§ 5. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу

Используя функцию распределения системы случайных величинX и Y, легко найти вероятность того, что в результате испытания случайная точка попадает в полуполосу х₁ < X <х₂ и Y<у (рис. 14, а) или в полуполосу Х<x и у₁<Y<у₂ (рис. 14, б).

Вычитая из вероятности попадания случайной точки в квадрант с вершиной (х₂, у) вероятность попадания точки в квадрант с вершиной (х₁, у) (рис. 14, а), получим

Р(х₁≤Х <х₂, Y<у)= F (x, у₂)- F (x, у₁).

Аналогично имеем

P(X<x, y₁≤Y≤у₂)= F (x, у₂)- F (x, у₁).

Таким образом, вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов.

Рис. 14

§ 6. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник

Рассмотрим прямоугольник ABCD со сторонами, параллельными координатным осям (рис. 15). Пусть уравнения сторон таковы:

Х = х₁, Х = x₂, Y = у₁ и Y= у₂.

Найдем вероятность попадания случайной точки(Х; Y) в этот прямоугольник. Искомую вероятность можно найти, например, так: из вероятности попадания случайной точки в полуполосу АВ с вертикальной штриховкой (эта вероятность равна F(x₂,y₂) - F(x₂,y₁)) вычесть вероятность попадания точки в полуполосу СD с горизонтальной штриховкой (эта вероятность равна F(х₂, y₁) - F(х₁, y₁)):

Р(х₁ ≤ X < х₂, у₁ ≤ Y < у₂) = [F(x₂, у₂ ) - - F(x₁, у₂)] - [F(x₂, у₁) - F(x₁, у₁)] (*)

Пример. Найти вероятность -попадания случайной точки (X; Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми x = π/6, x = π/2, у = π/4, у = π/3, если известна функция распределения

F(x, у) = sin x sin y (0≤x≤π/2, 0≤у≤π/2).

Решение. Положив х₁ = π/6, х₂ = π/2, у_{1 =} π/4, у₂= π/3 в формуле (*), получим:

Р( π/6<Х<π/2, π/4<У<π/3) = [F(π/2, π/3) – F(π/6, π/3)] - [F(π/2, π/4) - F(π/6, π/4)] = = [sin(π/2) sin(π/3) - sin(π/6) sin(π/3)] - [sin(π/2) sin(π/4) - sin(π/6) sin(π/4)] = [ √3/2-√3/4]- [√2/2-√2/4] =(√3-√2)/4 = 0,08.

§ 7. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности)

Двумерная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Непрерывную двумерную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения. Здесь и далее будем предполагать, что функция распределения F(x,у) всюду непрерывна и имеет всюду (за исключением, быть может, конечного числа кривых) непрерывную частную производную второго порядка.

Плотностью совместного распределения вероятностей f(x,у) двумерной непрерывной случайной величины (X,Y) называют вторую смешанную частную производную от функции распределения:

Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.

Пример. Найти плотность совместного распределения f(x,у) системы случайных величин (X, Y) по известной функции распределения

F(x,y) = sin x sin y (0≤x≤π/2, 0≤y≤π/2).

Решение. По определению плотности совместного распределения

Найдем частную производную по x от функции распределения:

Найдем от полученного результата частную производную по у, в итоге получим искомую плотность совместного распределения: