Контрольные вопросы и задания

1. Какой метод применяется для решения систем нелинейных уравнений?

2. Назовите способы нахождения начального приближения.

3. В каком блоке записываются ограничения в виде равенств или неравенств?

Лабораторная работа № 6 Моделирование стационарных режимов

Цель работы: изучить моделирование стационарных режимов.

Теоретические сведения

Понятие статических систем, как правило, не существует. Речь может идти о стационарных состояниях или режимах функционирования какой-либо системы, которая в каждый момент под действием внешних воздействий может выйти из этого состояния.

Стационарное состояние является основным рабочим режимом непрерывных технологических процессов.

Существуют 2 класса исследования стационарных состояний:

1. Задача анализа – определение неизвестных режимных переменных системы, при которых достигается заданное стационарное состояние.

2. Задача оптимального синтеза – выбор оптимального стационарного состояния среди множества возможных.

Таким образом, видим, что первая задача – это составная часть второй. Решением первой задачи является конечный набор числовых значений.

Основа моделей стационарных режимов – уравнение материального и энергетического баланса в системе. Всегда входной поток материи равен выходному потоку. Накопления не происходит.

Состояние системы называется стационарным (статическим), если параметры системы не изменяются во времени.

Рассмотрим технологическую систему, в которой происходит обработка некоторого продукта. В схеме возможны рециклы (т.е. возврат части продукта на повторную обработку).

Задача состоит в том, чтобы при заданных значениях относительных интенсивностей материальных потоков между операциями Р_{i j} составить модель схемы для нахождения нагрузки на каждую операцию.

Обозначим:

Р_{i j} – доля потока, выходящего с i – операции и направляемая на j-операцию. Справедливы следующие соотношения:

.

П – объем выпускаемой продукции (единиц/час);

N_i – абсолютная интенсивность потока, выходящего с i-ой операции;

N₀ – выход с нулевой операции (склад сырья);

R_i – коэффициент выхода с i-ой операции.

Тогда на основании условий материального баланса при отсутствии накоплений, выходной поток с каждой операции равен входному с поправкой на коэффициент выхода: N_i+1 = R_i+1 · N_i

Задание. (Исходные данные в приложении 6.)

1. Записать уравнения материальных потоков.

2. Решить систему с помощью MathCad.

3. Записать результат.

Примеры расчетов

Пример 1. Рассмотрим схему (рис. 1).

Рис. 1. Технологическая схема

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Полученное соотношение можно записать в виде:

.

Если число операций равно m, то имеем (m + 1) уравнений от (2m + 2) параметров N₀, N₁, N₂, … , N_m, П, R₁, R₂, … R_m. Коэффициенты выхода обычно зависят от режимных параметров технологических операций. Если эти параметры заданы, то можно определить R_j. Среди оставшихся (m + 2) параметров должно быть задано либо N₀, либо П. Оставшиеся (m + 1) параметры можно найти из системы.

Пример 2. Имеется каскад из двух химических реакторов (рис. 2), в которых происходит превращение исходного вещества в конечный продукт.

Рис. 2. Каскад реакторов

F – расход сырья (моль/час);

X_F – концентрация исходного вещества в сырье (моль/м³).

Необходимо определить концентрацию исходного вещества в готовом продукте, т.е. долю не прореагировавшего вещества. Обозначим:

_i - количество исходного сырья, расходуемого в 1 м³ объема i-го реактора за час;

V_i – объем i-го реактора, м³;

K_i – константа скорости реакции, определяемая по закону Аррениуса.

Уравнения баланса:

где V₁ и V₂ – объемы соответствующих аппаратов.

Получили два уравнения с четырьмя неизвестными. Заменим уравнение связи. Пусть .

Получим аналитическое решение: