Контрольные вопросы и задания

1. Как записывается аналитическая модель описания процесса идеального вытеснения?

2. Каковы начальные условия процесса идеального вытеснения?

3. Как записывается модель решения для процесса идеального вытеснения?

4. Какие численные методы используются для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений?

5. Каковы особенности модели решения для процесса идеального вытеснения?

6. Рассказать о программировании в среде MathСAD.

7. Назвать способ построения графиков в MathСAD.

Лабораторная работа № 4 Комбинированные задачи

Цель работы: изучить реальные процессы, которые могут быть аппроксимированы при исследовании комбинированных моделей процессов идеального смешения и идеального вытеснения.

Задание. (Исходные данные в приложении 4.)

1. Составить аналитическую модель описания процесса.

2. Составить модель решения и записать ее в аналитическом виде.

3. Разработать алгоритм поиска решения.

4. Получить выходные данные.

5. Построить графическую интерпретацию полученного решения.

Порядок выполнения работы

1. Записать словесную постановку задачи в соответствии с заданием варианта.

2. Составить аналитическую модель описания задачи.

3. Разработать математическую модель решения.

4. Решить задачу с исходными данными, соответствующими вашему варианту. Получить выходные данные.

5. По выходным данным построить графики зависимости выходного параметра во времени в указанном интервале.

Пример расчета

Условие. Дана технологическая схема, состоящая из двух аппаратов: идеального смешения и идеального вытеснения (рис. 1)

Рис. 1. Технологическая схема

На вход аппарата идеального смешения поступает объемный поток  = 0,1 м³/ч.

Концентрация некоторого исходного вещества в потоке составляет c_вх(t). Начальная концентрация этого же вещества c(0) = c_н = 0. Определить концентрацию вещества на выходе из схемы c_вых(t) в течении времени T = 2 ч при условии, что концентрация вещества во входном потоке c_вх(t) = 1, вместимость первого аппарата в схеме V₁ = 0,1 м³, вместимость второго аппарата V₂ = 0,5 м³, длина и диаметр аппарата идеального вытеснения L = 0,5 м и d = 0,1 м соответственно.

Решение

1. Словесная постановка задачи.

Исходными данными рассматриваемого процесса являются:

- вместимости аппаратов идеального смешения и вытеснения V₁ = 0,1 м³, V₂ = 0,5 м³ соответственно;

- диаметр аппарата идеального вытеснения d = 0,1 м;

- длина аппарата = 0,5 м;

- объемный поток  = 0,1 м³/ч;

- начальная концентрация вещества в момент времени t = 0 равна начальному значению c(0) = c_н = 0 ;

- концентрация вещества на входе в аппарат идеального перемешивания в любой момент времени равна концентрации вещества во входном потоке c_вх(t) = 1;

- исследуемый интервал времени T = [0, 2].

2. Синтез аналитической модели описания.

Распишем линейные потоки:

F₁ = v₁C₁ = vC₁,

F₂ = v₂C₂ = vC₂.

На выходе из схемы линейный поток:

F_вых = vC_вых

При этом поток на выходе из схемы есть поток на выходе из второго аппарата, т. е. можем записать:

F_вых = F₂ или vC_вых = vC₂,

сокращаем на величину v, тогда

C_вых = C₂.

3. Разработка модели решения.

Если концентрация на выходе из первого аппарата c₁(t), то процесс идеального перемешивания может быть описан следующей системой:

(1)

Концентрация на выходе из второго аппарата c₂(t) – это искомая выходная концентрация c_вых(t). Процесс, происходящий в аппарате идеального вытеснения, описывается дифференциальным уравнением 1-го порядка:

, (2)

для решения которого начальное и граничное условия записываются в виде:

- начальное условие:

с_вых(x, 0) = c_н= 0, при t = 0, 0 < x < , (3)

- граничное условие:

с_вых(0, t) = с₁(t), при x = 0, t > 0, (4)

т.к. концентрация на входе аппарата идеального вытеснения равна выходной концентрации из аппарата идеального смешения.

4. Решение задачи в среде MathСAD.

Обозначим w - объемный поток, V – объем аппарата идеального смешения, с – начальная концентрация вещества в момент времени t = 0 и введем исходные данные задачи (рис. 2). Далее запишем формулу для вычисления правой части дифференциального уравнения системы (1):

Рис. 2. Ввод исходных данных

Решение этого уравнения обозначим через cw1 и обратимся к функции Rkadapt (см. с. 15). После вызова функции введем выражения “cw1= “, на экран будет выведена таблица решений (рис. 3).

Рис. 3. Решение дифференциального уравнения (1)

Чтобы решить дифференциальное уравнение (2), описывающее процесс идеального вытеснения, необходимо записать его начальное и граничное условия. Для записи граничного условия (4) переменной c1 присвоим значение выходной концентрации cw1 в каждый момент времени, для этого запишем следующий программный код (рис. 4):

Рис. 4. Заполнение массива концентрации на входе аппарата идеального вытеснения

Следующий программный модуль (рис. 5) вводит условия (3), (4) и численное решение уравнения (2):

Рис. 5. Заполнение массива выходной концентрации исходного вещества

Для отображения на экране посчитанных значений введем выражение “cw=” (рис. 6).

Рис. 6. Массив выходной концентрации

5. Построение графиков.

По полученным данным построим графики зависимости выходного параметра во времени в указанном интервале.

Построим график изменения концентрации исходного вещества в конце аппарата идеального вытеснения в каждый момент времени, при этом на макете графика оси абсцисс отображается изменение параметра n, на оси ординат – интересующие нас значения выходного параметра, что соответствует последней строке матрицы значений функции с_вых(t) (рис. 7).

Рис. 7. Зависимость распределения концентрации вещества с_вых(t)

в каждый момент времени tна выходе схемы

Теперь построим график изменения концентрации по длине аппарата идеального вытеснения в конечный момент времени. Для этого в позиции оси абсцисс вводим параметр t, а в положении оси ординат – обозначение последнего столбца матрицы значений функции с_вых(t) (рис. 8).

Рис. 8. Зависимость распределения концентрации вещества с_вых(t)

по длине аппарата в момент времени t= 2 ч