МЭИ(ТУ) Физика

αv

2

ϕ(vx )= A e− 2x

.

Аналогично

ϕ(vy )= A e−

αv2y

αv2

и ϕ(vz )= A e−

2z .

2

С учётом соотношения (1) получим

αv2

αv2y

αv2

f (v)= A3 e−

2x

e−

e−

2z

,

2

f (v)=

A e

−

α (v2x +v2y +v2z )

2

,

3

αv2

f (v)= A3 e−

.

2

Для нахождения постоянной A воспользуемся условием нормировки:

∞

∞

αv2

∫ϕ(vx )dvx

=1,

∫ A e−

2x dvx = 1 – интеграл Пуассона;

−∞

−∞

1

α

3

3

−αv2

α

α

2

A

3

2

f (v)

2

e

A =

→

=

→

=

2

.

2π

2π

2π

Найдём α. С одной стороны

m0

v2

=

3

kT ,

2

2

где m0 – масса одной молекулы. С другой стороны,

среднее значение скорости v2

можно найти по формуле

∞

v2 = ∫v2 f (v)dv .

−∞

Отсюда

α = mkT0 .

Функция распределения молекул по скоростям с учётом направления скорости:

m

3

m v2

+m v2

+m v2

0

2

−

0 x

0 y

0

z

f (v)=

e

2kT

.

2πkT

III. Функция распределения молекул по абсолютным значениям скоростей (функция Максвелла)

vz

dvx·dvy·dvz

vy

vx

F(v)

e−αv2 v2

dN v = N0 f (v) 4πv2 dv – объём сферического слоя.

		4			m			3			m v2
							2
										−	0
	dNv =		N0			0			e		2kT v2 dv		,
		π
					2kT

здесь Nv – число молекул со скоростями от v до v + dv.

Функция распределения Максвелла:

		4		m			3			m v2
						2
	F(v)=				0			e	−	0	v	2	.
										2kT
		π		2kT

v

F( v )	T1	При нагревании газа доля молекул, обла-
		дающих малыми скоростями, уменьшает-

T2 > T1 ся, а доля молекул с большими скоростями увеличивается.

v

Наивероятнейшая скорость vвер соответствует максимуму функции распределения

F(v):

∂F (v)

= 0 ,

∂v

∂

2

−

αv

2

−

αv2

2

α

−αv2

2

2

e

2

= 2v e

2 − v

2

2

v e

2

=

0 ; 2 − v α = 0

, v =

α

;

∂v

vвер =

2kT

.

m0

F(v)

Средняя скорость

v :

S = 1

∞

8kT .

v = ∫vF(v)dv =

0

πm0

vвер

v

vкв

Средняя квадратичная скорость vкв:				v
	∞			3kT ,
v2 = ∫v2 F(v)dv =
0				m0
	vкв =	3kT	.
		m0

Распределение молекул по кинетическим

F

энергиям

Кинетическая энергия молекулы ε =

m

v2

;

0

2

dε = m0 v dv , dv =

dε

;

m0 v

kT

3

ε

2

ε

=

2 kT

2

ε

−

ε

dε

kT

dNε = π N0

kT

e

kT ,

F (ε )=

2

(kT )

−

3

−

ε

e

kT

ε ,

2

π

∞

3

ε = ∫εF(ε)dε =

kT .

2

0

§ 11. Распределение молекул во внешнем потенциальном поле

I. Барометрическая формула

h

p = ρgH (как в гидростатике).

p + dp

p − (p + dp)= ρg dh ,

pµ

pµ

dh − dp =

ρg dh = pV = m RT →

ρ = m

=

= −

g dh ,

p

dp = −

µ

µ

V

RT

RT

g dh ; интегрируем:

p

RT

ln p = − µRg ∫dhT + const .

Если температура не зависит от высоты, т. е. T = const, то

	ln p = −	µgh	+ const ,
		RT
	p = B e		−	µgh
				RT .

При h = 0 p = p0 – давление у поверхности земли;

− µgh

p = p0 e RT .

II. Распределение молекул по потенциальным энергиям

(распределение Больцмана)									n
p = p0e			−µgh						n01
			RT							T1
p = nkT						−	m0 gh		n02
						n = n0e
p0 = n0kT							kT			T2 > T1
µ	=	m0 NA
R		k NA
										h

–распределение Больцмана по потенциальным энергиям. Здесь n – концентрация.

−εp

εp = m0 gH n = n0e kT .

z

Число

молекул

в объёме dx·dy·dz

с потенциальной

dy

энергией εp

dz

z

dNεp = n0e−

εp (x, y,x )

dx

kT

dx dy dz

.

y

x

III. Распределение Максвелла-Больцмана

dNε = dNεp

A

e

−

m0 (vx2 +v2y +vz2 )

dvx dvy dvz ,

2kT

3

dN

= n

−

εp

dx dy dz ;

e kT

εp

0

m v2

ε

p

+

0

= A3 e−

2

dNε ,εp

n0 dvx dvy dvz dx dy dz

kT

– распределение Максвелла-Больцмана.

Экспериментальная проверка распределения Максвелла

Опыты Ламмерта

∆φ

поток молекул ∆ϕ = ωi t

∆ϕ

=

ω

i ,

ловушка

l = vi t

,

l

ω

vi

vi =

l

ωi

.

∆ϕ

l

§ 12. Длина свободного пробега молекулы

	Молекулы, участвуя в хаотическом движении, сталкиваются друг с другом.
λ1						d – эффективный диаметр молекулы. d = d(T) – зависит от
	λ2	λ3		d		температуры.
						Средняя длина свободного пробега	λ – среднее расстоя-

ние между ударами.

σ = πd4 2 – площадь эффективного сечения молекулы Найдём λ , исходя из следующих предпосылок:

1.Молекулы – шары диаметра d.

2.Все молекулы неподвижны.

3.Движется "тень" от одной молекулы.

"Тень" заденет все молекулы, центры которых лежат внутри цилиндра диаметра 2d.

Число этих молекул равно числу столкновений "тени".

d

2d

Число столкновений

∆Nl = πd 2l n .

l

l

l

1

λ =

=

πd

=

,

∆Nl

2l n

πd 2 n

если все молекулы неподвижны. С учётом движения всех молекул,

λ

=

1

.

2πd 2 n

d ≈ 2·10-10 м, n ≈ 3 1025

1

,

λ

≈ 2 10−7 м

.

м3

Время между двумя соударениями:

τ =

λ

v .

Число ударов в единицу времени:

z = 1 =

v

= 2πd 2 n v .

τ

λ

v ≈103 м

, z ≈

1

103

≈109 .

2 10−7

с

Изохорический процесс

	V = const n		=	N		= const ; λ	~	1 .
				V
								d 2
		λ	= λ∞			T
						C +T
	– формула Сёзерленда, где λ∞	= lim λ	. Для азота N2 С ≈ 100 К.
		T →∞

λ

λ∞

12 λ∞

100

T

§ 13. Неравновесные процессы. (Явления переноса)

I. Опытные законы

1.Диффузия – перенос массы.

2.Теплопроводность – перенос тепловой энергии.

3.Внутреннее трение – перенос импульса.

	Диффузия
S	∆m ~ S ,
	∆m ~ ∆t (время),
	∆m ~ grad ρ (градиент).
grad ρ – вектор, пропорциональный скорости изменения плотности вещества.

∆m = −D ∂∂ρx S∆t ,

D – коэффициент диффузии. Знак "–" означает, что масса переходит в сторону уменьшения концентрации.

Теплопроводность

∆Q		∆Q ~ S ,
S	S	x ∆Q ~ ∆t (время),
T1 > T2		∆Q ~ grad T .

∆Q = −κ ∂∂Tx S∆t ,

κ – коэффициент теплопроводности. Знак "–" означает, что тепловой поток идёт в сторону области с меньшей температурой.

						Внутреннее трение
z			u1 > u2 .
	S
		u1	f x =η	∂u	S	,
		x		∂z
			η – коэффициент внутреннего трения.
		u2

II. Молекулярно-кинетическая теория внутреннего трения

Рассмотрим два слоя воздуха.

1

2 u2

v – тепловая скорость движения; u – скорость

u1 направленного движения слоя воздуха.

v ≈10	3	м
	м		с	, u << v .
u ≈10 с

При переходе из одного слоя в другой молекулы переносят с собой импульс. Потери импульса слоя 1:

∆K1 = −∆N12 m0u1 ,

где ∆N12 – число частиц, перешедших из слоя 1 в слой 2. Приобретённый слоем 1 импульс:

∆K1 ' = ∆N21m0u2 ,

где ∆N21 – число частиц, перешедших из слоя 2 в слой 1. Полное изменение импульса слоя 1:

∆K = ∆K1 + ∆K1 ' = ∆N21m0u2 − ∆N12 m0u1 .

Нужно найти ∆N12.

S	v ∆t ∆N12	= S v ∆t	1 n = ∆N21 ,
			6

∆N12 = ∆N21 , т. к. N = const.

∆K = 16 S v ∆t nm0 (u1 − u2 ), nm0 = ρ ,

f

x

= ∆K = 1 ρS v (u − u

2

).

∆t

6

1

z

u

− u

=

∂u

∆z ,

u1

1

2

∂z

x ∆z = 2λ

u2

z

f x =

1

ρ λ v

∂u

S

.

u1

3

∂z

S

λ

f x =η

∂u

S

η =

1

ρ v λ

.

u2

∂z

3

Физическое явление

Переносимая величина

Коэффициент пропорциональности

1. Диффузия

Масса

D =

1 v

λ

3

2. Внутреннее трение

Импульс

η = 1

ρ v

λ

3

3. Теплопроводность

Тепловая энергия

κ = 1 ρ v

λ c

3

V

Зависимость η, κ от давления

откачка воздуха

ρ ~ p,

l

η,κ ~ ρ λ ;

λ

~

1

~

1

,

т. к. p = nkT .

n

p

ρ λ ≠ f (p).

λ

κ

l

pкр

p

p

Уменьшение давления в 500 раз приводит к изменению η и κ на 3-5%.