллипса. Степень «вытянутости» эллипса характеризует эксцентриситет

.

Рис Гипербола – множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через , расстояние между ними через, модуль разности расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов через. По определению. Выберем ДСК так, чтобы фокусы лежали на оси, а начало координат совпадало с серединой отрезка.

Докажите самостоятельно, что уравнение гиперболы в этом случае имеет вид

,

где обозначено .

Здесь – действительная,– мнимаяполуоси гиперболы, прямые называютсяасимптотами. Эксцентриситет .

Парабола – множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки , называемойфокусом, и данной прямой , называемойдиректрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называетсяпараметром параболы.

Выберем ДСК как указано на рисунке. Тогда уравнение параболы имеет вид:

.

3. 1. Привести к каноническому виду уравнение и построить кривую.

Решение. Т.к. ивходят в уравнение с одинаковыми знаками, но разными коэффициентами, то оно описывает эллипс. Сгруппируем слагаемые следующим образом

и, используя известную формулу выделения полного квадрата , выделим в выражениях в скобках полные квадраты:

.

После преобразований, получим:

или .

Это уравнение эллипса с центром в точке и полуосями.рис

3. 2. Привести к каноническому виду уравнение , построить кривую, найти координаты фокусов. рис

Решение. Разделив обе части уравнения на (-144), получим

.

Очевидно, это уравнение гиперболы, однако переменныеи«поменялись ролями» – коэффициент приравен (-1), что следует учесть при построении линии: фокусы этой гиперболы расположены на оси. Чтобы найти их координаты, воспользуемся равенством. Откуда, т.е..

3. 3. Найти проекцию фокуса параболы на прямую.

Решение. Рис Из уравнения параболы имеем: , т.е. координаты фокуса. Проекцияна– точка пересеченияи прямой, проведенной изперпендикулярно(обозначим ее). Уравнениепредставлено в каноническом виде, числаявляются координатами вектора, направляющего прямую, он же является нормалью к прямой. Используя уравнение прямой по точкеи нормали(см…), получим: или

.

Координаты искомой точки пересечения прямыхидолжны удовлетворять их уравнениям, т.е.– решение системы

Первое уравнение преобразуется на основании свойства пропорции (произведение средних членов равно произведению крайних) к виду или. Решим полученную систему уравнений

,

например, по формулам Крамера: .

Ответ: