- •Предварительные сведения
- •I. Символы и обозначения
- •III. Основные алгебраические соотношения
- •IV. Основные тригонометрические соотношения рис
- •Раздел 1. Линейная алгебра
- •§1. Матрицы
- •1.1. Основные понятия. Сложение, вычитание, произведение матрицы на число, произведение матриц
- •1.3. Определитель. Действия над квадратными матрицами
- •1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, 3 2 1.
- •§ 2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Методы решения слау
- •Раздел 2. Векторная алгебра
- •§ 1. Векторы. Основные понятия
- •1.1. Геометрические векторы. Линейные операции
- •1.2. Проекция вектора на ось
- •§2. Координатное представление вектора
- •2.1. Разложение вектора по декартову базису. Координаты вектора
- •2.2. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное произведение векторов
- •2.4. Смешанное произведение векторов
- •2.5. Пространство .
- •Раздел 3. Аналитическая геометрия Уравнение линии на плоскости
- •Угловой коэффициент прямой на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Практические приемы отыскания уравнения прямой
- •Кривые второго порядка
- •Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •Поверхности второго порядка
2.2. Скалярное произведение векторов
рис Скалярным произведением вектора на векторназываетсячисло
,
где .
Например,
Свойства скалярного произведения.
Приложения скалярного произведения
1. .
2. .
2а. .
3.
4. Работа постоянной силы при перемещении вдоль вектора равна.
Пример 2.3. Найти угол между векторами и .
Решение.
Ответ:
2.3. Векторное произведение векторов
Тройка некомпланарных (не лежащих в одной плоскости) векторовв указанном порядке образуетправую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого векторако второму векторунаблюдается против часовой стрелки. В противном случае тройка называетсялевой.
Например, – правая тройка,– левая.
Рис Векторным произведением векторана векторназываетсявектор такой, что
Свойства векторного произведения.
Приложения векторного произведения
1. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и, равна.
| |
2. Момент силы , приложенной к точке, относительно точкиравен.
|
Пример 2.3. Найти векторное произведение векторов , если известны координаты точек.
Решение. Сначала найдем координаты векторов по правилу «конец минус начало»:
. Далее возможны два способа решения.
I способ. Запишем векторы в виде и, с учетом свойствполучим:
Всем пунктам определения векторного произведения отвечает вектор, таким образом.
II способ. Векторы заданы в базисе. Если ввести третью координату (например, 0), то можно найти их векторное произведение, пользуясь свойством:
Определитель в правой части
Ответ:
2.4. Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением векторов называетсячисло
.
Свойства вытекают из свойств скалярного и векторного произведений. В частности
.
Приложения смешанного произведениярис
1. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , равен.
1а. Векторы компланарны.
2. Тройка правая; тройкалевая.
Пример 2.4. Выяснить, лежат ли векторы в одной плоскости. Найти смешанное произведение векторов , если
Решение. I способ. Воспользуемся результатом примера 2.3 и вычислим смешанное произведение по определению:
найденным ранее (см.) произведением
II способ. С учетом правила «конец минус начало», замечания… и свойства , получим:
2.5. Пространство .
Последовательность из действительных чисел, расположенных в определенном порядке, называется-мерным вектором. Совокупность всех -мерных векторов () обозначим. Введем воперации сложения и умножения на вещественное число поэлементно: ,
нуль-вектором назовем вектор, все координаты которого равны нулю: .
Множество, на котором введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие обычным свойствам арифметических действий, называется линейным пространством. Таким образом, множество с введенными выше операциями является линейным пространством.
Совокупность из векторов пространствабудем называтьлинейно независимой, если их линейная комбинация
(*)
лишь при условии .В противном случае, т.е. если существуют такие числа не все равные нулю, что выполняется равенство (*), совокупность назовемлинейно зависимой.
Так, например, векторы в пространствеявляются линейно зависимыми, т.к. существует их нетривиальная (не все равны нулю) линейная комбинация, равная нуль-вектору: .
Обозначим – вектор из , все координаты которого равны нулю, за исключением- ой, которая равна:
.
Эта система векторов линейно независима, и любой вектор единственным образом можно представить в виде линейной комбинации этих векторов:
.
Любая система векторов, обладающих такими свойствами, называетсябазисом пространства .
В случаях векторможно рассматривать как вектор, заданный своими проекциями на оси координат. Тогда в «привычных» обозначениях: системаявляется базисом в пространстве, а– в.
В существует бесконечное множество базисов. В частности, в– это любая пара неколлинеарных, а в– любая тройка некомпланарных векторов.
Покажем, что векторы образуют базис в, и найдем разложение векторапо базису
1. Составим линейную комбинацию . Выясним условия на, при которых эта комбинация дает.
Определитель полученной однородной системы , значит (см. замечание к теме «СЛАУ») она имеет только тривиальное решение .
2. Найдем координаты вектора в этом базисе: .
Ответ: . (На рис результат проиллюстрирован геометрически.)