Контрольные вопросы и задания
1. Как записывается аналитическая модель описания процесса идеального перемешивания?
2. Каковы начальные условия процесса идеального перемешивания?
3. Как записывается модель решения для процесса идеального перемешивания?
4. Какие численные методы используются для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений?
5. Расскажите об алгоритме метода Рунге - Кутта.
6. Какие функции используются в MathCAD для решения дифференциальных уравнений?
7. Расскажите о способах построения графиков в MathCAD.
Лабораторная работа № 3 Модель идеального вытеснения
Цель работы: изучить реальные процессы, которые могут быть аппроксимированы при исследовании модели идеального вытеснения.
Теоретические сведения
Модель идеального вытеснения относится к классу моделей с распределенными параметрами. Для таких моделей характерно, что переменные процесса могут изменяться как во времени, так и в пространстве, или только в пространстве. Их математическое описание включает обычно дифференциальные уравнения в частных производных, либо обыкновенные дифференциальные уравнения в случае стационарных процессов с одной пространственной переменной.
Примером процесса, описываемого такими моделями, служит трубчатый аппарат с большим отношением длины к диаметру и значительной скоростью движения реагентов (рис. 1).
В основе модели идеального вытеснения лежит допущение о поршневом течении, без перемешивания вдоль потока при равномерном распределении вещества в направлении, перпендикулярном движению потока. Время пребывания всех частиц в системе одинаково и равно отношению объема системы (аппарата) к объемному расходу жидкости. Такой поток, например, имеет место в трубчатом аппарате при турбулентном режиме течения жидкости через него.
Математическое описание модели идеального вытеснения (см. рис. 1) имеет вид
,
(1)
где t
- исследуемый интервал времени, с; x
- координата, вдоль которой передвигается
вещество и вдоль которой исследуется
изменение концентрации; w
- линейная скорость передвижения вещества
(м/с),
,
гдеS
- площадь поперечного сечения аппарата
(м2).
Для решения дифференциального уравнения в частных производных (1) начальное условие: в начальный (нулевой) момент времени по всей длине аппарата начальная концентрация была равна некоторому начальному значению cн, т. е.
cвых(0,
x)
= cн(x),
при t
= 0, 0 < x
<
,
(2)
граничное условие: концентрация в начале аппарата в любой момент времени есть некоторая входная функция от времени, т. е.
свых (t, 0) = cвх(t), при x = 0, t > 0. (3)
Решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2) и (3), имеет вид
(4)
Из решения (4)
следует, что любое изменение концентрации
на входе в аппарате идеального вытеснения
появляется на его выходе через время,
равное среднему времени пребывания
,
где
-
длина аппарата (см. рис. 1).
Аппарат идеального вытеснения аппроксимируют звеном чистого запаздывания. Передаточная функция этого звена имеет вид
,
где
-
время транспортного запаздывания.
Виды выходных сигналов при различных входных воздействиях представлены на рис. 2.
а б
Задание. (Исходные данные в приложении 3.)
Составить аналитическую модель описания процесса.
Составить модель решения и записать ее в аналитическом виде.
Разработать алгоритм поиска решения.
Получить выходные данные.
Построить графическую интерпретацию полученного решения.