§ 9. Пример на отыскание выборочного уравнения прямой линии регрессии

Теперь, когда известно, как вычисляют r_в, уместно привести пример на отыскание уравнения прямой линии регрессии.

Поскольку при нахождении r_в уже вычислены , ,,, то целесообразно пользоваться формулами:

=h₁,=h₂, =h₁+c₁, =h₂+c₂.

Здесь сохранены обозначения предыдущего параграфа. Рекомендуем читателю самостоятельно вывести эти формулы.

Пример. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х по данным корреляционной табл. 14 примера предыдущего параграфа.

Решение. Напишем искомое уравнение в общем виде:

(*)

Коэффициент корреляции уже вычислен в предыдущем параграфе. Остается найти , , и:

=h₁+c₁ = —0,425·10+40==35,75; =h₂+c₂ = 0,09·10+35=35,9;

=h₁== 1,106·10 = 1,106,=h₂= 1,209·10=12,09. Подставив найденные величины в (*), получим искомое уравнение

,

или окончательно

= 0,659x + 12,34.

Сравним условные средние, вычисленные: а) по этому уравнению; б) по данным корреляционной табл. 14. Например, при х =30:

а) ==0,659·30+12,34 = 32,11;

б) = (23·25+30·35+10·45)/63 = 32,94.

Как видим, согласование расчетного и наблюдаемого условных средних—удовлетворительное.

§ 10. Предварительные соображения к введению меры любой корреляционной связи

Выше рассматривалась оценка тесноты линейной корреляционной связи. Как оценить тесноту любой корреляционной связи?

Пусть данные наблюдений над количественными признаками Х и Y сведены в корреляционную таблицу. Можно считать, что тем самым наблюдаемые значения Y разбиты на группы; каждая группа содержит те значения Y, которые соответствуют определенному значению X. Например, дана корреляционная табл. 17.

К первой группе относятся те 10 значений Y (4 раза наблюдалось y₁=3 и 6 раз y₂ = 5), которые соответствуют x₁=8.

Ко второй группе относятся те 20 значений Y (13 раз наблюдалось у₁ = 3 и 7 раз y₂ = 5), которые соответствуют x₂ = 9.

Таблица 17

Y	X
	3	9
3	4	13
5	6	7
nx	10	20
	4,2	3.7

Условные средние теперь можно назвать групповыми средними: групповая средняя первой группы = (4·3+6·5)/10==4,2; групповая средняя второй группы=(13·3+7·5)/20=3,7.

Поскольку все значения признака Y разбиты на группы, можно представить общую дисперсию признака в виде суммы внутригрупповой и межгрупповой дисперсий (см. гл. XVI, § 12):

D_общ = D_внгр + D_межгр. (*)

Покажем справедливость следующих утверждений:

1) если Y связан с Х функциональной зависимостью, то

D_межгр/D_общ = 1;

2) если Y связан с X корреляционной зависимостью,

D_межгр/D_общ < 1.

Доказательство. 1) Если Y связан с Х функциональной зависимостью, то определенному значению Х соответствует одно значение Y. В этом случае в каждой группе содержатся равные между собой значения Y поэтому групповая дисперсия каждой группы равна нулю. Следовательно, средняя арифметическая групповых дисперсий (взвешенная по объемам групп), т. е. внутригрупповая дисперсия D_внгр = 0 и равенство (*), имеет вид

D_общ = D_межгр.

Отсюда

D_межгр /D_общ= 1.

2) Если Y связан с Х корреляционной зависимостью, то определенному значению Х соответствуют, вообще говоря, различные значения Y (образующие группу). В этом случае групповая дисперсия каждой группы отлична от нуля. Следовательно, средняя арифметическая групповых дисперсий (взвешенная по объемам групп) D_внгр ≠ 0. Тогда одно положительное слагаемое D_межгр меньше суммы двух положительных слагаемых D_внгр + D_межгр = D_общ.

D_межгр < D_общ

Отсюда

D_межгр /D_общ< 1

Уже из приведенных рассуждений видно, что чем связь между признаками ближе к функциональной, тем меньше D_внгр и, следовательно, тем больше приближается D_межгр к D_общ, а значит, отношение D_межгр /D_общ — к единице. Отсюда ясно, что целесообразно рассматривать в качестве меры тесноты корреляционной зависимости отношение межгрупповой дисперсии к общей, или, что то же, отношение межгруппового среднего квадратического отклонения к общему среднему квадратическому отклонению.