2.1.2. Цель и задача управления

Введем в рассмотрение n-мерную систему координат, по осям которой будем откладывать величины у₁, у₂,...,у_п). Графически подобную систему можно отобразить лишь при п=1, 2, 3; в остальных случаях она не поддается геометрической интерпретации и вводится как удобный для последующего изложения абстрактный прием. Пространство, характеризуемое этой системой координат, принято называть пространством состояний или фазовым пространством.

Пусть в некоторый момент времени t₀(обычно t₀= 0), используемый как начало отсчета времени, переменные состояния y₁,y_2,… y_nимеют значения y₁(t₀), y₂(t₀)…y_n(t₀) т.е. вектор состояния равен Y(t₀). Начало этого вектора находится в точке 0 пространства состояния, а конец – в точке М₀, которую принято называть изображающей точкой.

Пусть далее кобъекту приложены воздействия U(t) и F(t). Подставим их в первое уравнение (4). Если теперь это уравнение решить при начальных условиях Y(t₀), то получим решение Y(t, U(t), F(t), Y(t₀)), t≥t₀, зависящее от всех воздействий и начальных условий. Этому решениюпри каждом tв пространстве состояний будет соответствовать определенная точка. Если все эти точки соединить кривой (рис. 2.З), получим траекторию, называемую траекторией движения объекта. Условно можно принять, что изображающая точка во времени движется в пространстве состояний, а оставляемый ею в результате след и представляет собой траекторию движения объекта.

Рис.2.3. Траектория движения ОУ в пространстве состояний

Предположим, что момент t₀ соответствует началу управления объектом, т. е., начиная с этого момента, на объект подается управление U(t).

Из-за конструктивных, энергетических и других особенностей объекта на его вход не могут подаваться произвольные управления. Реальные управления должны быть подчинены некоторым ограничениям, например вида

(5)

Совокупность ограничений формирует область возможных значений управляющих воздействий. Обозначим эту область символом Ω(U) и назовем областью допустимых управлений.

Реально подаваемые на вход ОУ управления должны принадлежать области допустимых управлений

(6)

В этом случае управления называются допустимыми.

Аналогично компоненты вектора состояния y\(t), y₂(t),..., y_n(t) в общем случае также должны удовлетворять определенным ограничениям, т. е. вектор Y(t) в пространстве состояний не должен выходить за пределы некоторой области Q, называемой областью допустимых состояний,

(7)

Пусть в области Q можно выделить некоторую подобласть Q₁ состояний , которые для нас по каким-то причинам являются желательными.

Цель управления заключается в том, чтобы перевести объект из начального состояния Y(t₀), в котором он находится в момент t₀, в конечное состояние Y(T), принадлежащее подобласти Q₁ области допустимых состояний, т. е. . Моментt=T, соответствующий моменту попадания объекта в желаемое конечное состояние, может быть неизвестным.

Для достижения цели управления на вход объекта необходимо подать соответствующее управление.

Задача управления заключается в том, чтобы в области допустимых управлений (6) подобрать такое управление, при которомбудет достигнута цель. Иными словами, требуется отыскать такое допустимое управление ,определенное на временном отрезке[t₀, Т](гдеТможет быть заранее неизвестно), при котором уравнения объекта управления при заданном начальном состоянии и известном векторе F(t) имеют решение Y(t), удовлетворяющее ограничению (7) при всехи конечному условию.