- •§ 2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
- •§ 3. Функция распределения двумерной случайной величины.
- •§ 4. Свойства функции распределения двумерной случайной величины
- •§ 5. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу
- •§ 6. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник
- •§ 7. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности)
- •§ 8. Нахождение функции распределения системы по известной плотности распределения
- •§ 9. Вероятностный смысл двумерной плотности вероятности.
- •§ 10. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область
- •§11. Свойства двумерной плотности вероятности
- •§ 12. Отыскание плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины
- •§ 13. Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин
- •§ 14. Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин
- •§ 15. Условное математическое ожидание
- •§ 16. Зависимые и независимые случайные величины
- •§ 17. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •§ 18. Коррелированность и зависимость случайных величин
- •§ 19. Нормальный закон распределения на плоскости
- •§ 20. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
- •§ 21. Линейная корреляция. Нормальная корреляция
- •§ 1. Задачи математической статистики
- •§ 2. Краткая историческая справка
- •§ 3. Генеральная и выборочная совокупности
- •§ 4 Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка
- •§ 5. Способы отбора
- •§ 6. Статистическое распределение выборки
- •§ 7. Эмпирическая функция распределения
- •§ 8. Полигон и гистограмма
- •§ 1. Статистические оценки параметров распределения
- •§ 2. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки
- •§ 3. Генеральная средняя
- •§ 4. Выборочная средняя
- •§ 5. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних
- •§ 6. Групповая и общая средние
- •§ 7. Отклонение от общей средней и его свойство
- •§ 8. Генеральная дисперсия
- •§ 9. Выборочная дисперсия
- •§ 10. Формула для вычисления дисперсии
- •§11. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии
- •§ 12. Сложение дисперсий
- •§ 13. Оценка генеральной дисперсий по исправленной выборочной
- •§14. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал
- •§ 15. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном σ
- •§ 16. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном σ
- •§ 17. Оценка истинного значения измеряемой величины
- •§ 18. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения
- •§ 19. Оценка точности измерений
- •§ 20. Оценка вероятности (биномиального распределения) по относительной частоте
- •§ 21. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
- •§ 22. Метод наибольшего правдоподобия
- •§ 23. Другие характеристики вариационного ряда
- •§ 1. Условные варианты
- •§ 2. Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты
- •§ 3. Условные эмпирические моменты. Отыскание центральных моментов по условным
- •§ 4. Метод произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии
- •§ 5. Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим
- •§ 6. Эмпирические и выравнивающие (теоретические) частоты
- •§ 7. Построение нормальной кривой по опытным данным
- •§ 8. Оценка отклонения эмпирического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс
- •§ 1. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости
- •§ 2. Условные средние
- •§ 3. Выборочные уравнения регрессии
- •§ 4. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратичной регрессии по не сгруппированным данным
- •§ 5. Корреляционная таблица
- •§ 6. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным
- •§ 7. Выборочный коэффициент корреляции
- •§ 8. Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции
- •§ 9. Пример на отыскание выборочного уравнения прямой линии регрессии
- •§ 10. Предварительные соображения к введению меры любой корреляционной связи
- •§ 11. Выборочное корреляционное отношение
- •§ 12. Свойства выборочного корреляционного отношения
- •§ 13. Корреляционное отношение как мера корреляционной связи. Достоинства и недостатки этой меры
- •§ 14. Простейшие случаи криволинейной корреляции
- •§ 15. Понятие о множественной корреляции
- •§ 1. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы
- •§ 2. Ошибки первого и второго рода
- •§ 3. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия
- •§ 4. Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки
- •§ 5. Отыскание правосторонней критической области
- •§ 6. Отыскание левосторонней и двусторонней критических областей
- •§ 7. Дополнительные сведения о выборе критической области. Мощность критерия
- •§ 8. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •§ 9. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности
- •§ 10. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (независимые выборки)
- •§ 11( Сравнение двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей (большие независимые выборки)
- •§ 12. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки)
- •§ 13. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности а. Дисперсия генеральной совокупности известна.
- •§ 14. Связь между двусторонней критической областью и доверительным интервалом
- •§ 15. Определение минимального объема выборки при сравнении выборочной и гипотетической генеральной средних
- •§ 16. Пример на отыскание мощности критерия
- •§ 17. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки)
- •§ 18. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события
§ 8. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, самих методов измерений и т. д. Очевидно, предпочтительнее тот прибор, инструмент и метод, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т. е. наименьшую дисперсию.
Пусть генеральные совокупности Х и У распределены нормально. По независимым выборкам с объемами, соответственно равными n1 и n2, извлеченным из этих совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии s2X и s2Y. Требуется по исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой:
Н : D(Х) = D(У).
Учитывая, что исправленные дисперсии являются несмещенными оценками генеральных дисперсий (см. гл. XVI, § 13), т. е.
M[s2X] = D(X), M[s2Y] = D(Y).
нулевую гипотезу можно записать так:
H0 : M[s2X] = M[s2Y]
Таким образом, требуется проверить, что математические ожидания исправленных выборочных дисперсий равны между собой. Такая задача ставится потому, что обычно исправленные дисперсии оказываются различными. Возникает вопрос: значимо (существенно) или незначимо различаются исправленные дисперсии?
Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т. е. генеральные дисперсии одинаковы, то различие исправленных дисперсий незначимо и объясняется случайными причинами, в частности случайным отбором объектов выборки. Например, если различие исправленных выборочных дисперсий результатов измерений, выполненных двумя приборами, оказалось незначимым, то приборы имеют одинаковую точность.
Если нулевая гипотеза отвергнута, т. е. генеральные дисперсии неодинаковы, то различие исправленных дисперсий значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а является следствием того, что сами генеральные дисперсии различны. Например, если различие исправленных выборочных дисперсий результатов измерений, произведенных двумя приборами, оказалось значимым, то точность приборов различна.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы о равенстве генеральных дисперсий примем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т. е. случайную величину
F = S2б/S2м.
Величина F при условии справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера — Снедекора (см. гл. XII, § 15) со степенями свободы k1 = n1—1 и k2 = n2—1, где n1—объем выборки, по которой вычислена большая исправленная дисперсия, n2—объем выборки, по которой найдена меньшая дисперсия. Напомним, что распределение Фишера—Снедекора зависит только от чисел степеней свободы и не зависит от других параметров.
Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.
Первый случай. Нулевая гипотеза Н0 : D(Х) = D(У). Конкурирующая гипотеза Н1 : D(Х) > D(У).
В этом случае строят одностороннюю, а именно правостороннюю, критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия F в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости:
Р[F>Fкр(α; k1, k2)] = α.
Критическую точку Fкр(α; k1, k2) находят по таблице критических точек распределения Фишера—Снедекора (см. приложение 7), и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством F > Fкр, а область принятия нулевой гипотезы—неравенством F < Fкр.
Обозначим отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, вычисленное по данным наблюдений, через Fнабл и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.
Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу Н0 : D(Х) = D(У) о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе Н1 : D(Х) > D(У), надо вычислить отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т. е.
Fнабл = S2б/S2м
и по таблице критических точек распределения Фишера— Снедекора, по заданному уровню значимости α и числам степеней свободы k1 и k2 (k1—число степеней свободы большей исправленной дисперсии) найти критическую точку Fнабл(α; k1, k2).
Если Fнабл < Fкр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Fнабл > Fкр —нулевую гипотезу отвергают.
Пример 1. По двум независимым выборкам объемов n1=12 и n2=15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей Х и У, найдены исправленные выборочные дисперсии s2X=11,41 и s2Y=6,52. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н0 : D(Х) = D(У) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе Н1 : D(Х) > D(У).
Решение. Найдем отношение большей исправленной дисперсия к меньшей:
Fнабл=11,41/6,52 =1,75.
Конкурирующая гипотеза имеет вид D(Х) > D(У), поэтому критическая область — правосторонняя.
По таблице приложения 7, по уровню значимости α ==0,05 и числам степеней свободы k1=12—1=11 и k2==15—1=14 находим критическую точку Fкр (0,05; 11, 14) ==2,56.
Так как Fнабл < Fкр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.
Второй случай. Нулевая гипотеза Н0 : D(Х) = D(У). Конкурирующая гипотеза Н1 : D(Х) ≠ D(У).
В этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости α.
Как выбрать границы критической области? Оказывается, что наибольшая мощность (вероятность попадания критерия в критическую область при справедливости конкурирующей гипотезы) достигается тогда, когда вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области равна α/2.
Таким образом, если обозначить черег F1 левую границу критической области и через F2—правую, то должны иметь место соотношения (рис. 24):
Р(F<F1) = α/2, Р(F>F2) = α/2,
Мы видим, что достаточно найти критические точки, чтобы найти саму критическую область: Р < Р1, Р > Р2, а также область принятия нулевой гипотезы: F1 < F < F2. Как практически отыскать критические точки?
Правую критическую точку F2=Fкр(α/2; k1, k2) находят непосредственно по таблице критических точек распределения Фишера—Снедекора по уровню значимости α/2 и степеням свободы k1 и k2.
Однако левых критических точек эта таблица. не содержит и поэтому найти F1 непосредственно по таблице невозможно. Существует способ, позволяющий преодолеть это затруднение. Однако мы не будем его описывать, поскольку можно левую критическую точку и не отыскивать. Ограничимся изложением того, как обеспечить попадание критерия F в двустороннюю критическую область с вероятностью, равной принятому уровню значимости α.
Оказывается, достаточно найти правую критическую точку F2 при уровне значимости, вдвое меньшем заданного. Тогда не только вероятность попадания критерия в «правую часть» критической области (т. е. правее F2) равна α/2, но и вероятность попадания этого критерия в «левую часть» критической области (т. е. левее F1) также равна α/2. Так как эти события несовместны, то вероятность попадания рассматриваемого критерия во всю двустороннюю критическую область будет равна α/2+α/2==α.
Таким образом, в случае конкурирующей гипотезы Н1 : D(Х) ≠ D(У) достаточно найти критическую точку F2=Fкр(α/2; k1, k2).
Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормально распределенных совокупностей при конкурирующей гипотезе Н1 : D(Х) ≠ D(У), надо вычислить отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т. е. Fнабл = S2б/S2м и по таблице критических точек распределения Фишера—Снедекора по уровню значимости α/2 (вдвое меньшем заданного) и числам степеней свободы k1 и k2 (k1—число степеней свободы большей дисперсии) найти критическую точку Fкр(α/2; k1, k2).
Если Fнабл < Fкр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Fнабл > Fкр—нулевую гипотезу отвергают.
Пример 2. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны n1=10 и n2=18, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей Х и У, найдены исправленные выборочные дисперсии s2X=1,23 и s2Y=0,41. При уровне значимости α =0,1 проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе Н1 : D(Х) ≠ D(У).
Решение. Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:
Fнабл= 1,23/0,41=3.
По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид D(Х) ≠ D(У), поэтому критическая область — двусторонняя.
По таблице, по уровню значимости, вдвое меньшем заданного, т. е. при α/2=0,1/2=0,05, и числам степеней свободы k1=10—1==9, k2=18—1=17 находим критическую точку Fкр (0,05; 9, 17)==2,50.
Так как Fнабл > Fкр, нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий отвергаем. Другими словами, выборочные исправленные дисперсии различаются значимо. Например, если бы рассматриваемые дисперсии характеризовали точность двух методов измерений, то следует предпочесть тот метод, который имеет меньшую дисперсию (0.41).