§ 11( Сравнение двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей (большие независимые выборки)

В предыдущем параграфе предполагалось, что генеральные совокупности Х и Y распределены нормально, а их дисперсии известны. При этих предположениях в случае справедливости нулевой гипотезы о равенстве средних и независимых выборках критерий Z распределен точно нормально с параметрами 0 и 1.

Если хотя бы одно из приведенных требований не выполняется, метод сравнения средних, описанный в § 10, неприменим.

Однако если независимые выборки имеют большой объем (не менее 30 каждая), то выборочные средние распределены приближенно нормально, а выборочные дисперсии являются достаточно хорошими оценками генеральных дисперсий и в этом смысле их можно считать известными приближенно. В итоге критерий

.

распределен приближенно нормально с параметрами М(Z')==0 (при условии справедливости нулевой гипотезы) и σ(Z')=1 (если выборки независимы).

Итак, если: 1) генеральные совокупности распределены нормально, а дисперсии их неизвестны; 2) генеральные совокупности не распределены нормально и дисперсии их неизвестны, причем выборки имеют большой объем и независимы, — можно сравнивать средние так, как описано в § 10, заменив точный критерий Z приближенным критерием Z'. В этом случае наблюдаемое значение приближенного критерия таково:

Замечание. Поскольку рассматриваемый критерий—приближенный, к выводам, полученным по этому критерию, следует относиться осторожно.

Пример. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны n=100 и m==120, найдены выборочные средние =32,4, ==30,1 и выборочные дисперсии D_в(Х)= 15,0, D_в(Y)=25,2. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀: М (X) = М (Y), при конкурирующей гипотезе Н₁: М (X) > М (Y).

Решение. Подставив данные задачи в формулу для вычисления наблюдаемого значения приближенного критерия, получим

Z’_набл = 3,83.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М (X) > М (Y), поэтому критическая область — правосторонняя.

Найдем критическую точку по равенству

Ф (z_кр) = ( 1-2α)/2 = ( 1—2·0,05)/2= 0,45.

По таблице функции Лапласа находим z_кр = 1,64.

Так как Z_набл > z_кр — нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочные средние различаются значимо.

§ 12. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки)

Пусть генеральные совокупности Х и Y распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. Например, по выборкам малого объема нельзя получить хорошие оценки генеральных дисперсий. По этой причине метод сравнения средних, изложенный в § 11, применить нельзя.

Однако если дополнительно предположить, что неизвестные генеральные дисперсии равны между собой, то можно построить критерий (Стьюдента) сравнения средних. Например, если сравниваются средние размеры двух партий деталей, изготовленных на одном и том же станке, то естественно допустить, что дисперсии контролируемых размеров одинаковы.

Если же нет оснований считать дисперсии одинаковыми, то, прежде чем сравнивать средние, следует, пользуясь критерием Фишера—Снедекора (см. §8), предварительно проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

Итак, в предположении, что генеральные дисперсии одинаковы, требуется проверить нулевую гипотезу Н₀: М (X) = М (Y). Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются выборочные средние и , найденные по независимым малым выборкам объемов n и m.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

.

Доказано, что величина Т при справедливости нулевой гипотезы имеет t-распределение Стьюдента с k = n + m - 2 степенями свободы.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Первый случай. Нулевая гипотеза Н₀: М (X) = М (Y). Конкурирующая гипотеза Н₁: М (X) ≠ М (Y).

В этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия Т в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости а.

Наибольшая мощность критерия (вероятность попадания критерия в критическую область при справедливости конкурирующей гипотезы) достигается тогда, когда «левая» и «правая» критические точки выбраны так, что вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов двусторонней критической области равна α/2:

Р (Т < t_{лев. кр}) = α/2, Р (Т > t_{пр. кр}) = α/2.

Поскольку величина Т имеет распределение Стьюдента, а оно симметрично относительно нуля, то и критические точки симметричны относительно нуля. Таким образом, если обозначить правую границу двусторонней критической области через t_{двуст. кр} (α; k), то левая граница равна — t_{двуст. кр} (α; k). Итак, достаточно найти правую границу двусторонней критической области, чтобы найти саму двустороннюю критическую область: Т <— t_{двуст. кр} (α; k), Т > t_{двуст. кр} (α; k) и область принятия нулевой гипотезы: [—t_{двуст. кр} (α; k), t_{двуст. кр} (α; k)].

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через T_набл и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н₀: М (X) = М (Y) о равенстве математических ожиданий двух нормальных совокупностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями (в случае независимых малых выборок) при конкурирующей гипотезе Н₁: М (X) ≠ М (Y), надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α (помещенному в верхней строке таблицы) и числу степеней свободы k = n + m — 2 найти критическую точку t_{двуст. кр} (α; k).

Если | T_набл| < t_{двуст. кр} (α; k) — отвергнуть нулевую гипотезу нет оснований.

Если |T_набл | > t_{двуст. кр} (α; k) — нулевую гипотезу отвергают.

Пример. По двум независимым малым выборкам, объемы которых соответственно равны n=5 и m=6, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей Х и Y, найдены выборочные средние =3,3, =2,48 и исправленные дисперсии s²_X = 0,25 и s²_Y = 0,108. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀: М (X) = М (Y), при конкурирующей гипотезе Н₁: М (X) ≠ М (Y).

Решение. Так как выборочные дисперсии различны, проверим предварительно нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий, пользуясь критерием Фишера—Снедекора (см. § 8).

Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:

F_набл = 0,25/0,108 =2,31.

Дисперсия s²_X значительно больше дисперсии s²_Y, поэтому в качестве конкурирующей примем гипотезу Н₁: D(X) > D(У). В этом случае критическая область—правосторонняя. По таблице, по уровню значимости α ==0,05 и числам степеней свободы k₁ = 5—1 = 4, k₂ = 6—1==5 находим критическую точку F_кр (0,05; 4; 5) = 5,19.

Так как F_набл < F_кр—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

Поскольку предположение о равенстве генеральных дисперсий выполняется, сравним средние.

Вычислим наблюдаемое значение критерия Стьюдента:

.

Подставив числовые значения величин, входящих в эту формулу, получим T_набл=3,27.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М (X) ≠ М (Y), поэтому критическая область—двусторонняя. По уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы k = 5+6—2=9 находим по таблице (см. приложение 6) критическую точку t_{двуст. кр} (0,05; 9) =2,26.

Так как T_набл > t_{двуст. кр}—нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних отвергаем. Другими словами, выборочные средние различаются значимо.

Второй случай. Нулевая гипотеза Н₀: М (X) = М (Y). Конкурирующая гипотеза Н₁: М (X) > М (Y).

В этом случае строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия Т в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости:

P(T > t_{правост. кр}) = α

Критическую точку t_{правост. кр} (α,k) находят по таблице, приложения 6, по уровню значимости α, помещенному в нижней строке таблицы, и по числу степеней свободы k = n + m — 2.

Если Т_набл < t_{правост. кр} — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если Т_набл > t_{правост. кр} — нулевую гипотезу отвергают.

Третий случай. Нулевая гипотеза Н₀: М (X) = М (Y). Конкурирующая гипотеза Н₁: М (X) < М (Y). В этом случае строят левостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости:

P(T > t_{правост. кр}) = α

В силу симметрии распределения Стьюдента относительно нуля t_{левост.кр} = — t_{правост.кр}. Поэтому сначала находят «вспомогательную» критическую точку t_{правост. кр} так, как описано во втором случае, и полагают t_{левост.кр} = — t_{правост.кр}

Если Т_набл > t_{правост.кр} — отвергнуть нулевую гипотезу нет оснований.

Если T_набл < t_{правост.кр} — нулевую гипотезу отвергают.