Порядок выполнения работы

1. Записать словесную постановку задачи в соответствии с заданием варианта, выданного преподавателем.

2. Составить аналитическую модель описания задачи.

3. Разработать математическую модель решения.

4. Решить задачу с исходными данными, соответствующими вашему варианту.

5. По выходным данным построить график зависимости выходного параметра по времени в указанном интервале.

Пример расчета

Условие. В аппарат с мешалкой вместительностью V = 3 м³ поступает объемный поток  = 0,7 м³/ч (см. рис. 1). Концентрация некоторого вещества в потоке составляет с_вх. Начальная концентрация этого же вещества в аппарате c(0) = c_н = 0.

Определить концентрацию вещества на выходе из аппарата c_вых(t) в течении времени T = 2 ч при условии, что процесс перемешивания происходит в цилиндрическом аппарате со сферическим дном в условиях больших скоростей работы мешалки, а концентрация вещества во входном потоке c_вх зависит от времени и изменяется по следующему закону: .

Решение

1. Словесная постановка задачи.

Исходными данными рассматриваемого процесса являются:

- вместительность аппарата идеального смешения V = 3 м³;

- объемный поток  = 0,7 м³/ч;

- закон изменения концентрации вещества во входном потоке ;

- начальная концентрация вещества в аппарате c (0) = c_н = 0;

- исследуемый интервал времени T = [0, 2].

2. Синтез аналитической модели описания.

Рассматривается аппарат идеального смешения, т. е. вещество, поступающее в аппарат (см. рис. 1), мгновенно распределяется по всему объему аппарата и не происходит завихрений потока и налипания поступающего вещества на стенки аппарата, то математическая модель процесса идеального перемешивания может быть представлена в виде следующей системы:

(2)

3. Разработка модели решения.

Математическая модель рассматриваемого процесса записана в виде дифференциального уравнения 1-го порядка с начальным условием (2).

4. Выполнение задания в среде MathСAD.

Для решения дифференциальных уравнений применяется метод Рунге - Кутта 4-го порядка из-за его высокой точности. Отличительная особенность метода – уточнение наклона интегральной кривой за счет вычисления производной не только в начале текущего отрезка интегрирования, но и четырехкратное вычисление производных в методе четвертого порядка.

В методе Рунге - Кутта 4-го порядка следующее приближение функции рассчитывается по алгоритму

U(t+dt) = U(t) + (k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)/6,

где k₁ = F(U,t)dt; k₂ = F(U+k₁/2, t+dt/2)dt; k₃ = F(U+k₂/2, t+dt/2)dt; k₄ = F(U+k₃, t+dt)dt.

Для решения дифференциальных уравнений используются функции rkfixed и Rkadapt:

- rkfixed для поиска решения использует метод Рунге - Кутта 4-го порядка с постоянным шагом.

- Rkadapt для поиска решения использует метод Рунге -Кутта 4-го порядка с переменным шагом.

В результате решения получается матрица, имеющая два столбца:

1) Первый столбец содержит точки, в которых ищется решение дифференциального уравнения.

2) Второй столбец содержит значения найденного решения в соответствующих точках.

Функции rkfixed и Rkadapt имеют следующие аргументы:

1. у - вектор начальных условий размерности п, где п - порядок дифференциального уравнения или число уравнений в системе (если решается система уравнений);

2. xl, х2 - граничные точки интервала, на котором ищется решение дифференциальных уравнений. Начальные условия - это значение решения в точке x1, заданные в векторе у;

3. npoints - число точек (не считая начальной точки), в которых ищется приближенное решение. При помощи этого аргумента определяется число строк (1 + npoints) в матрице, возвращаемой функцией rkfixe;

4. D(x,y) - функция, возвращающая значение в виде вектора из п элементов, содержащих первые производные неизвестных функций.

Обращение к функциям имеет вид

rkfixed ( у, xl, x2, npoints, D);

Rkadapt (у, xl, x2, npoints, D).

Для решения задачи в среде Mathcad достаточно ввести исходные данные, написать формулы для вычисления правой части уравнения и вызвать функцию решения дифференциального уравнения (рис. 3).

Рис. 3. Обращение к функции Rkadapt

Через переменную w (см. рис. 3) обозначен объемный поток, с – начальная концентрация исходного вещества. Если решение поставленной задачи обозначить через z, то для вывода на экран таблицы решений достаточно ввести выражение “z= “ после обращения к функции Rkadapt. На экран будет выведена таблица решений (рис. 4).

Рис. 4. Исходные данные и результат решения

5. Построение графика.

Для построения графика, полученного решения, достаточно в панели инструментов «График» дважды щелкнуть кнопку «Вычерчивание X-Y» (рис. 5).

Рис. 5. Макет графика

Для построения графика в позиции оси абсцисс и ординат необходимо ввести обозначение столбцов параметра и функции (рис. 6).

Рис. 6. Зависимость концентрации от времени