Контрольные вопросы и задания

1. Как записывается аналитическая модель описания процесса идеального вытеснения?

2. Как записывается модель решения для процесса идеального перемешивания?

3. Назовите начальные условия процесса идеального вытеснения.

4. Каковы начальные условия процесса идеального перемешивания?

5. Как записывается аналитическая модель решения для процесса идеального вытеснения?

6. Как записывается аналитическая модель описания процесса идеального перемешивания?

7. Какие численные методы используются для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений?

8. Каковы особенности модели решения для процесса идеального вытеснения?

9. Какие функции используются в MathСAD для решения дифференциальных уравнений?

10. Расскажите о способе построения графиков в MathСAD.

Лабораторная работа № 5 Численные методы решения нелинейных уравнений

Цель работы: изучить решения систем нелинейных уравнений в среде MathCAD.

Теоретические сведения

Для решения нелинейных уравнений (нелинейных систем) можно рекомендовать метод Ньютона, который относится к классу приближенных или итерационных методов. Идея метода состоит в приближенной замене нелинейной системы линейной, которая решается методом Гаусса.

Метод Ньютона рассмотрим на примере системы из двух уравнений:

1. Выбираем начальное приближение (с помощью графика или пробных расчетов). Пусть (х₁⁽⁰⁾, х₂⁽⁰⁾) – начальное приближение.

2. Строим линейную систему

где частные производные вычисляются в точке (x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾), h₁, h₂ – приращения для x₁, x₂.

Решив систему, находим h₁ и h₂ и вычисляем следующее приближение:

x₁⁽¹⁾ = x₁⁽⁰⁾+h₁

x₂⁽¹⁾ = x₂⁽⁰⁾+h₂.

Если | |<ε, то считается, что решение с требуемой точностью найдено. Если нет, то повторяем снова дляx₁⁽¹⁾ и x₂⁽¹⁾ и т. д.

Задание. (Исходные данные в приложении 5.).

1. Найти начальное приближение.

2. Решить задачу с помощью MathCAD.

3. Записать результат.

Пример расчета.

f₁ = x₁ + 0.3029 Ln(x₁) – x₂² = 0; (1)

f₂ = 2x₁²- x₁x₂ – 5x₁ + 1 = 0; (2)

ε = 0,01.

1. Поиск начального приближения.

Для поиска начального приближения преобразуем уравнение

Составим таблицу начальных приближений для х₁

Х1	1	2	3	4
(1’) Х2	1	1,7	2,1	2,4
(2’) Х2	-2	-0,5	1,3	3,25
	↑	↑	↑	↓

Вычисляем левые части уравнений при различных х₁. Решение где-то при 3 < х < 4. Например, возьмем х₁ = 3,4.

При х₁ = 3,4 получаем:

х₂ = 2,23 из (1’)

х₂ = 2,1 из (2’),

т.е. 2,1 ≤ х₂ ≤ 2,23. Например, возьмем х₂ = 2,2.

Итак, в качестве начального приближения мы выбрали:

x₁⁽⁰⁾ = 3,4; x₂⁽⁰⁾ = 2,2.

2. Вычисление приращения.

Вычисляем значения функции из (1’), (2’) при полученных x₁, x₂.

f₁ (3,4; 2,2)= 0,1544;

f₂ (3,4; 2,2)= - 0,3600.

Мы не получили решение с точностью ε = 0,01, то нужно уточнить значения x₁, x₂. Для этого строим матрицу частных производных:

.

Решаем систему:

h₁ = 0.0899; h₂ = 0.0633.

3. Вычисление следующих приближений для x₁, x₂.

x₁⁽¹⁾ = x₁⁽⁰⁾ + h₁ = 3,4 + 0,0899 = 3,4899;

x₂⁽¹⁾ = x₂⁽⁰⁾ + h₂ = 2,2 + 0,0633 = 2,2633.

f₁ (3,4899; 2,2633)= -0,00417;

f₂ (3,4899; 2,2633)= 0,0106.

Вновь не получили решение с точностью ε = 0,01, поэтому необходимо еще построить матрицу частных производных уже по новым значениям x₁, x₂ и повторить все дальнейшие действия

.

4. Решение с помощью MathCad

Искомым переменным x₁ и x₂ присваиваем найденное вручную начальное приближение. Затем в блоке Given записываем выражения функций приведенных к виду f(x) = 0 при помощи панелей инструментов «Арифметика» и «Булево» (рис. 1, 2).

Рис. 1 Панель «Арифметика»

Рис. 2 Панель «Булево»

После этого с помощью функции Find найти значения переменных. Решенная задача в MathCAD будет выглядеть следующим образом:

^;

^.