32. Предел функции. Повторные пределы функции. Предел функции нескольких переменных

   Функция f(M) =f(x₁,x₂, …,x_n) имеет предел АR^mпри стремлении переменных M (x₁,x₂, …,x_n)Rⁿк величинам M₀ (a₁,a₂, …,a_n)Rⁿ, если для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 существует положительное и зависящее от этого ε число δ, что для всех точек М (x₁,x₂, …,x_n)Rⁿпопадающих в δ окрестность точки М₀значения функции попадают в ε окрестность точки А:

( ε > 0) (δ = δ(ε) > 0) (MO_δ( M₀ ) \ {M₀}):f(M)O_ε(A).

   Точка М может и не совпадать с М₀. Следует отметить, что этот предел должен существовать и не зависеть от способа стремления переменных (x₁,x₂, …,x_n) к величинам (a₁,a₂, … ,a_n). Это свойство можно записать так.

На основании леммы п. 1можно утверждать, что стремление к точке означает координатную сходимость

.

   Независимость стремления переменной точки к точке сгущения означает, что

.

   Рассмотрим примеры, которые иллюстрируют зависимость значения предела от характера стремления текущей точки к точке сгущения, что означает отсутствие предела.

Теорема 1.Если

1) существует двойной предел

2) при любом yсуществует простой предел по переменнойх:

то существует повторный предел

и он равен значению двойного предела А.

Доказательство.Соотношение (1.1) означает, что

(ε > 0) (δ = δ (ε, M₀) > 0) (0 < |x – a| < δ, 0 < |y - b | < δ)): |f(x,y) – A| < ε

Зафиксируем переменную у в интервале 0 < |у - b| < δ и перейдём к пределу в неравенстве | f(x,y) - А | < δ прих→а. Получим | φ(y) - А| < ε, где 0 < | у - b | < δ, что означает

.

Для функции нескольких переменных можно определить понятие предела по одной из переменныхпри фиксированных значениях остальных переменных. В связи с этим возникает понятиеповторного предела.

Определение

Рассмотрим функцию двух переменных , определенную в некоторой выколотой окрестности точки. Выберем и зафиксируем переменную. Получим функцию как бы одной переменной. Рассмотрим предел:

Будем считать, что существует. Теперь снимем фиксацию с переменнойи рассмотрим следующий предел:

Если этот предел существует, то говорят, что есть повторный предел функциив точке.

Аналогично мы можем фиксировать сначала переменную . В этом случае мы также получим повторный предел, но, вообще говоря, другой:

Это определение можно распространить и на функции нескольких переменных .

Равенство повторных пределов

Пусть функция , определена в выколотой окрестности точкии имеет в этой точке предел (обычный). Тогда любой повторный предел в точкесуществует и равен обычному пределу этой функции в этой же точке.

В обратную сторону утверждение, вообще говоря, неверно.

32. Критерий Коши существования предела функции.

Для того чтобы функция имела в точке x0 конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого> 0 существовало такое>0, что для любых x1X и x2X, удовлетворяющих условиям, выполнялось неравенство.

Если же x0=, то критерий Коши имеет следующий вид:

для любого > 0 существует такое> 0, что для любых x1X и x2X, удовлетворяющих условиям, выполняется неравенство.

Доказательство. Необходимость. Пусть и. Это означает, что для любого> 0 существует такое> 0, что для всех точексправедливо неравенство.

Выберем x1X и x2X так, чтобы выполнялись условия. Тогда имеем

Достаточность. Пусть функция такова, что для любого> 0 существует такая окрестность точки x0, что для всех точекиз этой окрестности справедливо неравенство.

Покажем, что отсюда следует существование у функции f конечного предела в точке x0. Возьмём какую-либо последовательность и произвольно зададим>0. Для этого, согласно сделанному предположению, существует такая окрестность точки x0, для всех точекиз которой справедливо неравенство.

Поскольку последовательность xn сходится к x0, существует такое N, что все xn при n > N попадают в указанную окрестность точки x0. Поэтому для всех n > N, m > N

т. е. числовая последовательность удовлетворяет условиям критерия Больцано–Коши для числовых последовательностей и, следовательно, сходится. Таким образом, для каждой последовательности, последовательностьсходится. Отсюда, как известно, следует существование конечного предела. □