2. Моделированиеэкспоненциальнойслучайнойвеличины

Экспоненциальная с. в. x имеет ф. р. в.

F(t) = 1 – e^(−λt), где t≥0,параметрλ>0.

Еём.о.идисперсия

M(x) = 1/λ , D(x) = 1/λ2.

Экспоненциальную с. в. можно реализовать с помощью следующего преобразования БСВ z:

x = – (1/λ)·ln(z).

3. Моделированиеэрланговскойслучайнойвеличины

Эрланговская с.в. x порядка k ≥ 1 имеет ф. р. в. и п.р.в.

где параметр λ > 0 . Еём. о., дисперсияиначальныемоментыr-го порядка таковы:

Поскольку распределением Эрланга обладает сумма k независимых экспоненциальных с. в., имеющих одно и то же значение параметра λ, то, сучётом (1.17), сгенерироватьэрланговскуюс. в. x можно просто как сумму:

где zi (i = 1, ..., k) – независимые реализации БСВ.

4. Моделирование нормальной случайной величины

Утверждение, что некоторая с. в. x имеет нормальное распределение с м. о.

M(x) = μ идисперсиейD(x) = σ2, записывают в виде x ~ N(μ, σ). П. р. в. этойс. в.

Еёф. р. в. F(t) невыражаетсявэлементарныхфункцияхввидеконечнойформулы. Дляреализациилюбойнормальнойс. в. достаточноиметьдатчикстандартной (т. е. нормированной и центрированной) нормальной с. в. x~ N (0,1) . Чтобы реализовать с. в. x сраспределениемиспользуютследующеелинейноепреобразованиестандартнойнормальнойс. в.

Приэтомстандартнуюнормальнуюс. в. частореализуютприближённо, каксуммудругихс. в., основываясьнацентральнойпредельнойтеореметеориивероятностей. Например, еёможнореализоватьввидетакойсуммыдвенадцатинезависимыхзна-ченийБСВ:

Однакотакойподходдаётплохоеприближениедлябольшихуклоненийотсред-

него, превышающих 2σ. Метод Бокса и Мюллера позволяет получить два независимых значения x1 и x2

стандартнойнормальнойс. в. издвухнезависимыхзначенийz1 и z2 БСВ по формулам:

Этотметодточный, носчитаетсятрудоёмким. Однако, какпоказываютэксперименты, этомнениеустареловвидутого, чтосовременныеперсональныеком-пьютерыоснащеныарифметическимисопроцессорами. Точныйметодвдействительностиоказываетсятакжеиболеебыстрым, чемприближённыйметод.

Датчики дискретных случайных величин

1. Алгоритм реализации датчика дискретной с.В.

Всякая дискретная с.в. x описываетсяконечнымилисчётныммножествомвоз-можныхзначенийx1, x2, ... , xj ,... и их вероятностями p1, p2, ... , pj , ... . Длятогочтобысгенерироватьдискретнуюс.в., принимающуюзаданныезначениястребуемымивероятностями, интервал (0, 1) значенийБСВпредварительноразбиваетсянаотрезки, длиныкоторыхравнывероятностямp1, p2, ... , pj , ... . Затем реализуется БСВ (т. е. вычисляется функция СЛЧИС), определяется номер j отрезка, вкоторыйпопалозначениеБСВ, исоответствующееэтомуотрезкузначениеxj выбирается в качестве сгенерированного выходного значения с.в. x.

2. Пуассоновская с.В

Пуассоновская с.в. может принимать значения { 0, 1, ... , K, ...}, вероятности которых определяются по формуле

где a - параметр распределения, a > 0. M(x)=a, D(x)=a, σ=√a.

!!Датчика не было в методе, в лабе использовалась генерация пуассоновского распределения с помощью пакета анализа excel.!!

Методы построения датчика случайной величины по определенному закону

1. Метод обращения

Пусть требуется реализовать непрерывную с.в. x, которая имела бы заданную функцию распределения вероятностей (ф.р.в.) F(t) = P { xt}, т.е. требуется, чтобы было x ~ F(t). Согласно методу обращения это можно сделать с помощью БСВ z по следующей формуле:

x = F(z).

Примечание . Выражение x = F(z) для расчета x через z можно получить следующим известным способом:

(1) Записать формальное уравнение F(x) = z.

(2) Разрешить его относительно x.

Доказательство метода обращения

Требуется доказать, что если x = F(z), где F - ф.р.в., то x ~ F(t). Предположим, что в действительности x ~ F(t). Равенство Fи F доказывается следующей цепочкой эквивалентных выражений:

F(t) = P{ xt } = P{ F(z)t } = P{ F(F(z))F(t) } =

= P{ z F(t) } = P{ z(0,F(t))} = F(t).

Первое равенство здесь имеет место по определению, последнее - в силу равномерного распределения z на отрезке (0,1), на котором лежит и отрезок (0,F(t)) длиной F(t). Остальные равенства - по причине эквивалентности соответствующих событий, помещенных под знак вероятности (эти события суть одно и то же неравенство, переписываемое в разной форме).

2. Метод реджекции(исключения)

Метод исключения позволяет достаточно просто моделировать с.в. x по ее п.р.в. f(t), а не по ф.р.в. F(t). В основу метода положен тот простой факт, что если случайная точка (x,y) имеет равномерное распределение в плоской области под кривой f(t) (на рис. 2.8 область заштрихована), то координата x точки имеет распределение f(t).

Рис. Область распределения случайной точки

Для того, чтобы реализовать равномерное распределение случайной точки внутри криволинейной области, применяется обратная теорема. В соответствии с этим для реализации с.в. x ~ f(t) можно использовать следующий алгоритм.

(1) Для заданной f(t) строим какую-либо простую мажорирующую функцию g(t). Площадь под g(t) обозначим через Sg (см. рис. 2.9).

(2) Разыгрываем с.в. y ~ g(t)/Sg (так как п.р.в. g(t)/Sg простая, то предполагается, что датчик с.в. y уже имеется).

(3) Разыгрываем равномерную с.в. Z ~ R[0,g(y)] , т.е. Z = z g(y), где z - БСВ.

(4) Если Z > f(y), то точку (y,Z) отбрасываем и повторяем пункты (2),(3). Иначе полагаем x = y.

Рис. К методу режекции

3. Использование теорем теории вероятностей

Думаю в вопросе имеется в виду центральная̆предельнаятеорематеориивероятности(ЦПТ). Согласно этой теореме, класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимыхслучайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.