МЭИ(ТУ) Физика

13. КПД необратимого цикла меньше, чем КПД обратимого цикла, при прочих равных

условиях: ηнеобрат. цикла	<ηобрат. цикла	≤	T max −Tmin	.
			T max

II. Неравенство Клаузиуса. Энтропия

1. Два тепловых резервуара

ηлюбой машины ≤ηКарно	=	Tн −T х	;
		Tн

знак "=" для обратимого цикла, знак "<" для необратимого цикла.

Q1 −

Q2

≤

T

1

−T

2

.

Q

T

1

1

Так как Q2 < 0, то |Q2| = –Q2;

Q1 +Q2

≤

T1 −T2

,

Q

T

1

1

1

+

Q2

≤1

−

T2

.

Q

T

1

1

Q

Q1

+

Q2

≤ 0

– неравенство Клаузиуса.

– приведённая теплота.

T1

T2

T

Сумма приведённых теплот, полученных за цикл, равна нулю, если цикл обратим, и меньше нуля, если он не обратим.

2. Бесконечное число тепловых резервуаров

Пусть имеется всего два тепловых резервуара. Единственно возможный обратимый цикл – это цикл Карно, а если резервуаров бесконечное число, то можно придумать

	бесконечное число обратимых циклов.
p	Любой цикл можно разбить на микроциклы Карно.
	∆Q			∆Q
		T	1i +	T	2i ≤ 0
			1i		2i
				K
				K
V
					∆Q
					∑ Ti	i	≤ 0 .	(1)

Количество приведённого тепла, полученного в обратимом цикле, равно нулю, а в необратимом цикле – меньше нуля.

Пусть ∆Qi → 0, тогда из (1) следует ∫δTQ = 0 , если цикл обратим.

существует некая физическая величина

– функция состояния системы dS = δTQ (при обратимом процессе), dS – энтропия.

δQ – не энтропия, а приведённое тепло.

T

Приращение энтропии численно равно количеству приведённого тепла, полученного системой при обратимом процессе.

dS > δTQ при необратимом процессе.

§ 9. Термодинамическая вероятность. Энтропия и её свойства. Второе начало термодинамики

I. Термодинамическая вероятность (статистический вес)

Макросостояние системы описывается параметрами, характеризующими состояние системы в целом. (p, V, T) – общее описание системы.

Микросостояние системы определяется путём описания состояния каждого элемента системы.

ПРИМЕР

– макросостояние (3 молекулы)

ʌ ʎ		ʎ ʏ		ʏ ʌ	...	ʏ	ʎ
ʏ		ʌ		ʎ			ʌ

3! = 6 микросостояний Термодинамическая вероятность – число микросостояний, с помощью которых

реализуется данное макросостояние.

ПРИМЕРЫ

Размещение четырёх молекул по двум ячейкам

лев. 0		прав. 4						1 2							– 1 микросостояние
								3 4
1		3													– 4 микросостояния
					1			2		2	1		4	2
								3 4			3 4	...		3 1
2		2													– 6 микросостояний
					1			3		1	2
					2			4		3	4	...
Макросостояние							Число микросостояний					Термодинамическая вероятность (W)
лев.				прав.
0			4						1					1
1			3						4					4
2			2						6					6
3			1						4					4
4			0						1					1
									Σ = 16 = 24

n = 10 молекул

210 = 1024

5 5 → 250 0 10 → 1

В природе реализуется то состояние, которое может быть получено наибольшим числом способов.

n ≈ 1025 молекул

21025

0 1025 → 210125

Равновесному состоянию соответствует то макросостояние, которое реализуется большим числом микросостояний.

Любая термодинамическая система стремится к состоянию, которое характеризуется наибольшей термодинамической вероятностью.

Любой самопроизвольный процесс идёт в сторону возрастания термодинамической вероятности.

II. Энтропия и её свойства

W1 W2

WΣ =W1 +W2

lnWΣ = lnW1 + lnW2 .

		δQ			Дж
	dS =	T		=		;
					К

S= k lnW , k =1,38 10-23 ДжК .

1.Энтропия связана с термодинамической вероятностью соотношением:

S = k lnW ,

где k – постоянная Больцмана, W – термодинамическая вероятность.

2.Так как термодинамическая вероятность определяется числом микросостояний, с помощью которых реализуется данное макросостояние, то энтропия является функцией состояния системы.

∫dS = 0 , dS – полный дифференциал.

Изолированная система

а) Все неравновесные процессы в изолированной системе идут в сторону возрастания энтропии (II начало термодинамики).

б) Равновесному состоянию изолированной системы соответствует максимальное значение энтропии.

в) Обратимые процессы в изолированной системе идут при максимальном для данной системы значении энтропии.

Неизолированная система

а) В неизолированной системе энтропия может как возрастать, так и убывать. Это зависит от условий, в которые поставлена система.

б) Обратимые процессы в неизолированной системе идут при максимальном для каждого данного состояния системы значении энтропии, причём приращение энтропии будет равно

δQ					2		δQ
dS =			или	S2 − S1		∫			.
	T				=		T
		обратимаяветвь				1		обратимая ветвь

в) Если процесс неравновесный, то dS > δTQ , так как приращение энтропии обу-

словлено двумя процессами: подводом тепла δTQ и движением системы к равновесно-

му состоянию.

ПРИМЕР

Концентрация молекул разная в разных частях сосуда. Происходят два про-

цесса: нагревание газа и выравнивание концентрации газа. Здесь dS > δTQ .

Теорема Нернста (III начало термодинамики)

При T → 0 S → 0.

	ПРИМЕР
	Приращение энтропии идеального газа
	Система из состояния p1, V1, T1 переходит в состояние p2, V2, T2. Найти приращение
энтропии S2 – S1. Из состояния 1 в состояние 2 перейти равновесным образом.
p	p1, V1, T1	Изотерма – нагрев идёт без перепада T – процесс обра-
		тим.
	p2, V2, T2
		Адиабата – нагрев идёт без подвода тепла (система
	адиабата	изолирована) – процесс обратим.

изотерма

p3, V3, T1

V

3

δQ

3

δQ

2

δQ

3 δA

3

pdV

m

S2

− S1

=

∫

= ∫

+ ∫

= ∫

= ∫

T

= pV

= µ

RT1

=

T

T

T

T

1

обратимая ветвь 1

1

3

1 1

1

1

δQ = δA

0, т. к. δQ = 0 (адиабата)

2

γ −1

m

V3

i m

i m

i

V3

V3

=

R ln

=

µ R ln

=

R ln

.

µ

V

2

V

2 µ

V

1

1

1

Так как газ идеальный, то

		γ	γ			γ
		p2V2	= p3V3	,	→	p2V2	=V3γ −1 .
		p1V1 = p3V3				p1V1
Умножим на	1	:
	(V1 )γ −1

3		m		RT1	dV
	µ
∫				V		=
				T
1			1

					γ				V3		γ −1
				p2V2			=				.
				p V γ
								V
			1		1				1
	S		− S		=		i m		R ln			p V γ
													2	2		.
						2 µ						p V γ
		2	1
													1	1
Если точки 1 и 2 лежат на адиабате, то										p V			γ	= p V			γ	и тогда ln	p V γ		= ln1 = 0 -
																			2	2
																			p V γ
										1		1		2 2
																			1	1

адиабатный процесс является изоэнтропийным.

III. Второе начало термодинамики

1.Невозможен процесс, единственным результатом которого была бы передача тепла от холодного тела к горячему.

2.Все процессы в изолированной системе идут в сторону возрастания энтропии. (Система стремится к более вероятному состоянию.)

3.Невозможен вечный двигатель второго рода, т. е. двигатель, который превращал бы всё подводимое к нему тепло в эквивалентную работу.

§ 10. Распределение молекул по абсолютным значениям скоростей (распределение Максвелла)

I. Функция распределения

Вероятность – отношение числа испытаний. при которых наступает событие, к об-

щему числу испытаний.
e−αx2 – функция Гаусса.
i-я ячейка	Число зёрен в i-й ячейке:
	∆Ni = N0 f (xi )∆xi .
	∆Ni = f (xi )∆xi – вероятность попадания зёрен в
	N0
	i-ю ячейку.

x

∆xi

f(xi) – функция распределения. Физический смысл – плотность вероятности попадания зерна в i-ю ячейку.

Свойства функции распределения
∑∆Ni = N0
∆Ni = N0 f (xi )∆xi → ∑∆N i = ∑N 0 f (x i )∆x i = N 0	,
1 = ∑ f (xi )∆xi – условие нормировки.

При ∆xi → 0

∞

∫ f (x)dx =1 .

−∞

Если данное событие обусловлено большим числом взаимонезависимых случайных причин, то события распределены по Гауссу и функция распределения имеет вид

f (xi )= Ae−αx2 .

+∞						1
					α 2
∫	Ae	−αx2	dx =1				.
				→ A =
−∞					π

Двумерный случай

f (xi , yi )= Ae−αxi2 Ae−αyi2			,
r
f (x, y)= A2e−α(x2 +y2 ) = A2e−αr2 ;
∆N (xi , yi )= N0 A2 e−αri2 ∆xi ∆yi				– число частиц в ячейке.
Число частиц в кольце:
∆N (r )	= N	0	A2 e−αri2 2πr ∆r .
i				i i
Для кольца функция распределения
ϕ(r )= A2 e−αri2				2πr .
i				i

Трёхмерный случай

Число частиц в шаровом слое радиуса ri и толщиной ∆ri:

∆N (r )= N		0	A3e−αri2		4πr2		∆r .
i						i	i
								3
								α
									2
3	e	−αr2		2
ϕ(ri )= A			i	4πri		, A3 =
								π

– плотность вероятности попадания частицы в i-й сферический слой.

II. Распределение молекул по скоростям

Введём пространство скоростей.

z	v1		vz
v3			v3	v1
0	y		0	vy
	v2
x		vx	v2

В пространстве скоростей каждой молекуле, движущейся со скоростью v соответ-

ствует изобразительная точка с радиусом-вектором v.

vz	dvy dvz		dN v = N0 f (v) dvx dvy dvz ,
		dvx	где f(v) – плотность изобразительных точек.
		vy

vx

Найдём вид функции распределения.

Факты наличия у молекулы конкретных проекций скоростей vx, vy и vz являются взаимно независимыми. Из этого следует, что

f (v)= ϕ1 (vx ) ϕ2 (vy ) ϕ3 (vz ),

(1)

так как вероятность сложного события равна произведению вероятности каждой из компонент этого события.

Функции φ1, φ2 и φ3 имеют одинаковый вид, так как все направления равноправны. С учётом вышеуказанных свойств запишем:

ln f (v)= lnϕ(v

x

)+ lnϕ(v

y

)+ lnϕ(v

z

)

∂

,

∂vx

1

∂f

∂v

=

1 ∂ϕ(v

)

+ 0

+ 0 ;

∂v

∂vx x

f (v)

∂vx

ϕ(vx )

∂v =

∂

vx2 + v2y + vz2 =

vx

= vx

,

∂vx

∂vx

vx2 + v2y + vz2

v

f '(v)

vx

=

∂ϕ(vx )

,

f (v)

v

∂vx ϕ(vx )

f '(v)

1 1

∂ϕ(vx )

v =

f (v)

vx

∂vx ϕ(vx )

– правая часть не зависит от vy и vz, значит, и левая часть не зависит от vy и vz.

Аналогично, продифференцировав по vy, получим

f '(v) 1 1 ∂ϕ(vy )
f (v) v = vy ∂vy ϕ(vy	)

– правая часть не зависит от vx и vz, значит, и левая часть не зависит от vx и vz.

Так как левая часть предыдущего равенства не зависит от vx, vy и vz, то она равна константе:

f '((v)) 1 = −α .

f v v

Тогда этой константе равна и правая часть уравнения:

1∂ϕ(v(x ) ) = −α ;

vx ∂vx ϕ vx

dϕ	= −αvx dvx → lnϕ = −	αv2	+ const ,
ϕ		x
		2