- •§ 2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
- •§ 3. Функция распределения двумерной случайной величины.
- •§ 4. Свойства функции распределения двумерной случайной величины
- •§ 5. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу
- •§ 6. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник
- •§ 7. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности)
- •§ 8. Нахождение функции распределения системы по известной плотности распределения
- •§ 9. Вероятностный смысл двумерной плотности вероятности.
- •§ 10. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область
- •§11. Свойства двумерной плотности вероятности
- •§ 12. Отыскание плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины
- •§ 13. Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин
- •§ 14. Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин
- •§ 15. Условное математическое ожидание
- •§ 16. Зависимые и независимые случайные величины
- •§ 17. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •§ 18. Коррелированность и зависимость случайных величин
- •§ 19. Нормальный закон распределения на плоскости
- •§ 20. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
- •§ 21. Линейная корреляция. Нормальная корреляция
- •§ 1. Задачи математической статистики
- •§ 2. Краткая историческая справка
- •§ 3. Генеральная и выборочная совокупности
- •§ 4 Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка
- •§ 5. Способы отбора
- •§ 6. Статистическое распределение выборки
- •§ 7. Эмпирическая функция распределения
- •§ 8. Полигон и гистограмма
- •§ 1. Статистические оценки параметров распределения
- •§ 2. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки
- •§ 3. Генеральная средняя
- •§ 4. Выборочная средняя
- •§ 5. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних
- •§ 6. Групповая и общая средние
- •§ 7. Отклонение от общей средней и его свойство
- •§ 8. Генеральная дисперсия
- •§ 9. Выборочная дисперсия
- •§ 10. Формула для вычисления дисперсии
- •§11. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии
- •§ 12. Сложение дисперсий
- •§ 13. Оценка генеральной дисперсий по исправленной выборочной
- •§14. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал
- •§ 15. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном σ
- •§ 16. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном σ
- •§ 17. Оценка истинного значения измеряемой величины
- •§ 18. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения
- •§ 19. Оценка точности измерений
- •§ 20. Оценка вероятности (биномиального распределения) по относительной частоте
- •§ 21. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
- •§ 22. Метод наибольшего правдоподобия
- •§ 23. Другие характеристики вариационного ряда
- •§ 1. Условные варианты
- •§ 2. Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты
- •§ 3. Условные эмпирические моменты. Отыскание центральных моментов по условным
- •§ 4. Метод произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии
- •§ 5. Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим
- •§ 6. Эмпирические и выравнивающие (теоретические) частоты
- •§ 7. Построение нормальной кривой по опытным данным
- •§ 8. Оценка отклонения эмпирического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс
- •§ 1. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости
- •§ 2. Условные средние
- •§ 3. Выборочные уравнения регрессии
- •§ 4. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратичной регрессии по не сгруппированным данным
- •§ 5. Корреляционная таблица
- •§ 6. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным
- •§ 7. Выборочный коэффициент корреляции
- •§ 8. Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции
- •§ 9. Пример на отыскание выборочного уравнения прямой линии регрессии
- •§ 10. Предварительные соображения к введению меры любой корреляционной связи
- •§ 11. Выборочное корреляционное отношение
- •§ 12. Свойства выборочного корреляционного отношения
- •§ 13. Корреляционное отношение как мера корреляционной связи. Достоинства и недостатки этой меры
- •§ 14. Простейшие случаи криволинейной корреляции
- •§ 15. Понятие о множественной корреляции
- •§ 1. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы
- •§ 2. Ошибки первого и второго рода
- •§ 3. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия
- •§ 4. Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки
- •§ 5. Отыскание правосторонней критической области
- •§ 6. Отыскание левосторонней и двусторонней критических областей
- •§ 7. Дополнительные сведения о выборе критической области. Мощность критерия
- •§ 8. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •§ 9. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности
- •§ 10. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (независимые выборки)
- •§ 11( Сравнение двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей (большие независимые выборки)
- •§ 12. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки)
- •§ 13. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности а. Дисперсия генеральной совокупности известна.
- •§ 14. Связь между двусторонней критической областью и доверительным интервалом
- •§ 15. Определение минимального объема выборки при сравнении выборочной и гипотетической генеральной средних
- •§ 16. Пример на отыскание мощности критерия
- •§ 17. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки)
- •§ 18. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события
§ 17. Оценка истинного значения измеряемой величины
Пусть производится п независимых равноточных измерений некоторой физической величины, истинное значение а которой неизвестно. Будем рассматривать результаты отдельных измерений как случайные величины Xl, Х2 ,… , Хn. Эти величины независимы (измерения независимы), имеют одно и то же математическое ожидание а (истинное значение измеряемой величины), одинаковые дисперсии σ2 (измерения равноточны) и распределены нормально (такое допущение подтверждается опытом). Таким образом, все предположения, которые были сделаны при выводе доверительных интервалов в двух предыдущих параграфах, выполняются, и, следовательно, мы вправе использовать полученные в них формулы. Другими словами, истинное значение измеряемой величины можно оценивать по среднему арифметическому результатов отдельных измерений при помощи доверительных интервалов. Поскольку обычно σ неизвестно, следует пользоваться формулами, приведенными в § 16.
Пример. По данным девяти независимых равноточных измерений физической величины найдены среднее арифметической результатов отдельных измерений =42,319 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=5,0. Требуется оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью γ=0,95.
Решение. Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию. Поэтому задача сводится к оценке математического ожидания (при неизвестном σ) при помощи доверительного интервала
,
покрывающего а с заданной надежностью γ = 0,95.
Пользуясь таблицей приложения 3, по γ = 0,95 и n= 9 находим tγ = 2,31.
Найдем точность оценки:
.
Найдем доверительные границы:
= 42,319 - 3,85 = 38,469;
= 42,319+3,85 = 46,169.
Итак, с надежностью 0,95 истинное значение измеряемой величины заключено в доверительном интервале
38,469 < а < 46,169.
§ 18. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. Требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение σ по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s. Поставим перед собой задачу найти доверительные интервалы, покрывающие параметр σ с заданной надежностью γ.
Потребуем, чтобы выполнялось соотношение
Р(|σ-s|<δ)= γ, или P(s-δ<σ<s+δ) = γ.
Для того чтобы можно было пользоваться готовой таблицей, преобразуем двойное неравенство
s-δ<σ<s+δ
в равносильное неравенство
s(1-δ/s)<σ<s(1+δ/s).
Положив δ/s = q, получим
s(1-q)<σ<s(1+q). (*)
Остается найти q. С этой целью введем в рассмотрение случайную величину «хи»:
где п - объем выборки.
Как было указано [см. § 16, пояснение, соотношение (***)], величина S2(n—1)/σ2 распределена по закону χ2 с п-1 степенями свободы, поэтому квадратный корень из нее обозначают через χ.
Плотность распределения χ имеет вид (см. пояснение в конце параграфа)
. (**)
Это распределение не зависит от оцениваемого параметра σ, а зависит лишь от объема выборки п.
Преобразуем неравенство (*) так, чтобы оно приняло вид χ1< χ< χ2. Вероятность этого неравенства (см. гл. XI, § 2) равна заданной вероятности γ, т.е.
.
Предполагая, что q < 1, перепишем неравенство (*) так:
.
Умножив все члены неравенства на , получим
, или.
Вероятность того, что это неравенство, а следовательно, и равносильное ему неравенство (*) будет осуществлено, равна
.
Из этого уравнения можно по заданным п и γ найти q. Практически для отыскания q пользуются таблицей приложения 4.
Вычислив по выборке s и найдя по таблице q, получим искомый доверительный интервал (*), покрывающий σ с заданной надежностью γ, т. е. интервал
s(1-q)<σ<s(1+q).
Пример 1. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема п = 25 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,8. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение σ с надежностью 0,95.
Решение. По таблице приложения 4 по данным γ = 0,95 и n = 25 найдем q = 0,32.
Искомый доверительный интервал (*) таков:
0,8 (1—0,32) < σ < 0,8 (1+0,32), или 0,544 < σ < 1,056.
Замечание. Выше предполагалось, что q < 1. Если q > 1, то неравенство (*) примет вид (учитывая, что σ > 0)
0 < σ< s (1+q),
или (после преобразований, аналогичных случаю q < 1)
Следовательно, значения q > 1 могут быть найдены из уравнения
Практически для отыскания значений q > 1, соответствующих различным заданным n и γ, пользуются таблицей приложения 4.
Пример 2. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=10 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=0,16. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение σ с надежностью 0,999.
Решение. По таблице приложения 4 по данным γ=0,999 и n =10 найдем q=1,80 (q>1). Искомый доверительный интервал таков:
0 < σ < 0,16(1 + 1,80), или 0 < σ < 0,448.
Пояснение. Покажем, что плотность распределения χ имеет вид (**).
Если случайная величина X распределена по закону χ2 с k = n-1 степенями свободы, то ее плотность распределения (см. гл. XII, § 13)
,
или после подстановки k= n-1
.
Воспользуемся формулой (см. гл. XII, § 10)
,
чтобы найти распределение функции .Отсюда обратная функция
и.
Так как χ > 0, то , следовательно,
.
Выполнив элементарные преобразования и изменив обозначения (g(χ), заменим на R(χ, n)), окончательно получим
.