§ 17. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки)

В предыдущих параграфах выборки предполагались независимыми. Здесь рассматриваются выборки одинакового объема, варианты которых попарно зависимы. Например, если х_i (i=1,2, ...,n)—результаты измерений деталей первым прибором, а y_i — результаты измерений этих же деталей, произведенные в том же порядке вторым прибором, то х_i и y_i попарно зависимы и в этом смысле сами выборки зависимые. Поскольку, как правило, х_i ≠ у_i, то возникает необходимость установить, значимо или незначимо различаются пары этих чисел. Аналогичная задача ставится при сравнении двух методов исследования, осуществленных одной лабораторией, или если исследование произведено одним и тем же методом двумя различными лабораториями.

Итак, пусть генеральные совокупности Х и Y распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. Требуется при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н₀:М () = М () о равенстве генеральных средних нормальных совокупностей с неизвестными дисперсиями при конкурирующей гипотезе Н₁:М () ≠ М () по двум зависимым выборкам одинакового объема.

Сведем эту задачу сравнения двух средних к задаче сравнения одной выборочной средней с гипотетическим значением генеральной средней, решенной в § 13, п. Б. С этой целью введем в рассмотренные случайные величины—разности D_i = Х_i—Y_i и их среднюю

.

Если нулевая гипотеза справедлива, т.е. М () = М (),то М () - М () = 0 и, следовательно,

М () == М (—) = М () — М () = 0.

Таким образом, нулевую гипотезу Н₀:М () = М () можно записать так:

H₀:М() = 0.

Тогда конкурирующая гипотеза примет вид Н₁:М() ≠ 0.

Замечание 1. Далее наблюдаемые неслучайные разности x_i—y_i будем обозначать через d_i в отличие от случайных разностей D_i = Х_i—Y_i. Аналогично выборочную среднюю этих разностей обозначим черезв отличие от случайной величины.

Итак, задача сравнения двух средних и сведена к задаче сравнения одной выборочной среднейс гипотетическим значением генеральной среднейМ() = а₀ = 0. Эта задача решена ранее в§ 13, п. Б, поэтому приведем лишь правило проверки нулевой гипотезы и иллюстрирующий пример.

Замечание 2. Как следует из изложенного выше, в формуле (см. § 13. п. Б)

надо положить

.

Тогда .

Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н₀:М() = M() о равенстве двух средних нормальных совокупностей с неизвестными дисперсиями (в случае зависимых выборок одинакового объема) при конкурирующей гипотезе М() ≠ M(), надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α, помещенному в верхней строке таблицы, и по числу степеней свободы k = п - 1 найти критическую точку t_{двууст.кр} (α; k).

Если |T_иабл|< t_{двууст.кр} — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если |T_иабл|> t_{двууст.кр} — нулевую гипотезу отвергают.

Пример. Двумя приборами в одном и том же порядке измерены 5 деталей и получены следующие результаты (в сотых долях миллиметра):

x₁=6 x₂=7 x₃=8 x₄=5 x₅=7

y₁=7 y₂=6 y₃=8 y₄=7 y₅=8

При уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо различаются результаты измерений.

Решение. Вычитая из чисел первой строки числа второй, получим: d₁ = - 1, d₂=1, d₃ = 0, d₄ = - 2, d₅ = - 1.

Найдем выборочную среднюю:

.

Учитывая, что 1 + 1 +4+1 =7 инайдем«исправленное» среднее квадратическое отклонение:

.

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

.

По таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости 0,05, помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы k= 5 - 1=4 находим критическую точку t_{двууст.кр} (0,05;4)= 2,78.

Так как |T_иабл|< t_{двууст.кр} - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, результаты измерений различаются незначимо.