32. Понятие условного экстремума. Сведение условного экстремума к безусловному.

Определение. Условным экстремумом функции z  = f (х, у) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии,  что переменные х и у связаны уравнением (х, у) = 0 (уравнением связи).

        Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f (х, у) при условии, что х и у связаны уравнением (х, у) = 0.

        При наличии условия (х, у) = 0 из двух переменных х и у независимой будет только одна, например, х, так как у определяется из равенства (х, у) = 0 как функция от х.

Найдём полные производные и):

,       (1)

.        (2)

В точках экстремума , то есть.      (3)

также равна нулю, так как (х, у) = 0, то есть

.           (4)

Составим линейную комбинацию: . Получим:

или

(5)

–неопределённыё постоянный множитель.

        Последнее равенство выполняется во всех точках экстремума. Подберём так, чтобы для значенийх и у, соответствующи экстремуму функции f  (х, у),, вторая скобка в равенстве (5) обратилась в нуль (метод Лагранжа).

        Для определённости будем предполагать, что в критических точках .

        Тогда из (5) следует равенство .

        Таким образом, для отыскания экстремума получим следующую систему уравнений с тремя неизвестными х, у, :

(6)

        Из этих уравнений определяем х, у и коэффициент , который играет только вспомогательную роль и в дальнейшем не потребуется.

Таким образом, уравнения (6) являются необходимыми условиями условного экстремума.

Замечание. В сущности, исследование на условный экстремум функции z  = f (х, у), при условии (х, у) = 0 сводится к исследованию на обычный экстремум так называемой функции Лагранжа.

u  = f (х, у) +(х, у),  (7)

где– неопределённый постоянный множитель.

Необходимые условия для неё:                                   (8)

Сравните с системой (6).

Сформулируем (без вывода) достаточное условие условного экстремума в критической точке M₀(x₀,y₀), предполагая, что функции z  = f (х, у) и (х, у) = 0 имеют в точке M₀ непрерывные частные производные второго порядка.

Составим функцию Лагранжа u  = f (х, у) +(х, у) и определитель:

.

Если определитель, тоM₀ есть точка условного минимума, если , тоM₀ –  точка условного максимума.

32. Метод неопределённых множителей Лагранжа.

Метод множителей Лагранжа, метод нахожденияусловного экстремумафункции, где, относительноограничений, гдеменяется от единицы до.

Описание метода

• Составим функцию Лагранжав виделинейной комбинациифункциии функций, взятых с коэффициентами, называемымимножителями Лагранжа—:

где .

• Составим систему из уравнений, приравняв к нулючастные производныефункции Лагранжапои.

• Если полученная система имеет решение относительно параметров и, тогда точкаможет быть условным экстремумом, то есть решением исходной задачи. Заметим, что это условие носит необходимый, но не достаточный характер.

Обоснование

Нижеприведенное обоснование метода множителей Лагранжа не является его строгим доказательством. Оно содержит эвристические рассуждения, помогающие понять геометрический смысл метода.

Линии уровня и кривая.

Двумерный случай

Пусть требуется найти экстремум некоторой функции двух переменных при условии, задаваемом уравнением. Мы будем считать, что все функции непрерывно дифференцируемы, и данное уравнение задает гладкую кривуюна плоскости. Тогда задача сводится к нахождению экстремума функциина кривой. Будем также считать, чтоне проходит через точки, в которых градиентобращается в.

Нарисуем на плоскости линии уровня функции(то есть кривые). Из геометрических соображений видно, что экстремумом функциина кривоймогут быть только точки, в которых касательные ки соответствующей линии уровня совпадают. Действительно, если криваяпересекает линию уровняв точкетрансверсально (то есть под некоторым ненулевым углом), то двигаясь по кривойиз точкимы можем попасть как на линии уровня, соответствующие большему значению, так и меньшему. Следовательно, такая точка не может быть точкой экстремума.

Тем самым, необходимым условием экстремума в нашем случае будет совпадение касательных. Чтобы записать его в аналитической форме, заметим, что оно эквивалентно параллельности градиентов функций ив данной точке, поскольку вектор градиента перпендикулярен касательной к линии уровня. Это условие выражается в следующей форме:

где — некоторое число, отличное от нуля, и являющееся множителем Лагранжа.

Рассмотрим теперь функцию Лагранжа, зависящую оти:

Необходимым условием ее экстремума является равенство нулю градиента . В соответствии с правилами дифференцирования, оно записывается в виде

Мы получили систему, первые два уравнения которой эквивалентны необходимому условию локального экстремума (1), а третье — уравнению . Из нее можно найти. При этом, поскольку в противном случае градиент функцииобращается в нуль в точке , что противоречит нашим предположениям. Следует заметить, что найденные таким образом точкимогут и не являться искомыми точками условного экстремума — рассмотренное условие носит необходимый, но не достаточный характер. Нахождение условного экстремума с помощью вспомогательной функциии составляет основу метода множителей Лагранжа, примененного здесь для простейшего случая двух переменных. Оказывается, вышеприведенные рассуждения обобщаются на случай произвольного числа переменных и уравнений, задающих условия.На основе метода множителей Лагранжа можно доказать и некоторые достаточные условия для условного экстремума, требующие анализа вторых производных функции Лагранжа.

131